第26讲 圆的相关概念及性质（练习）（解析版）

第26 讲 圆的相关概念及性质 目 录 题型01 理解圆的相关概念 题型02 圆的周长与面积相关计算 题型03 圆中的角度计算 题型04 圆中线段长度的计算 题型05 求一点到圆上一点的距离最值 题型06 由垂径定理及推论判断正误 题型07 利用垂径定理求解 题型08 根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解 题型09 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标 题型10 利用垂径定理求平行弦问题 题型11 利用垂径定理求同心圆问题 题型12 垂径定理在格点中的应用 题型13 利用垂径定理的推论求解 题型14 垂径定理的实际应用 题型15 利用垂径定理求取值范围 题型16 利用弧、弦、圆心角关系判断正误 题型17 利用弧、弦、圆心角关系求解 题型18 利用弧、弦、圆心角关系求最值 题型19 利用弧、弦、圆心角关系证明 题型20 利用圆周角定理求解 题型21 利用圆周角定理推论求解 题型22 已知圆内接四边形求角度 题型23 利用圆的有关性质求值 题型24 利用圆的有关性质证明 题型25 利用圆的有关性质解决翻折问题 题型26 利用圆的有关性质解决多结论问题 题型27 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距 题型28 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角 题型01 理解圆的相关概念 1．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（ ） ．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 ．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴 【答】D 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意； B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意； 、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意； D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大． 2．（2020·内蒙古乌兰察布·校考一模）下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的 直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个 数是（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【答】 【分析】本题考查了三角形的内切圆、圆周角定理、垂径定理以及弧与圆心角的关系的知识点，注意熟记 定理是解此题的关键． ①根据确定圆的条件进行解答即可； ②利用直径所在的直线为圆的对称轴进行判断即可； ③根据垂径定理即可得出结论； ④根据三角形外心的性质可得出结论； ⑤根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本小题错误； ②直径所在的直线为圆的对称轴，故本小题错误； ③平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本小题错误； ⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误． ∴正确命题的个数为0 个． 故选：． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆的对称性、垂径定理及三角形的 外心的性质，难度不大． 3．（2023·江苏徐州·统考一模）下列说法中，正确的是（ ） ①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形； ②对角线相等的四边形是矩形； ③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆是弧，但弧不一定是半圆 ．①④ B．②③ ．①③④ D．②③④ 【答】 【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可． 【详解】解：①、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项 正确； ②、对角线相等的平行四边形为矩形，故该选项错误； ③、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误； ④、弧分为优弧、劣弧、半圆弧，则半圆是弧，但弧不一定是半圆，故该项正确； 故选：． 【点睛】本题考查基本概念，熟记知识点是解题关键． 4．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里 去，这是因为（ ） ．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大 B．同一个圆所有的直径都相等 ．圆的周长是直径的π倍 D．圆是轴对称图形 【答】B 【分析】根据圆的特征即可求解． 【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去， 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键． 题型02 圆的周长与面积相关计算 5．（2022·山西临汾·统考二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌， 以手掌推出光泽而得名．图1 是平遥推光漆器的一种图，图2 是选取其某部分并且放大后的示意图．四边 形BD 是边长为2 的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，1 2对角线的长为半径画弧，四条弧相交于 点，则图中阴影部分的面积为（ ） ．2π−4 B．π−2 ．2π D．1 4 π 【答】 【分析】由题意得半径为❑ √2，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可． 【详解】解：∵四边形BD 是边长为2 的正方形 ∴正方形的对角线的长为2❑ √2 ∴半径为❑ √2 ∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积 ∴阴影部分面积=π（❑ √2）2-22=2π−4 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则 图形面积之间的关系． 6．（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后 来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的 边沿（ ） ．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多 ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定 【答】 【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长L 的关系即可． 【详解】设大圆的直径是D，图（2）中三个小圆的直径分别为：d1,d2,d3, d ∴ 1+d2+d3=D 根据圆周长公式，得图（1）中，需要2πD； 图（2）中，需要πD +πd1+πd2+πd3=πD +π( d1+d2+d3)= 2πD 故选：． 【点睛】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取π，所有的直径之和是大圆的直径． 7．（2019·河北张家口·统考一模）半径为R、r的两个同心圆如图所示，已知半径为r的圆周长为a，且 R−r=1，则半径为R的圆周长为（ ） ．a+1 B．a+2 ．a+π D．a+2π 【答】D 【分析】根据半径为r 的圆的周长表示出半径r 【详解】∵半径为r的圆周长为a， ∴2πr=a， ∴r= a 2π ， ∵R−r=1， R=1+r= ∴ 1+ a 2π =2π+a 2π ， ∴半径为R的圆周长为2π ⋅2π+a 2π =a+2π， 故选：D 【点睛】此题考查圆的周长公式，熟记公式是解题的关键 8．（2021·江苏宿迁·统考一模）一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°， BC=3cm．将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周． （1）画出边BC旋转一周所形成的图形； （2）求出该图形的面积． 【答】（1）画图见详解；（2）B 扫过的面积S 圆环=¿9 π． 【分析】（1）由三角板ABC可求B=2B=6m，由勾股定理：=❑ √A B 2−BC 2=❑ √36−9=3 ❑ √3，边BC在平 面内绕顶点A旋转一周．图形是以B 为半径的圆去掉以为半径的圆，所形成的圆环，如图所示； （2）B 扫过的面积S 圆环=πA B 2−πA C 2计算即可． 【详解】解：（1）∵三角板ABC，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm， B=2B=6m ∴ ， ∴由勾股定理：=❑ √A B 2−BC 2=❑ √36−9=3 ❑ √3， 边BC在平面内绕顶点A旋转一周．图形是以B 为半径的圆去掉以为半径的圆，所形成的圆环，如图所示： （2）B 扫过的面积S 圆环=πA B 2−πA C 2=36 π−27 π=9 π． 【点睛】本题考查画旋转图形，勾股定理，30°直角三角形的性质，圆环面积，掌握画旋转图形方法，勾股 定理，30°直角三角形的性质，圆环面积求法是解题关键． 题型03 圆中的角度计算 9．（2023·山东聊城·统考一模）如图，B 是⊙的弦，⊥B，垂足为，OD∥AB，＝1 2D，则∠BD 的度数为 （ ） ．90° B．95° ．100° D．105° 【答】D 【分析】连接B，即得出B＝D，从而得出∠BD＝∠DB．根据含30 度角的直角三角形的性质结合题意可判 断∠B＝30°，再利用平行线的性质可得出∠BD＝∠B＝30°，从而根据三角形内角和求出∠BD＝∠DB＝75°， 最后由∠BD＝∠B+∠BD 求解即可． 【详解】如图：连接B， ∴B＝D， ∴∠BD＝∠DB． ∵＝1 2D， ∴＝1 2B． ∵⊥B， ∴sin∠OBC=OC OB =1 2, ∴∠B＝30°． ∵OD∥AB， ∴∠BD＝∠B＝30°， ∴∠BD＝∠DB＝75°， ∴∠BD＝∠B+∠BD=30°+75°＝105°． 故选D． 【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，平行线的性质，三 角形内角和定理的应用．连接常用的辅助线是解题关键． 10．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC=80 °，点D 为弦AC的中点， 点E 为´ BC上任意一点，则∠CED的大小可能是（ ） ．10 ° B．20 ° ．30 ° D．40 ° 【答】 【分析】连接D、E，先求出∠D=40°，∠B=100°，设∠BE=x，则∠E=100°-x，∠DE=100°-x+40°；然后运用 等腰三角形的性质分别求得∠ED 和∠E，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：连接D、E = ∵ ∴△是等腰三角形 ∵∠AOC=80 °，点D 为弦AC的中点 D=40° ∴∠ ，∠B=100° 设∠BE=x，则∠E=100°-x，∠DE=100°-x+40° =E ∵ ，∠E=100°-x E= ∴∠ 180 ∘−(100 ∘−x) 2 =40 ∘+ x 2 D ∵＜E，∠DE=100°-x+40°=140°-x ED ∴∠ ＜180 ∘−(140 ∘−x) 2 =20 ∘+ x 2 ED ∴∠ ＞∠E- ED= ∠ (40 ∘+ x 2)−(20 ∘+ x 2)=20°． 又∵∠ED＜∠B=40°， 故答为． 【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本 题的关键． 11．（2023·湖南湘西·统考模拟预测）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按 顺时针方向旋转得到△O ' A ' B，使点O落在⊙O上，边A ' B交线段AO于点C．若∠A '=27°，则 ∠OCB=¿ 度． 【答】87 【分析】根据旋转对应边相等及半径相等得到等边△OBO '，得到旋转角为60°，然后利用三角形外角和 定理计算即可． 【详解】∵△AOB绕点B按顺时针方向旋转得到△O ' A ' B，点O落在⊙O上， ∴∠A=∠A '=27°，OB=O ' B， 连接OO '， ∵OB=OO '， ∴△OO ' B为等边三角形， ∴∠OBO '=60°， ∴△AOB绕点B按顺时针方向旋转了60°， ∴∠AB A '=60°， ∴∠OCB=∠A+∠AB A '=27°+60°=87°． 故答为：87 【点睛】本题考查旋转中角度的计算，旋转过程中对应边相等，对应角相等，旋转角处处相等．本题中利 用圆的半径相等得到边长关系进而求得角度关系是解题的关键． 题型04 圆中线段长度的计算 12．（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，点D 在斜边AB上，以BD为直径 的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长 为（ ） ．40 3 B．8 ．24 5 D．6 【答】 【分析】连接OE，证明OE∥BC，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接OE，如图， ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE=∠CBE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠CBE=∠OEB， ∴OE∥BC， ∴△AOE∽△ABC， ∴OE BC = AO AB ， ∵⊙O的半径为3，AD=2， ∴AO=AD+OD=5，AB=AO+OB=8， ∴BC=OE⋅AB AO =3×8 5 =24 5 ， 故选：． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90 ∘，点D 在斜边AB上，以BD为直径的 ⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为 （ ） ．40 3 B．8 ．24 5 D．9 5 【答】 【分析】连接OE，由角平分线的性质，等腰三角形的性质的推出∠OEB=∠CBE，得到OE∥BC，因 此△AOE ∼ △ABC，得到AO：AB=OE：BC代入有关数据，即可求出BC的长． 【详解】解：如图，连接OE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∵OE=OB， ∴∠OEB=∠ABE， ∴∠OEB=∠CBE， ∴OE∥BC， ∴△AOE ∼ △ABC， ∴AO：AB=OE：BC， ∵⊙O的半径为3，AD=2， ∴AO=AD+OD=2+3=5，AB=AD+BD=2+6=8， ∴5：8=3：BC， ∴BC=24 5 ． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形 的判定和性质． 14．（2022·湖北武汉·武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，将两个正方形如图放置（B，，E 共线， D，，G 共线），若B＝3，EF＝2，点在线段B 上，以F 为半径作⊙，点，点F 都在⊙上，则D 的长是（ ） ．4 B．❑ √10 ．❑ √13 D．❑ √26 【答】B 【分析】连接，F，由题意得=F，设=x，由勾股定理得( x+2) 2+2 2=(3−x) 2+3 2，解答方程可得的值，再 运用勾股定理可得D 的长． 【详解】解：连接，F，如图， ∵F 是半圆的半径， = ∴F， ∵四边形BD、EFG 是正方形， ∴∠ABC=∠DCB=∠FEC=90°，AB=BC=CD=3,CE=EF=2 设OC=x， ∴B=B-=3-x，E=+E=x+2， 在RtΔ ABO和RtΔ EFO中， A B 2+BO 2=A O 2,O E 2+E F 2=O F 2, ∴3 2+(3−x) 2=A O 2,( x+2) 2+2 2=O F 2， ∵AO=FO ∴3 2+(3−x) 2=( x+2) 2+2 2, 解得，x=1，即=1， 在Rt△DOC中，DO 2=OC 2+DC 2, ∴OD= ❑ √OC 2+C D 2= ❑ √1 2+3 2=❑ √10, 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，勾股定理以及正方形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 题型05 求一点到圆上一点的距离最值 15．（2023·湖北咸宁·统考二模）如图，正方形ABCD内接干圆O，线段MN在对角线BD 上运动，若圆的 面积为2π，MN=1，△AMN周长的最小值是 ． 【答】4 【分析】由正方形的性质知点是点关于BD的对称点，过点作CA ' ∥BD，且使CA '=1，连接AA '交BD于 点，取MN=1，连接AM 、CM，则点M、为所求点，进而求解． 【详解】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为❑ √2，BD=2❑ √2=AC， 由正方形的性质知点是点关于BD的对称点， 过点作CA ' ∥BD，且使CA '=1， 连接AA '交BD于点，取MN=1，连接AM 、CM，则点M、为所求点， 理由：∵A ' C ∥MN，且A ' C=MN，则四边形MCA ' N为平行四边形， 则A ' N=CM=AM， 故△AMN的周长¿ AM + AN +MN=AA '+1为最小， ∵正方形ABCD中AC ⊥BD， ∴ A ' C ⊥AC， ∴ A ' A= ❑ √A C 2+ A 'C 2= ❑ √(2❑ √2) 2+1 2=3， 则△AMN的周长的最小值为3+1=4， 故答为：4． 【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、的位置是解题的关键． 16．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系xoy中，⊙O的半径为2，点M 在⊙O上，点在线段 OM上，设ON=t （1<t<2），点P 的坐标为(−4,0)，将点P 沿OM方向平移2 个单位，得到点P '，再 将点P '作关于点的对称点Q，连接PQ，当点M 在⊙O上运动时，PQ长度的最大值与最小值的差为 ． （用含t 的式子表示） 【答】4t−4/−4+4t 【分析】根据题意作出点P '和点Q，连接P ' M,PO，并延长 P ' M至点B，使得P ' M=BM,连接BQ并延长 交PO的延长线于点，证明四边形P ' PCB为平行四边形，四边形P ' POM为平行四边形，求出PC和CQ的 长度，根据三角形三边关系即可判断． 【详解】 解：根据题意作出点P '和点Q，如图，连接P ' M,PO，并延长 P ' M至点B，使得P ' M=BM,连接BQ并延 长交PO的延长线于点， ∵将点P '作关于点的对称点Q， ∴P ' N=NQ， ∵P ' M=BM， ∴BQ=2 MN=2× (OM−ON )=4−2t，且MN ∥BQ， ∵将点P 沿OM方向平移2 个单位， ∴P ' P∥OM ∥BQ，P ' M ∥PO， ∴四边形P ' PCB为平行四边形，四边形P ' POM为平行四边形， ∵将点P 沿OM方向平移2 个单位， ∴P ' P=BC=2， ∴QC=BC−BQ=2−(4−2t )=2t−2， ∵点P 的坐标为(−4,0)， ∴PC=P ' B=2 P '