专题24.4 圆周角定理【十大题型】（原卷版）

专题244 圆周角定理【十大题型】 【人版】 【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】......................................................................2 【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】.................................................................................................. 5 【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】...........................................................................................................9 【题型4 翻折中的圆周角的运用】.......................................................................................................................13 【题型5 利用圆周角求最值】...............................................................................................................................18 【题型6 圆周角中的证明】...................................................................................................................................22 【题型7 圆周角中的多结论问题】.......................................................................................................................28 【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】............................................................................32 【题型9 圆周角与量角器的综合运用】............................................................................................................... 37 【题型10 利用圆周角求取值范围】......................................................................................................................40 【知识点1 圆周角定理及其推论】 【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】 【例1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，D 是⊙的直径，⊙上的两点，B 分别在直径D 的 圆 周 角 定 理 定理：圆周角的度数等于它 所对的弧的圆心角度 数的一半 是 所对的圆心角， 是 所对的圆周角， 推论1：同弧或等弧所对的圆 周角相等 和 都是 所对的圆周 角 推论2：直径所对的圆周角是 直角， 的圆周 角所对的弦是直径 是 的直径 是 所对的圆周角 是 所对的圆周角 是 的直径 C B A O D C B A O C B A O 1 两侧，且∠B＝78°，则∠D 的度数为（ ） ．12° B．22° ．24° D．44° 【变式1-1】（2022•温州）如图，B，是⊙的两条弦，D⊥B 于点D，E⊥于点E，连结 B，．若∠DE＝130°，则∠B 的度数为（ ） ．95° B．100° ．105° D．130° 【变式1-2】（2022•蓝山县一模）如图，点，B，在⊙上，∠1＝40°，∠＝25°，则∠B＝（ ） ．100° B．70° ．55° D．65° 【变式1-3】（2022 春•汉阳区校级月考）如图，B，D 为⊙的两条弦，若∠+∠＝120°，B＝ 2，D＝4，则⊙的半径为（ ） ．2❑ √5 B．2❑ √7 ．2❑ √15 3 D．2❑ √21 3 【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 【例2】（2022•保亭县二模）如图，B 为⊙的直径，点、D 在圆上，E⊥B 于点E，若∠D＝ 1 48°，则∠1＝（ ） ．42° B．45° ．48° D．52° 【变式2-1】（2022•南充）如图，B 为⊙的直径，弦D⊥B 于点E，F⊥B 于点F，∠BF＝ 65°，则∠D 为（ ） ．70° B．65° ．50° D．45° 【变式2-2】（2022•十堰二模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝54°，以B 为直径的⊙交 B 于点D．E 是⊙上一点，且^ CE=^ CD，连接E．过点E 作EF⊥E，交的延长线于点F， 则∠F 的度数为（ ） ．92° B．108° ．112° D．124° 【变式2-3】（2022•本溪模拟）如图，在⊙中，^ AB=^ BC，直径D⊥B 于点，P 是^ AC上一 点，则∠BPD 的度数是 ． 1 【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】 【例3】（2022•中山市三模）如图，B 是⊙的直径，若＝2，∠D＝60°，则B 长等于（ ） ．4 B．5 ．❑ √3 D．2❑ √3 【变式3-1】（2022•潍坊二模）如图，已知以△B 的边B 为直径的⊙经过点，D⊥交⊙于点 D，连接BD．若∠B＝36°，则∠DB 的度数为（ ） ．32° B．27° ．24° D．18° 【变式3-2】（2022•江夏区校级开学）如图，⊙的直径B 为8，D 为^ AC上的一点，DE⊥于 点E，若E＝3E，∠B＝30°，则DE 的长是（ ） ．8 5 B．❑ √13−¿2 ．❑ √3 D．3 2 【变式3-3】（2022 秋•如皋市校级期中）在⊙中，B 为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦 翻折交B 于点D，连接D． （1）如图1，若点D 与圆心重合，＝2，求⊙的半径r； 1 （2）如图2，若点D 与圆心不重合，∠B＝25°，求∠D 的度数． 【题型4 翻折中的圆周角的运用】 【例4】（2022 春•福田区校级月考）如图，B 是⊙的直径，B 是⊙的弦，先将^ BC沿B 翻折 交B 于点D，再将^ BD沿B 翻折交B 于点E．若^ BE=^ DE，则∠BD 的度数是（ ） ．225° B．30° ．45° D．60° 【变式4-1】（2022 秋•萧山区期中）如图，在⊙中，B 为直径，点为圆上一点，将劣弧沿 弦翻折交B 于点D，连结D，若∠B＝25°，则∠BD 的度数为（ ） ．45° B．55° ．65° D．70° 【变式4-2】（2022 秋•硚口区期末）如图，B 为⊙的一条弦，为⊙上一点，∥B．将劣弧B 沿弦B 翻折，交翻折后的弧B 交于点D．若D 为翻折后弧B 的中点，则∠B＝（ ） ．110° B．1125° ．115° D．1175° 【变式4-3】（2022 秋•丹江口市期中）已知⊙的直径B 长为10，弦D⊥B，将⊙沿D 翻折， 翻折后点B 的对应点为点B′，若B′＝6，B′的长为（ ） 1 ．4 ❑ √5 B．2❑ √5或4 ❑ √5 ．2❑ √5 D．2❑ √5或4 ❑ √3 【题型5 利用圆周角求最值】 【例5】（2022•瑶海区三模）如图，B 是⊙的直径，B＝8，点M 在⊙上，∠MB＝20°，是 弧MB 的中点，P 是直径B 上的一动点，若M＝2，则△PM 周长的最小值为（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【变式5-1】（2022•陈仓区一模）如图，△B 中，∠B＝45°，∠B＝75°，B＝4，D 是边B 上 的一个动点，以D 为直径画⊙，分别交B、于点E、F，连接EF，则线段EF 长度的最 小值为 ． 【变式5-2】（2022 秋•大连期末）如图，B 是⊙的直径，B＝2，点在⊙上，∠B＝30°，D 为^ BC的中点，E 是直径B 上一动点，则E+DE 最小值为（ ） ．1 B．❑ √2 ．❑ √3 D．2 【变式5-3】（2022•杏花岭区校级三模）如图，矩形BD 中，B¿ 3 2，B＝B2，E 为射线B 上 一动点，连接E 交以BE 为直径的圆于点，则线段D 长度的最小值为 ． 1 【题型6 圆周角中的证明】 【例6】（2022 秋•定陶区期末）如图1．在⊙中B＝，∠B＝70°，点E 在劣弧^ AC上运动， 连接E，BE，交于点F． （1）求∠E 的度数； （2）当点E 运动到使BE⊥时，连接并延长，交BE 于点D，交B 于点G，交⊙于点 M，依据题意在备用图中画出图形．并证明：G 为DM 的中点． 【变式6-1】（2022 春•金山区校级月考）已知D 为⊙的直径，、B 为⊙上两点，点为劣弧 B 中点，连接D、B、，且∠B＝30°． （1）求证：∠D＝30°； （2）F、G 分别为线段D、上两点，满足DF＝G，连接F、G，取G 中点，连接，请猜 测F 与之间的数量关系，并证明． 【变式6-2】（2022•武汉）如图，以B 为直径的⊙经过△B 的顶点，E，BE 分别平分∠B 和 ∠B，E 的延长线交⊙于点D，连接BD． （1）判断△BDE 的形状，并证明你的结论； （2）若B＝10，BE＝2❑ √10，求B 的长． 1 【变式6-3】（2022•南召县四模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德 著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为 该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较 长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，B 和B 是⊙的两条弦（即B 是圆的一条折弦），B＞B．M 是弧B 的中点，则从 M 向B 所作垂线之垂足D 是折弦B 的中点，即D＝B+BD． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段B 上从点截取一段线段＝B，连接M， MB，M，M． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M 作M⊥B 于点，连接M，MB，M． 任务：（1）请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程． （2）就图3 证明：M2﹣MB2＝B•B． 【题型7 圆周角中的多结论问题】 【例7】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙中，B 是⊙的直径，B＝10，^ AC=^ CD=^ DB，点 E 是点D 关于B 的对称点，M 是B 上的一动点，下列结论： ①∠BE＝30°；②∠DB＝2∠ED；③DM⊥E；④M+DM 的最小值是10，上述结论中正确 的个数是（ ） 1 ．1 B．2 ．3 D．4 【变式7-1】（2022 秋•淅川县期末）如图，已知：点、B、、D 在⊙上，B＝D，下列结论： ①∠＝∠BD；②∠BD＝2∠BD；③＝BD；④∠B＝∠BD；⑤∠+∠D＝180°．其中正确的个 数为（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【变式7-2】（2022 秋•厦门期末）在△B 中，B＝，以B 为直径的⊙交B 边于点D．要使得 ⊙与边的交点E 关于直线D 的对称点在线段上（不与端点重合），需满足的条件可以是 ．（写出所有正确答的序号） ①∠B＞60°；②45°＜∠B＜60°；③BD＞1 2B；④1 2B＜DE＜ ❑ √2 2 B． 【变式7-3】（2022 秋•东台市月考）如图，B 是⊙的直径，，D 是⊙上的点，且∥BD，D 与B，分别相交于点E，F，则下列结论：①D⊥BD；②∠＝∠E；③B 平分∠BD；④F ＝DF；⑤△EF≌△BED．其中一定成立的结论是 ．（填序号） 【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 【例8】（2022 春•杏花岭区校级月考）如图，，B 两点的坐标分别为（﹣2，0），（3， 0），点在y 轴正半轴上，且∠B＝45°，则点的坐标为（ ） 1 ．（0，7） B．（0，2❑ √10） ．（0，6） D．（0，3❑ √5） 【变式8-1】（2022 秋•秦淮区期末）如图，在四边形BD 中，B＝B＝BD．若∠B＝112°， 则∠D＝ °． 【变式8-2】（2022•北京模拟）已知三角形B 是锐角三角形，其中∠＝30°，B＝4，设B 边 上的高为，则的取值范围是 ． 【变式8-3】（2022 春•西湖区校级月考）已知：如图，四边形BD 中，D∥B，B＝B＝4， ∠B＝60°，∠＝105°，点E 为B 的中点，以E 为弦作圆，设该圆与四边形BD 的一边的交 点为P，若∠PE＝30°，则EP 的长为 ． 【题型9 圆周角与量角器的综合运用】 【例9】（2022•南召县模拟）以为中心点的量角器与直角三角板B 按如图方式摆放，量角 器的0 刻度线与斜边B 重合．点D 为斜边B 上一点，作射线D 交弧B 于点E，如果点E 所对应的读数为50°，那么∠BDE 的大小为（ ） 1 ．100° B．110° ．115° D．130° 【变式9-1】（2022 秋•南京期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点 在半圆圆心上，点B 在半圆上，边B，分别交半圆于点，D，点B，，D 对应的读数分 别为160°、72°、50°，则∠＝ ． 【变式9-2】（2022 秋•高港区期中）如图，一块直角三角板B 的斜边B 与量角器的直径重 合，点D 对应的刻度值为50°，则∠BD 的度数为 ． 【变式9-3】（2022 秋•北京期末）如图，量角器的直径与直角三角尺B 的斜边B 重合，其 中量角器0 刻度线的端点与点重合，射线P 从处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转， P 与量角器的半圆弧交于点E，则第20 秒点E 在量角器上对应的读数是 °． 【题型10 利用圆周角求取值范围】 【例10】（2022•观山湖区模拟）如图，B 是⊙的半径，弦B＝B，直径D⊥B．若点P 是线 段D 上的动点，点P 不与，D 重合，连接P．设∠PB＝β，则β 的取值范围是 ． 【变式10-1】（2022•河南三模）如图，点是以为直径的半圆的圆心，点B 在^ AC上，∠B＝ 1 30°，＝2．点D 是直径上一动点（与点，不重合），记D 的长为m．连接BD，点关于 BD 的对称点为点′，当点′落在由直径，弦AB，^ BC围成的封闭图形内部时（不包含边 界），m 的取值范围是 ． 【变式10-2】（2022 秋•台州期中）如图，已知B 是⊙的一条弦，点是⊙的优弧B 上的一 个动点（不与，B 不重合）， （1）设∠B 的平分线与劣弧B 交于点P，试猜想点P 劣弧B 上的位置是否会随点的运动 而变化？请说明理由 （2）如图②，设B＝8，⊙的半径为5，在（1）的条件下，四边形BP 的面积是否为定 值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请求出BP 的面积的取值范围． 【变式10-3】（2022 秋•高新区校级期末）如图，、B 为⊙上的两个定点，P 是⊙上的动点 （P 不与、B 重合），我们称∠PB 是⊙上关于、B 的滑动角．若⊙的半径是1，❑ √2≤B ≤❑ √3，则∠PB 的取值范围为 ． 1