题型5 圆的相关证明与计算 类型2 与切线有关的证明与计算（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型二 与切线有关的证明与计算（专题训练） 1．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点，连接 ，且 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若直径 ，求 的长． 【答】(1)详见解析 (2) 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论； (2)根据已知条件可知 ，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关 系即可求得线段 的长度． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 是 的切线； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）解：∵ ， ∴ ， ∵在 中， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， 又∵ ， 即 ， 解得 （取正值）， ∴ ， 【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和 判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键． 2 如图， 内接于 ， 是 的直径， 为 上一点， ，延长 交 于点 ， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求 的长． 【答】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）根据 ，可得 ，根据对顶角相等可得 ，进而可得 ，根据 ，可得 ，结合 ，根据角度的转化 可得 ，进而即可证明 是 的切线； （2）根据 ，可得 ，设 ，则 ，分别求得 ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根 据 即可求得． 【详解】 （1） ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 是 的切线； （2） ， ， ， 设 ，则 ， ， ， 在 中， ， 即 ， 解得 （舍去）， ． 【点睛】 本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相 等将已知条件转化是解题的关键． 3．（2023·江西·统考中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 与 相交于点D，E 为 上一点，且 ． (1)求 的长； (2)若 ，求证： 为 的切线． 【答】(1) (2)见解析 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】（1）如图所示，连接 ，先求出 ，再由圆周角定理得到 ，进而求出 ，再根据弧长公式进行求解即可； （2）如图所示，连接 ，先由三角形内角和定理得到 ，则由圆周角定理可 得 ，再由 是 的直径，得到 ，进而求出 ，进一步推出 ，由此即可证明 是 的切线． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ， ∵ 是 的直径，且 ， ∴ ， ∵E 为 上一点，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的长 ； （2）证明：如图所示，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ 是 的半径， ∴ 是 的切线． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正 确作出辅助线是解题的关键． 4．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 上一点，过点 作 的切线 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ． (1)若 ，求 的度数． (2)若 ，求 的长． 【答】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的外角的性质， 即可求解． （2）根据 是 的切线，可得 ，在 中，勾股定理求得 ， 根据 ，可得 ，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵ 于点 ， ∴ ， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）∵ 是 的切线， 是 的半径， ∴ ． 在 中， ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ∴ ，即 ， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例， 熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2023·辽宁·统考中考真题）如图， 是 的直径，点 在 上， ，点 在线段 的延长线上，且 ． (1)求证：EF 与 相切； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)若 ，求 的长． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用圆周角定理得到 ，结合已知推出 ，再证 明 ，推出 ，即可证明结论成立； （2）设 半径为x，则 ，在 中，利用正弦函数求得半径的长，再在 中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为 半径， ∴EF 与 相切； （2）解：设 半径为x，则 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 中， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ，即 ， 解得 ， 经检验， 是所列方程的解， ∴ 半径为4，则 ， 在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定 和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 6 如图， 内接于 ， ， 是 的直径，交 于点E，过点D 作 ，交 的延长线于点F，连接 ． （1）求证： 是 的切线； （2）已知 ， ，求 的长． 【答】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）由题意根据圆周角定理得出 ，结合同弧或等弧所对的圆周角相 等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可； （2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，继而运用相似比 即可求出 的长． 【详解】 解：（1）证明：∵ 是 的直径 ∴ （直径所对的圆周角是直角） 即 ∵ ∴ （等边对等角） ∵ ∴ （同弧或等弧所对的圆周角相等） ∴ ∵ ， ∴ ∴ 即 ∴ 又∵ 是 的直径 ∴ 是 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． （2）解：∵ ， ∴ ∵ ， ∴ （两个角分别相等的两个三角形相似） ∴ ， ∴ ∴ ． 【点睛】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌 握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 中，以 为直径的 交 于点E． 平分 ，过点E 作 于点D，延长 交 的延长线于点P． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ，求 的长． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接 ，利用角平分线的性质和等边对等角，证明 ，即可解答； （2）根据 ，可得 ，求出 的长，再利用勾股定理得 的长，即可得到 的长，最后证明 ，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接 ， ， ， 平分 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ， , , 是 的切线； （2）解：设 ，则 ， ，解得 ， ， ， 根据勾股定理可得 ， , ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线的判定和性质，相似三角形的 判定和性质，勾股定理，正弦的概念，熟练运用上述性质是解题的关键． 8 如图，B 为 的直径，为 上一点，D 为B 上一点， ，过点作 交 D 的延长线于点E，E 交 于点G，连接，G，在E 的延长线上取点F，使 ． （1）求证：F 是 的切线； （2）若 ， ，求 的半径． 【答】（1）见解析；（2）5 【分析】 （1）根据题意判定 ，然后结合相似三角形的性质求得 ，从而 可得 ，然后结合等腰三角形的性质求得 ，从而判定F 是 的 切线； （2）由切线长定理可得 ，从而可得 ，得到 ，然后利用勾股 定理解直角三角形可求得圆的半径． 【详解】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）证明： ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， B 是 的直径， ， 又 ， ， ， ， 即F 是 的切线； （2） F 是 的切线， ， ， ， ， 又 ， 在 中， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设 的半径为x，则 ， ， 在 中， ， 解得： ， 的半径为5． 【点睛】 本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟 练掌握相关定理与性质是解决本题的关键． 9．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D， ，垂足为E． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的长． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图： ，然后根据等边对等角可得 、 即 ，再根据 可得 ，进而得到 即可证明结论； （2）如图：连接 ，有圆周角定理可得 ，再解直角三角形可得 ，进而 得到 ，然后说明 ，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ , ∵ ， ∴ , ∴ , ∴ , ∴ 。 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的半径， ∴ 是 的切线． （2）解：如图：连接 ∵ 是 的直径， ∴ , 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质 等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键． 10 如图，四边形BD 内接于⊙，B 为⊙的直径，过点作E⊥D 交D 的延长线于点E，延长 E，B 交于点F，∠ED＝∠BF． （1）求证：E 为⊙的切线； （2）若DE＝1，D＝3，求⊙的半径． 【答】（1）见解析；（2）⊙的半径是45 【分析】 （1）如图1，连接，先根据四边形BD 内接于⊙，得 ，再根据等量代换和 直角三角形的性质可得 ，由切线的判定可得结论； （2）如图2，过点作 于G，连接，D，则 ，先根据三个角是直角的 四边形是矩形得四边形GE 是矩形，设⊙的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论． 【详解】 （1）证明：如图1，连接， ∵ ， ∴ ， ∵四边形BD 内接于⊙， ∴ 又 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵是⊙的半径， E ∴ 为⊙的切线； （2）解：如图2，过点作 于G，连接，D，则 ， ∵ ， ∴四边形GE 是矩形， ∴ ， 设⊙的半径为x， Rt△DE 中， ， ∴ ， ∴ ， ， 由勾股定理得 ， ∴ ， 解得： ， ⊙ ∴ 的半径是45． 【点睛】 本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 关性质是解决问题的关键． 11（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 上一点过点 作 于点 ，交 于点 ，点 是 延长线上一点，连接 ， ， ． (1)求证： 是 切线； (2)若 ， ，求 的长． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出 ，利用已知条件进行等 量转换即可求出 ，最后利用 可证明 ，从而证 明 是 切线． （2）根据互余的两个角相等，利用 可求出 ，设参数表示出 和 ，再根据勾股定理用参数表示出 和 ，最后利用 即可求出参数的值，从 而求出 长度，即可求 的长． 【详解】（1）解：连接 ， ，如图所示， ， 为 的直径， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 切线． （2）解：连接 ，如图所示， 由（1）得， ， ， ， ． ， ． 设 则 ， 在 中， ， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 中， ． ， ， ． ． ， ． ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理， 解题的关键在于利用参数表达线段长度． 12 如图，B 内接于⊙，且B＝，其外角平分线D 与的延长线交于点D． （1）求证：直线D 是⊙的切线； （2）若D＝2 ，B＝6，求图中阴影部分面积． 【答】（1）见解析；（2） 【分析】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）连接，证明⊥D 即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明； （2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再 根据特殊锐角三角函数求出∠B． 【详解】 解：（1）如图，连接并延长交B 于E， B= ∵ ，△B 内接于⊙， E ∴ 所在的直线是△B 的对称轴，也是⊙的对称轴， ∠BE=∠E ∴ ， 又∵∠MD=∠BD，∠MD+∠BD+∠BE+∠E=180°， ∠BD+∠BE= ∴ ×180°=90°， 即D⊥， D ∴ 是⊙的切线； （2）连接B， ∠D=∠E=90° ∵ ，∠D=∠E， △D∽△E ∴ ， ∴ ， 由（1）可知 是 的对称轴， 垂直平分 ， ， 设半径为，在 中，由勾股定理得， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， 解得 （取正值）， 经检验 是原方程的解， 即 ， 又 ， 是等边三角形， ， ， ． 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇 形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键． 13．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， 是直 径， 是 的中点，过点 作 交 的延长线于点 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的长． 【答】(1)证明见解析 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2) ， 【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可， （2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证 是直角三角形，用勾股定理求出 长， 再通过三角形相似即可求解． 【详解】（1）连接 ∵ 为 的中点， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 为半径， ∴ 为 的切线， （2）∵ 为 直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ． 【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与 性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 14 如图，△B 内接于⊙，B 是⊙的直径，过⊙外一点D 作 ，DG 交线段于点G， 交B 于点E，交⊙于点F，连接DB，F，∠＝∠D． （1）求证：BD 与⊙相切； （2）若E＝E，F 平分∠B，BD＝12，求DE 的长． 【答】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）如图1，延长 至 ，证明 ，即可根据切线的判定可得 与 相切； （2）如图2，连接 ，先根据圆周角定理证明 ，再证明 ，列比例 式可得 ，即 的半径为4，根据勾股定理可得 的长． 【详解】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）证明：如图1，延长 至 ， ， ， ， ， 是 的直径， ， ， ， ， B⊥BD ∴ ， 与 相切； （2）解：如图2，连接 ， 平分 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ∠F ∴ ＝∠BF＝90°， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答 本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2 问关键是证明 ． 15．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在 中， ， 平分 交 于点D，点E 是斜边 上一点，以 为直径的 经过点D，交 于点 F，连接 ． (1)求证： 是 的切线； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)若 ， ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接 ， ，由角平分线的定义可得 ，从而 可得 ，再根据平行线的判定可得 ，从而可得 ， 再根据切线的判定即可得出结论； （2）连接 ， ，由 ， ，可得 ， ，再 由直角三角形的性质可得 ，再由圆周角定理可得 ，根据角平分 线的定义可得 ，利用锐角三角函数求得 ，再由直角三角形 的性质可得 ，证明