专题36 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）（解析版）

专题36 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类） 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助 线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专 题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 【模型解读】已知B 是⊙的一条弦，连接，B，则∠＝∠B． O B A 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径 构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个 端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题 例1．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，B，D 是 的弦，延长B，D 相交于点P．已知 ， ，则 的度数是（ ） ．30° B．25° ．20° D．10° 【答】 【分析】如图，连接B，D，，先求解 ，再求解 ，从而可得 ，再利用周角的含义可得 ，从而可得答． 【详解】解：如图，连接B，D，， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ．∴ 的度数20°．故选：． 【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握 “圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 例2（2023•南召县中考模拟）如图，⊙的直径B 与弦D 的延长线交于点E，若DE＝B，∠＝84°，则∠E 等于 （ ） ．42° B．28° ．21° D．20° 【分析】利用B＝DE，B＝D 得到D＝DE，则∠E＝∠DE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DE+∠E，所以∠1＝ 2∠E，同理得到∠＝∠+∠E＝3∠E，然后利用∠E¿ 1 3∠进行计算即可． 【解答】解：连结D，如图，∵B＝DE，B＝D，∴D＝DE，∴∠E＝∠DE， 1 ∵∠＝∠DE+∠E，∴∠1＝2∠E，而＝D，∴∠＝∠1， ∴∠＝2∠E，∴∠＝∠+∠E＝3∠E，∴∠E¿ 1 3∠¿ 1 3 ×84°＝28°．故选：B． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、 等弧等）．也考查了等腰三角形的性质． 例3．（2023·江苏沭阳初三月考）如图，已知点是⊙的直径B 上的一点，过点作弦DE，使D=．若 的 度数为35°，则 的度数是_____． 【答】105°． 【分析】连接D、E，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠D=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角 和定理计算即可． 【解析】解：连接D、E， ∵ 的度数为35°，∴∠D=35°，∵D=，∴∠D=∠D=35°， ∵D=E，∴∠D=∠E=35°，∴∠DE=180°-∠D-∠E=180°-35°-35°=110°， ∠ ∴ E=∠DE-∠D=110°-35°=75°，∴∠BE=180°-∠E=180°-75°=105°， ∴ 的度数是105°．故答为105°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等． 例4．（2023 年山东省淄博市中考数学真题）如图， 是 的内接三角形， ， ， 是 边上一点，连接 并延长交 于点 ．若 ， ，则 的半径为 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】连接 , 根据等腰三角形的性质得到 , 根据等边三角形的性质得到 ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论 【详解】连接 ,∵ ,∴ ∴ , ∵ ,∴ 是等边三角形, ∴ , ∵ ， ,∴ , ，∴ , ∵ , ， ，即 的半径为 ，故选: 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 【模型解读】已知B 是⊙的一条弦，过点E⊥B，则E＝BE，E2+E2=2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过 弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半 径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1．（2023 年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽 是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点，D 时，恰好与 边相切，则此餐盘的半径等于 m． 【答】10 【分析】连接 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，则点 为餐盘与 边的切点，由 矩形的性质得 ， ， ，则四边形 是矩形， ，得 ， ， ，设餐盘的半径为 ，则 ， ，然后由 勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】由题意得： ， ， 如图，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，则 ， 餐盘与 边相切， 点 为切点， 四边形 是矩形， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， 设餐盘的半径为 ，则 ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 ，解得： ， 餐盘的半径为 ，故答为：10． 【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关 键． 例2．（2023 年四川省广安市中考数学真题）如图， 内接于 ，圆的半径为7， ，则弦 的长度为 ． 【答】 【分析】连接 ，过点 作 于点 ，先根据圆周角定理可得 ，再 根据等腰三角形的三线合一可得 ， ，然后解直角三角形可得 的长，由此即可 得． 【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ， ， ， ， ， ， ∵圆的半径为7， ， ， ，故答为： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角 三角形的方法是解题关键． 例3．（2021·湖北中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全 书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2，已 知圆心 在水面上方，且 被水面截得的弦 长为6 米， 半径长为4 米．若点 为运行轨道的最低 点，则点 到弦 所在直线的距离是（ ） ．1 米 B． 米 ．2 米 D． 米 【答】B 【分析】连接交B 于D，根据圆的性质和垂径定理可知⊥B，D=BD=3，根据勾股定理求得D 的长，由D=﹣ D 即可求解． 【详解】解：根据题意和圆的性质知点为 的中点， 连接交B 于D，则⊥B，D=BD= B=3， 在Rt△D 中，=4，D=3，∴D= = = ， ∴D= D ﹣=4﹣ ，即点 到弦 所在直线的距离是（4﹣ ）米，故选：B． 【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键． 例4．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）如图所示，圆 的直径 与弦 相交于点 ．已知圆的 直径 ， ，则 的值是（ ） ． B．8 ． D．4 【答】B 【分析】过点 作 ，于点 ，连接 ，根据题意可得 ，进而根据垂径定理，有 ，进而将 转化为 ，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作 ，于点 ，连接 ，则 ，∵ ∴ ， ∵ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子 进行变形是解题的关键 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 【模型解读】如图，已知、B、P 是⊙上的点，点是圆上一动点，连接、B，则∠B= ∠B。 例1．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图， 是 的外接圆，若 ，则 （ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】连接 ，首先根据圆周角定理得到 ，然后利用半径相等得到 ，然后 利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接 ， ∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ．故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 例2．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，点 是 上一点，若 ，则 的度数 为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】取优弧上一点，连接 ，由圆周角定理，得 ，运用圆内接四边形对角互补求 解． 【详解】解：如图，取优弧上一点，连接 ,则 , ∴ ．故选：B 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形；由相关定理得角之间的数量关系是解题的关键． 例3．（2023 秋·重庆·九年级校考阶段练习）如图，一块直角三角板的 角的顶点 落在 上，两边分 别交 于 、 两点，若 的直径为8，则弦 长为（ ） ．8 B．4 ． D． 【答】B 【分析】连接，B，求出∠B=2 PB=60° ∠ ，得到△B 为等边三角形，即可求出B 长 【详解】连接，B，∴=B， ∵ 所对的圆周角是∠PB， 所对的圆心角是∠B，∠PB=30°， B=2 PB=60° ∴∠ ∠ ，∴△B 为等边三角形，∴B=， ∵直径为8，∴=4，∴B=4，故选B 【点睛】本题考查的是圆周角和圆心角，根据题意作出辅助线，得到等边三角形是解答此题的关键． 例4．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图， 为 的两条弦，D，G 分别为 的中点， 的半径为2．若 ，则 的长为（ ） ．2 B． ． D． 【答】D 【分析】连接 ，圆周角定理得到 ，勾股定理求出 ，三角形的中位线定 理，即可求出 的长． 【详解】解：连接 ， ∵ 的半径为2． ，∴ ，∴ ， ∵D，G 分别为 的中点，∴ 为 的中位线，∴ ．故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理．熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 【模型解读】如图，已知B 是⊙的直径，点是圆上一点，连接、B，则∠B=90。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90 的圆 周角的构造。 例1．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示， 是 的直径，弦 交 于点E，连接 ，若 ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】如图所示，连接 ，先由同弧所对的圆周角相等得到 ，再由直径所对的圆 周角是直角得到 ，则 ． 【详解】解：如图所示，连接 ，∵ ，∴ ， ∵ 是 的直径，∴ ，∴ ，故选D． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出 的 度数是解题的关键． 例2．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图， 是⊙ 的直径， ， ， ，则 ⊙ 的半径为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】连接并延长交⊙于点E，连接E，根据=，可得∠D=∠E，从而得到E=D=2，然后根据勾股定理， 即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交⊙于点E，连接E，∵=，∴∠E=∠B， ∵ ，∴∠D=∠E，∴ ，∴E=D=2， ∵E 是直径，∴∠E=90°，∴ ，∴⊙ 的半径为 ．故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键． 例3．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图， 为 的直径，弦 交 于点 ， ， ， ，则 （ ） ． B． ．1 D．2 【答】 【分析】连接B，根据垂径定理的推论可得B⊥D，再由圆周角定理可得∠=∠DB=30°，根据锐角三角函数 可得E=3，B=4，即可求解． 【详解】解：如图，连接B， ∵ 为 的直径， ，∴B⊥D，∵∠B=∠DB=30°， ，∴ ， ∵ 为 的直径，∴ ，∴=2，∴E=E-=1．故选： 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊 角锐角函数值是解题的关键． 模型5、遇90°的圆周角连直径 【模型解读】如图，已知圆周角∠B=90，连接B，则B 是⊙的直径。 O C B A 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直 径。 例1．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，点，B，，D 在 上， ，则 的长为（ ） ． B．8 ． D．4 【答】 【分析】连接 ，根据 可得 为 的直径，又根据 得到 ，故在直角 三角形中，利用特殊角的三角函数即可求出 ． 【详解】解：连接 ， ， ， 为 的直径， ， ， 在 中, ， ．故选：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，解三角形，解题的关键是掌握公式、定理。 例2．（2023·四川达州·统考二模）如图，半径为 的 经过原点和点 ，B 是y 轴左侧 优弧上 一点，则 为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】设 与x 轴的另一个交点为D，连接 ，如图，则 ，根据圆周角定理和勾股定 理求出 ，然后根据 求解即可 【详解】解：设 与x 轴的另一个交点为D，连接 ，如图，则 ， ∵ ，∴ 是 的直径，∵ 的半径为 ，∴ ，∵ ，∴ ， 在直角三角形 中，根据勾股定理可得： ， ∴ ；故选：B 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、灵活应 用转化的思想是解题的关键 例3．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 是矩形 的外接圆，若 ，则图中阴影部 分的面积为 ．（结果保留 ） 【答】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到 ，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答． 【详解】解：连接 ，∵四边形 是矩形，∴ 是 的直径， ∵ ，∴ ，∴ 的半径为 ， ∴ 的面积为 ，矩形的面积为 ， ∴阴影部分的面积为 ；故答为 ； 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 【模型解读】如图，已知直线B 连与圆相切于点，连接，则⊥B。 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的 有关性质解题。 例1．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，如图， 、 分别切 于点 、 ，点 为优弧 上一点，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】要求 的度数，只需根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接 ， ；再 根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解． 【详解】 B 解：连接 ，∵ 、 分别切 于点 、 ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，故选：． 【点睛】此题考查切线的性质，圆周角定理，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关 键． 例2．（2023 年重庆市中考数学真题）如图， 是 的切线， 为切点，连接 ．若 ， ， ，则 的长度是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据切线的性质及正切的定义得到 ，再根据勾股定理得到 ． 【详解】解：连接 ，∵ 是 的切线， 为切点，∴ ， ∵ ， ，∴在 中， ， ∵ ，∴在 ， ，故选 ． 【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键． 例3．（2022 春·湖北武汉·九年级统考自主招生）如图， 是圆 的直径， 是切线， 是切点，弦 ， 与 的延长线交于点 ， ，则 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】连接D，由 及 ，即可得到 ，从而可证得 ，即 可证得直线 是 的切线，进而根据 ，可得 ，设半径为， ,在 中， 勾股定理求得 ，即可求解． 【详解】证明：如图，连接D， ， ． 又 ， ， ， ． 在 与 中， ， ， ， 又 ， ， 是 的切线；∴ ， 设半径为， ,则 ， ∵ ，∴ ，∴ ，则 ， 在 中， ，∴ ，解得： ，∴ ； 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握切线的 性质与判定，平行线分线段成比例是解题的关键． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 【模型解读】证明直线B 是⊙的切线 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再 证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点的直线B，连接，证明⊥B，则直线B 是⊙的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直 线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点作⊥B，证明等于⊙的半径，则直线B 是⊙的切 线． 例1．（2023 年四川省攀枝花市中考数学真题）如图， 为 的直径，如果圆上的点 恰使 ，求证：直线 与 相切． 【答】见详解 【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出 ，则 ，再由切线的判定即 可得出结论． 【详解】证明：如图，连接 ， ， ， 为 的直径， ， ， ， ，即 ， ， 是 的半径， 直线 与 相切． B 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握 圆周角定理和切线的判定是解题的关键． 例2．（2023 秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图， ， ， 的直径为6．求证： 直线 是 的切线． 【答】见解析 【分析】过点 作 于点 ，根据三线合一和勾股定理求出 的长，即可． 【详解】解：过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ，∴ ， ∵ 的直径为6，∴ 为 的半径， 又 ，∴直线 是 的切线． 【点睛】本题考查切线的判定．熟练掌握切线的判定方法，是解题的关键． 例3．（2023 年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图， 内接于 ， 为 的直径，延长 到点 G，使得 ，连接 ，过点作 ，交 于点F，交点 于点D，过点D 作 ．交 的延长线于点E． (1)求证： 与 相切．(2)若 ， ，求 的长． 【答】(1)见详解(2) 【分析】（1）连接 ，结合圆周角定理，根据 ，可得 ，再根据平行的性 质 ，即有 ，进而可得 ，问题随之得证； （2）过点作 于点K，先证明四边形 是平行四边形，即有 ，求出 ，即有 ，利用三角形函数有 ，同 理 ，即可得 ， ，进而有 ，再证明 ，可得 ，即可得 ， 在 中，有 ，问题随之得解． 【详解】（1）连接 ，如图， ∵ 为 的直径，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，∵ ，∴ ， ∴半径 ，∴ 与 相切； （2）过点作 于点K，如图