专题24.4 圆周角定理【十大题型】（解析版）

专题244 圆周角定理【十大题型】 【人版】 【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】......................................................................2 【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】.................................................................................................. 5 【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】...........................................................................................................9 【题型4 翻折中的圆周角的运用】.......................................................................................................................13 【题型5 利用圆周角求最值】...............................................................................................................................18 【题型6 圆周角中的证明】...................................................................................................................................22 【题型7 圆周角中的多结论问题】.......................................................................................................................28 【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】............................................................................32 【题型9 圆周角与量角器的综合运用】............................................................................................................... 37 【题型10 利用圆周角求取值范围】......................................................................................................................40 【知识点1 圆周角定理及其推论】 【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】 【例1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，D 是⊙的直径，⊙上的两点，B 分别在直径D 的 圆 周 角 定 理 定理：圆周角的度数等于它 所对的弧的圆心角度 数的一半 是 所对的圆心角， 是 所对的圆周角， 推论1：同弧或等弧所对的圆 周角相等 和 都是 所对的圆周 角 推论2：直径所对的圆周角是 直角， 的圆周 角所对的弦是直径 是 的直径 是 所对的圆周角 是 所对的圆周角 是 的直径 C B A O D C B A O C B A O 1 两侧，且∠B＝78°，则∠D 的度数为（ ） ．12° B．22° ．24° D．44° 【分析】利用圆周角定理求出∠＝156°，可得结论． 【解答】解：∵∠＝2∠B，∠B＝78°， ∠＝156°， ∴∠D＝180°∠＝24°， 故选：． 【变式1-1】（2022•温州）如图，B，是⊙的两条弦，D⊥B 于点D，E⊥于点E，连结 B，．若∠DE＝130°，则∠B 的度数为（ ） ．95° B．100° ．105° D．130° 【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠B＝50°，再根据圆周角定理得到∠B＝ 2∠B，进而可以得到答． 【解答】解：∵D⊥B，E⊥， ∴∠D＝90°，∠E＝90°， ∵∠DE＝130°， ∴∠B＝360° 90° 90° 130° ﹣ ﹣ ﹣ ＝50°， ∴∠B＝2∠B＝100°， 故选：B． 【变式1-2】（2022•蓝山县一模）如图，点，B，在⊙上，∠1＝40°，∠＝25°，则∠B＝（ ） ．100° B．70° ．55° D．65° 1 【分析】根据圆周角定理得出∠B ＝2 1 ∠＝80° ，根据三角形内角和定理得出 ∠1+∠B+∠DB＝180°，∠+∠B+∠D＝180°，求出∠1+∠B＝∠B+∠即可． 【解答】解：设B 交于D， 1 ∵∠＝40°， ∴∠B＝2 1 ∠＝80°， 1+ ∵∠ ∠B+∠DB＝180°，∠+∠B+∠D＝180°，∠DB＝∠D， 1+ ∴∠ ∠B＝∠B+∠， ∵∠＝25°， 40°+ ∴ ∠B＝80°+25°， ∴∠B＝65°， 故选：D． 【变式1-3】（2022 春•汉阳区校级月考）如图，B，D 为⊙的两条弦，若∠+∠＝120°，B＝ 2，D＝4，则⊙的半径为（ ） ．2❑ √5 B．2❑ √7 ．2❑ √15 3 D．2❑ √21 3 【分析】连接B，，，D，证明∠B+∠D＝90°，在⊙上点D 的右侧取一点E，使得DE＝ B，过点E 作ET⊥D 交D 的延长线于点T，则^ AB=^ DE，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，连接B，，，D， 1 ∵∠B＝2∠B，∠D＝2∠D，∠B+∠D＝120°， ∴∠B+∠D＝240°， ∴∠B+∠D＝120°， 在⊙上点D 的右侧取一点E，使得DE＝B，过点E 作ET⊥D 交D 的延长线于点T，则 ^ AB=^ DE， ∴∠B＝∠DE， ∴∠E＝120°， ∴∠DE＝120°， ∴∠EDT＝60°， ∵DE＝B＝2， ∴DT＝1，ET¿ ❑ √3， ∴T＝D+DT＝4+1＝5， ∴E¿ ❑ √C T 2+ET 2= ❑ √5 2+(❑ √3) 2=2❑ √7， 作F⊥E，则∠F＝60°，F¿ ❑ √7， ∴＝E¿ ❑ √7 ❑ √3 2 =2❑ √21 3 ， 故选：D． 【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 【例2】（2022•保亭县二模）如图，B 为⊙的直径，点、D 在圆上，E⊥B 于点E，若∠D＝ 48°，则∠1＝（ ） 1 ．42° B．45° ．48° D．52° 【分析】连接，根据圆周角定理得出∠＝∠D＝48°，∠B＝90°，求出∠B，根据垂直求出 ∠EB，再求出∠1 即可． 【解答】解：连接， 由圆周角定理得：∠＝∠D， ∵∠D＝48°， ∴∠＝48°， ∵B 是⊙的直径， ∴∠B＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠＝42°， ∵E⊥B， ∴∠BE＝90°， 1 ∴∠＝90°﹣∠B＝48°， 故选：． 【变式2-1】（2022•南充）如图，B 为⊙的直径，弦D⊥B 于点E，F⊥B 于点F，∠BF＝ 65°，则∠D 为（ ） ．70° B．65° ．50° D．45° 【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B＝25°，由垂径定理得：^ AC=^ AD，最后由 圆周角定理可得结论． 【解答】解：∵F⊥B， ∴∠BF＝90°， ∵∠BF＝65°， 1 ∴∠B＝90° 65° ﹣ ＝25°， ∵弦D⊥B，B 为⊙的直径， ∴^ AC=^ AD， ∴∠D＝2∠B＝50°． 故选：． 【变式2-2】（2022•十堰二模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝54°，以B 为直径的⊙交 B 于点D．E 是⊙上一点，且^ CE=^ CD，连接E．过点E 作EF⊥E，交的延长线于点F， 则∠F 的度数为（ ） ．92° B．108° ．112° D．124° 【分析】连接D，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠D＝∠E，根据直角三角形的两 锐角互余得出∠B＝90°﹣∠＝36°，根据圆周角定理求出∠D＝2∠B＝72°，求出∠E＝∠D ＝72°，再根据四边形的内角和等于360°求出即可． 【解答】解：解法一、连接D， ∵^ CD=^ CE， ∴∠D＝∠E， ∵∠B＝90°，∠＝54°， ∴∠B＝90°﹣∠＝36°， ∴∠D＝2∠B＝72°， ∴∠E＝∠D＝72°， ∵E⊥EF， ∴∠EF＝90°， ∵∠B＝90°， 1 ∴∠BF＝90°， ∴∠F＝360°﹣∠EF﹣∠BF﹣∠E＝360° 90° 90° 72° ﹣ ﹣ ﹣ ＝108°； 解法二、∵∠B＝90°，∠＝54°， ∴∠B＝90°﹣∠＝36°， ∵^ DC=^ CE， ∴∠E＝2∠B＝72°， ∵E⊥EF， ∴∠EF＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠BF＝90°， ∴∠F＝360°﹣∠EF﹣∠BF﹣∠E＝360° 90° 90° 72° ﹣ ﹣ ﹣ ＝108°； 故选：B． 【变式2-3】（2022•本溪模拟）如图，在⊙中，^ AB=^ BC，直径D⊥B 于点，P 是^ AC上一 点，则∠BPD 的度数是 30° ． 【分析】连接、B，如图，先根据垂径定理得到^ AC=^ BC，所以^ AB=^ BC=^ AC，利用 圆心角、弧、弦的关系得到∠＝∠B＝∠B＝120°，所以∠BD＝60°，然后根据圆周角定理 求解． 【解答】解：连接、B，如图， ∵D⊥B， ∴^ AC=^ BC， ∵^ AB=^ BC， ∴^ AB=^ BC=^ AC， ∴∠＝∠B＝∠B¿ 1 3 ×360°＝120°， ∴∠BD＝180° 120° ﹣ ＝60°， ∴∠BPD¿ 1 2∠BD＝30°． 故答为：30°． 1 【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】 【例3】（2022•中山市三模）如图，B 是⊙的直径，若＝2，∠D＝60°，则B 长等于（ ） ．4 B．5 ．❑ √3 D．2❑ √3 【分析】根据圆周角定理得出∠B＝90°，∠B＝∠D＝60°，求出∠B＝90°﹣∠B＝30°，根 据含30 度角的直角三角形的性质求出B＝2＝4，再根据勾股定理求出B 即可． 【解答】解：∵B 是⊙的直径， ∴∠B＝90°， ∵∠D＝60°， ∴∠B＝∠D＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠B＝30°， ∵＝2， ∴B＝2＝4， ∴B¿ ❑ √A B 2−A C 2= ❑ √4 2−2 2=¿2❑ √3， 故选：D． 【变式3-1】（2022•潍坊二模）如图，已知以△B 的边B 为直径的⊙经过点，D⊥交⊙于点 D，连接BD．若∠B＝36°，则∠DB 的度数为（ ） ．32° B．27° ．24° D．18° 【分析】设与D 相交于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠B＝90°，从而求出∠B 1 ＝54°，再根据垂直定义可得∠E＝90°，从而可得D∥B，然后利用等腰三角形和平行线的 性质可得BD 平分∠B，即可解答． 【解答】解：设与D 相交于点E， ∵B 是⊙的直径， ∴∠B＝90°， ∵∠B＝36°， ∴∠B＝90°﹣∠B＝54°， ∵D⊥， ∴∠E＝90°， ∴∠E＝∠B＝90°， ∴D∥B， ∴∠DB＝∠DB， ∵D＝B， ∴∠DB＝∠BD， ∴∠BD＝∠DB¿ 1 2∠B＝27°， ∴∠DB＝∠BD＝27°， 故选：B． 【变式3-2】（2022•江夏区校级开学）如图，⊙的直径B 为8，D 为^ AC上的一点，DE⊥于 点E，若E＝3E，∠B＝30°，则DE 的长是（ ） ．8 5 B．❑ √13−¿2 ．❑ √3 D．3 2 【分析】在30°的直角三角形B 中求出＝4❑ √3，根据E＝3E 得到E¿ ❑ √3，再分别求出 DF、ME、MF 的长度即可得解． 1 【解答】解：如图，连接连接B、D，作F⊥DE，交DE 的延长线于点F，DF、B 交于 点M ∵B 为直径， ∴∠B＝90°， 又∵∠B＝30°， ∴B＝4，＝4❑ √3， ∵E＝3E， ∴E¿ ❑ √3， ∵DE⊥，∠B＝30°， ∴EM＝1，M＝2， ∴M＝﹣M＝4 2 ﹣＝2， 在Rt△MF 中， ∵∠FM＝90°，∠MF＝∠ME＝90° 30° ﹣ ＝60°，M＝2， ∴MF＝1，F¿ ❑ √3， ∵∠F＝90°， ∴DF¿ ❑ √OD 2−OF 2= ❑ √4 2−3=❑ √13， ∴DE＝DF﹣ME﹣MF¿ ❑ √13−2． 故选：B． 【变式3-3】（2022 秋•如皋市校级期中）在⊙中，B 为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦 翻折交B 于点D，连接D． （1）如图1，若点D 与圆心重合，＝2，求⊙的半径r； （2）如图2，若点D 与圆心不重合，∠B＝25°，求∠D 的度数． 【分析】（1）过点作E⊥于E，由垂径定理可知E¿ 1 2¿ 1 2 ×2＝1，根据翻折后点D 与圆 1 心重合，可知E¿ 1 2r，在Rt△E 中，根据勾股定理可得出r 的值； （2）连接B，根据直径所对的圆周角是直角求出∠B，根据直角三角形两锐角互余求出 ∠B，再根据翻折的性质得到^ ADC所对的圆周角，然后根据∠D 等于^ ADC所对的圆周角 减去^ CD所对的圆周角，计算即可得解． 【解答】解：（1）如图1，过点作E⊥于E 则E¿ 1 2¿ 1 2 ×2＝1， ∵翻折后点D 与圆心重合， ∴E¿ 1 2r， 在Rt△E 中，2＝E2+E2， 即r2＝12+（1 2r）2，解得r¿ 2❑ √3 3 ； （2）连接B， ∵B 是直径， ∴∠B＝90°， ∵∠B＝25°， ∴∠B＝90°﹣∠B＝90° 25° ﹣ ＝65°， 根据翻折的性质，^ AC所对的圆周角为∠B，^ ABC所对的圆周角为∠D， ∴∠D+∠B＝180°， ∴∠B＝∠DB＝65°， ∴∠D＝∠DB﹣∠＝65° 25° ﹣ ＝40°． 【题型4 翻折中的圆周角的运用】 【例4】（2022 春•福田区校级月考）如图，B 是⊙的直径，B 是⊙的弦，先将^ BC沿B 翻折 交B 于点D，再将^ BD沿B 翻折交B 于点E．若^ BE=^ DE，则∠BD 的度数是（ ） 1 ．225° B．30° ．45° D．60° 【分析】证明∠B＝3α，利用三角形内角和定理求出α，可得结论． 【解答】解：设∠B＝α， 则^ DE，^ CD，^ AC的度数都为2α， ∴^ BD的度数＝4α， ∵翻折， ∴^ BD的度数＝4α， ∴^ CB的度数＝2α+4α＝6α， ∵^ CB的度数+^ AC的度数＝180°， 2α+6α ∴ ＝180°， α ∴＝225°． ∴^ BD的度数＝90° ∴∠BD＝45°． 故选：． 【变式4-1】（2022 秋•萧山区期中）如图，在⊙中，B 为直径，点为圆上一点，将劣弧沿 弦翻折交B 于点D，连结D，若∠B＝25°，则∠BD 的度数为（ ） ．45° B．55° ．65° D．70° 【分析】解法一、补齐翻折后的弧为圆⊙P，根据圆周角定理得出^ BC=^ DC，求出∠BD ＝∠DB，根据圆周角定理求出∠B＝90°，再求出∠B 即可；解法二、过D 作DE⊥于E， 延长DE 交⊙于F，连接F、F、B，根据圆周角定理得出∠B＝90°，根据翻折变换得出 1 ∠F＝∠B＝25°，∠D＝∠F，根据圆内接四边形的性质得出∠BF+∠BF＝180°，求出∠F＝ 40°，求出∠D＝∠F＝40°，再根据三角形的外角性质求出即可． 【解答】解：解法一、补齐翻折后的弧为圆⊙P 则⊙和⊙P 为等圆， ∵∠B 在⊙和⊙P 中分别对应弧B 和弧D， ∴^ BC=^ DC（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等）， ∴B＝D， ∴∠BD＝∠DB， ∵B 为⊙直径， ∴∠DB＝90°﹣∠B＝65°， ∴∠BD＝65°； 解法二、过D 作DE⊥于E，延长DE 交⊙于F，连接F、F、B， ∵B 是⊙的直径， ∴∠B＝90°， ∵将劣弧沿弦翻折交B 于点D，连结D，∠B＝25°， ∴∠F＝∠B＝25°，∠D＝∠F， ∵点、F、、B 四点共圆， ∴∠BF+∠BF＝180°， 25°+25°+90°+ ∴ ∠F＝180°， 解得：∠F＝40°， 即∠D＝∠F＝40°， ∵∠B＝25°， 1 ∴∠BD＝∠B+∠D＝25°+40°＝65°， 故选：． 【变式4-2】（2022 秋•硚口区期末）如图，B 为⊙的一条弦，为⊙上一点，∥B．将劣弧B 沿弦B 翻折，交翻折后的弧B 交于点D．若D 为翻折后弧B 的中点，则∠B＝（ ） ．110° B．1125° ．115° D．1175° 【分析】如图，连接，B，BD．设∠DB＝x．用x 表示出∠BD，∠BD，∠DB，利用三角 形内角和定理，构建方程求解． 【解答】解：如图，连接，B，BD．设∠DB＝x． ∵^ AD=^ BD， ∴D＝DB， ∵^ BD=^ BC， ∴BD＝D， ∴∠DB＝∠DB＝x，∠BD＝∠BD＝∠DB+∠BD＝2x， ∵∥B， ∴∠＝∠DB＝x， ∵＝＝B， ∴∠B＝∠B＝3x，∠D＝∠＝x，∠B＝∠B＝2x， ∴∠BD＝x， ∴∠BD＝4x， 在△BD 中，∠BD+∠DB+∠DB＝180°， 2 ∴x+2x+4x＝180°， ∴x＝225°， ∴∠B＝5x＝1125°， 故选：B． 【变式4-3】（2022 秋•丹江口市期中）已知⊙的直径B 长为10，弦D⊥B，将⊙沿D 翻折， 翻折后点B 的对应点为点B′，若B′＝6，B′的长为（ ） 1 ．4 ❑ √5 B．2❑ √5或4 ❑ √5 ．2❑ √5 D．2❑ √5或4 ❑ √3 【分析】分点B'在线段B 上，点B'在B 延长线上两种情况讨论，根据勾股定理可求 MB'的长度． 【解答】解：①如图1 中：当点B'在线段B 上，连接． ∵B＝10，B'＝6， ∴＝B＝5＝，BB'＝4， ∴B'＝1， ∵B，B′关于D 对称， ∴BE＝B'E＝2， ∴E＝B′+EB′＝3， 在Rt△E 中，E2＝2﹣E2＝25 9 ﹣＝16， 在Rt△B'E 中，B'¿ ❑ √EC 2+EB' 2= ❑ √4 2+2 2=¿2❑ √5． ②若点B'在B 的延长线上，连接， ∵B'＝6，B＝10， 1 ∴B'B＝16，＝B＝＝5， ∵B，B′关于D 对称， ∴B'E＝BE＝8， ∴E＝BE﹣B＝3， 在Rt△E，E2＝2﹣E2＝25 9 ﹣＝16， 在Rt△B'E 中，B'¿ ❑ √E