15 因动点产生的面积问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年达州市中考第24 题 如图1，抛物线y＝x2＋bx＋过点(－1, 0)、B(3, 0)、(0, 3)． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P 是直线B 上方抛物线上一点，求出△PB 的最大面积及此时点P 的坐标； （3）若点M 是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平 是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平 面内一点，是否存在以B 为边，点B、、M、为顶点的四 边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在， 请说明理由． 图1 例 2023 年安徽省中考第23 题 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线y＝x2＋bx（≠0）经过点(3, 3)，对称轴 为直线x＝2． （1）求、b 的值； （2）已知点B、在抛物线上，点B （2）已知点B、在抛物线上，点B 的横坐标为t，点的横坐标为t＋1，过点B 作x 轴 的垂线交直线于点D，过点作x 轴的垂线交直线于点E． （）当0＜t＜2 时，求△BD 与△E 的面积之和； （）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B、、D、E 为顶点的四边形的面积 为 ？若存在，请求出点B 的横坐标t 的值；如不存在，请说明理由． 例 2023 年十堰市中考第25 题 已知抛物线y＝x2＋bx＋8

18 因动点产生的线段和差问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例15 2023 年张家界市中考第23 题 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋的图像与x 轴交于点(－2, 0)和点 B(6, 0)，与y 轴交于点(0, 6)．点D 为线段B 上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求△D 周长的最小值； （3）如图2，过动点D （3）如图2，过动点D 作DP//交抛物线第一象限部分于点P，连结P、PB，记 △PD 与△PBD 的面积和为S，当S 取得最大值时，求点P 的坐标，并求出此时S 的最大值． 图1 图2 例 2023 年枣庄市中考第23 题 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋经过(－1, 0)、(0, 3)两点，并交x 轴于另一点B，点M 是抛物线的顶点，直线M 是抛物线的顶点，直线M 与y 轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是x 轴上一动点，分别连接M、D，求M＋ D 的最小值； （3）若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否 存在点Q，使得以D，M，P，Q 为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标； 若不存在，请说明理由．

11 因动点产生的相似三角形问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年武汉市中考第24 题 抛物线1：y＝x2－2x－8 交x 轴于、B 两点（点在点B 的左侧），交y 轴于点． （1）直接写出、B、三点的坐标； （2）如图1，作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x 轴、线段B、抛物线1于点D、E、 F，连结F．若△BDE 与△EF y＝2x 与抛物线2交 于、G 两点，过G 的中点作直线M（异于直线G）交抛物线2于M、两点，直线M 与直线 G 交于点P．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理 由． 图1 图2 例 2023 年齐齐哈尔中考第24 题 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋上的点、的坐标分别为(0, 2)、(4, 0)，抛物线与x 0)，抛物线与x 轴负半 轴交于点B，点M 为y 轴负半轴上一点，且M＝2，联结、M． （1）求点M 的坐标及抛物线的解析式； （2）点P 是抛物线位于第一象限图像上的一点，连结P、P，当S△P＝S△M时，求点P 的坐标； （3）点D 是线段B（包括点B、）上的动点，过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点 Q，交直线M 于点，若以点Q、、为顶点的三角形与△M 相似，请直接写出点Q 的坐标；

中考压轴题《二次函数图象中点的存在性》解题技巧 因动点产生的相似三角形问题 例1：如图，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2 都经过点(2, m)． （1）求k 与m 的值； （2）此双曲线又经过点B(, 2)，过点B 的直线B 与直线y＝x＋2 平行交y 轴于点，联结 B、，求△B 的面积； （3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2 与y 轴交于点D，在射线B 上有一点E，如果 以点、、E 所组成的三角形与△D 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标． 思路点拨 1．直线D//B，与坐标轴的夹角为45°． 2．求△B 的面积，一般用割补法． 3．讨论△E 与△D 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分情况列方程． 解：（1）将点(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点的坐标为(2, 4)． 将点(2, 4)代入 ，得k＝8． （2）将点B(, 2)，代入 ，得＝4． 所以点B 的坐标为(4 的坐标为(4, 2)． 设直线B 为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2． 所以点的坐标为(0,－2)． 由(2, 4) 、B(4, 2) 、 (0,－2)，可知、B 两点间的水平距离和 竖直距离都是2，B、两点间的水平距离和竖直距离都是4． 所以B＝ ，B＝ ，∠B＝90°． 所以S△B＝ ＝ ＝8． （3）由(2, 4) 、D(0, 2) 、 (0,－2)，得D＝ ，＝ ．

14 因动点产生的平行四边形问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年济宁市中考第22 题 如图1，直线y＝－x＋4 交x 轴于点B，交y 轴于点，对称轴为直线 的抛物线经 过B、两点，交x 轴负半轴于点，P 为抛物线上一动点， 点P 的横坐标为m，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于 另一点M，作x 轴的垂线P，垂足为，直线M 交y 交y 轴于 点D． （1）求抛物线的解析式； （2）若0＜m＜ ，当m 为何值时，四边形DP 是 平行四边形？ （3）若m＜ ，设直线M 交直线B 于点E，是否 存在这样的m 值，使M＝2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由． 图1 例 2023 年岳阳市中考第24 题 已知抛物线Q1：y＝－x2＋bx＋与x 0)、B 两点，交y 轴于点(0, 3)． （1）请求出抛物线Q1的表达式； （2）如图1，在y 轴上有一点D(0,－1)，点E 在抛物线Q1上，点F 为坐标平面内一点， 是否存在点E、F，使得四边形DEF 为正方形？若存在，请求出点E、F 的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）如图2，将抛物线Q1 向右平移2 个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2 的顶点为 K，与x 轴正半轴交于点，抛物线

12 因动点产生的等腰三角形问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年广州市中考第25 题 如图1，在正方形BD 中，E 是边D 上一动点（不与点、D 重合），边B 关于BE 对称 的线段为BF，连结F． （1）若∠BE＝15°，求证：△BF 是等边三角形； （2）延长F，交射线BE 于点G． ①△BGF 能否成为等腰三角形？如果能，求 如图1，抛物线y＝x2＋bx＋的图像交x 轴于点、B，交y 轴于点，点B 的坐标为 (1, 0)，对称轴是直线x＝－1，点P 是x 轴上一动点，PM⊥x 轴，交直线于点M，交抛物线 于点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点P 在线段上运动（点P 与点、不重合）， 求四边形B 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在 点Q，使以M、、、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在， 为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 图1 例 2023 年上海市中考第25 题 已知在△B 中，B＝，点在边B 上，点F 为边B 的中点，以点为圆心、B 为半径的圆分 别交B、于点D、E，联结EF 交D 于点G． （1）如图1，如果G＝DG，求证：四边形EGD

13 因动点产生的直角三角形问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年黑龙江省龙东地区中考第28 题 如图1，在平面直角坐标系中，菱形B 的边在x 轴上，∠＝60°，的长是一元二次方程 x2－4x－12＝0 的根，过点作x 轴的垂线，交对角线B 于点D，直线D 分别交x 轴和y 轴于 点F 和点E，动点M 从点以每秒1 个单位长度的速度沿D 个单位长度的速度沿D 向终点D 运动，动点从点F 以每 秒2 个单位长度的速度沿FE 向终点E 运动，两点同时出发，设运动时间为t 秒． （1）求直线D 的解析式； （2）连结M，求△MD 的面积S 与时间t 的函 数关系式； （3）点在运动过程中，在坐标平面内是否存 在一点Q，使得以、、、Q 为顶点的四边形是矩 形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 如图1，抛物线y＝x2＋bx＋5 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，B＝4，抛物线的对 称轴x＝3 与经过点的直线y＝kx－1 交于点D，与x 轴交于点E． （1）求直线D 及抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点M，使得△DM 是以D 为直角边的直角三角形？若存在， 求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）以点B 为圆心，画半径为2 的圆，点P 为⊙B 上一个动点，请求出 的 最小值．

点动型 类型一：单动点 【例1】如图，点 是菱形 边上的一动点，它从点 出发沿在 路径匀速运动到点 ，设 的面积为 ， 点的运动时间为 ，则 关于 的函数图象大致为 ． B． ． D． 【解答】解：分三种情况： ①当 在 边上时，如图1， 设菱形的高为 ， ， 随 的增大而增大， 不变， 随 的增大而增大， 故选项 和 不正确； ②当 在边 上时，如图2， ， 和 的增大而减小， 点从点 出发沿在 路径匀速运动到点 ， 在三条线段上运动的时间相同， 故选项 正确； 故选： ． 【变式训练1】如图，正方形 的边长为4， 为正方形边上一动点，运动路线是 ， 设 点经过的路程为 ，以点 、 、 为顶点的三角形的面积是 ，则下列图象能大致反映 与 的 函数关系的是 ． B． ． D． 【解答】解：当点 由点 向点 运动，即 时， ； 当点 在 上运动，即 上运动，即 时， ，是一个定值； 当点 在 上运动，即 时， 随 的增大而减小． 故选： ． 【变式训练2】如图，点 是长方形 边上一动点，沿 的路径移动，设 点经过 的路径长为 ， 的面积是 ，则下列能大致反映 与 的函数关系的图象是 ． B． ． D． 【解答】解：点 沿 运动， 的面积逐渐变大； 点 沿 移动， 的面积不变； 点 沿 的路径移动， 的面积逐渐减小． 故选：

动点引起的角度问题 【一题多解 · 典例剖析】 【角度等于具体度数】 例题1（2021·湖北荆门中考）如图，在平面直角坐标系中， 斜边上的高为1， ，将 绕原点顺时针旋转 得到 ，点的对应点恰好在函数 的图象上，若在 的图象上另有一点M 使得 ，则点M 的坐标 为_________． 【答】（ ，1） 【解析】解：如图，过点作E⊥y 轴于E，过点M 作MF⊥x 轴， 由题意可知：∠B=∠D=∠MF=30°，E=1， 练习1．（2021·辽宁丹东中考）如图，已知点 ，点 ，直线 过点 B 交y 轴于点，交x 轴于点D，抛物线 经过点、、D，连接 、 ． （1）求抛物线的表达式； （2）判断 的形状，并说明理由； （3）E 为直线 上方的抛物线上一点，且 ，求点E 的坐标 【答】（1） ；（2）△B 为直角三角形，∠B=90°；（3）E（ ， ） 【解析】解：（1）直线y=2x+m 过点B 交y 轴于点， 将B（-5 ， ∴F=4，=3 ∴F（-11,4） 练习2．（2021·四川省内江市中考）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．直线与抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ． （1）求抛物线的解析式与直线的解析式； （2）若点 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标． 【答】（1）y= x2+x+3，直线l 的解析式为y= x+1；（2）（0， ）或（0，-9）． 【解析】解：（1）将（-2

几何探究动点问题 1、如图，四边形BD 中，D B ∥，∠=90°，D=1 厘米，B=3 厘米，B=5 厘米，动点P 从点B 出发以1 厘米/秒的速度 沿B 方向运动，动点Q 从点出发以2 厘米/秒的速度沿D 方向运动，P，Q 两点同时出发，当点Q 到达点D 时停止 运动，点P 也随之停止，设运动时间为t 秒（t＞0）． （1）求线段D 的长； （2）t 为何值时，线段PQ 将四边形BD 两部分？ （3）伴随P，Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线为l． ① t 为何值时，l 经过点？ ②求当l 经过点D 时t 的值，并求出此时刻线段PQ 的长． 解：（1）如答图 过点D 作DE⊥B 于点E ∵ D // B， ∴ 四边形BED 是矩形 ∴ , ∴ , 在RT△DE 中，∵ ∴ 厘米 （2）如答图，∵ 点P 的速度为1 厘米/秒，点Q 的速度为2 厘米/秒，运动时间为t 厘米/秒，运动时间为t 秒， ∴ 厘米， 厘米， 厘米， 厘米 且 过点Q 作Q⊥B 于点 ∴ ED // Q ∴ ∵ ∴ △DE∽△Q ∴ ∴ ∴ ∴ ， S 四边形BD 分两种情况讨论： ① 当S△PQ:：S 四边形BD =1：3 时， ， ， ， （舍） ② 当S△PQ:：S 四边形BD =2：3 时， ， ∵ ∴ 方程无解 ∴ 当t 为 秒时，线段PQ