94 中考数学几何探究动点问题

几何探究动点问题 1、如图，四边形BD 中，D B ∥，∠=90°，D=1 厘米，B=3 厘米，B=5 厘米，动点P 从点B 出发以1 厘米/秒的速度 沿B 方向运动，动点Q 从点出发以2 厘米/秒的速度沿D 方向运动，P，Q 两点同时出发，当点Q 到达点D 时停止 运动，点P 也随之停止，设运动时间为t 秒（t＞0）． （1）求线段D 的长； （2）t 为何值时，线段PQ 将四边形BD 的面积分为1：2 两部分？ （3）伴随P，Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线为l． ① t 为何值时，l 经过点？ ②求当l 经过点D 时t 的值，并求出此时刻线段PQ 的长． 解：（1）如答图 过点D 作DE⊥B 于点E ∵ D // B， ∴ 四边形BED 是矩形 ∴ , ∴ , 在RT△DE 中，∵ ∴ 厘米 （2）如答图，∵ 点P 的速度为1 厘米/秒，点Q 的速度为2 厘米/秒，运动时间为t 秒， ∴ 厘米， 厘米， 厘米， 厘米 且 过点Q 作Q⊥B 于点 ∴ ED // Q ∴ ∵ ∴ △DE∽△Q ∴ ∴ ∴ ∴ ， S 四边形BD 分两种情况讨论： ① 当S△PQ:：S 四边形BD =1：3 时， ， ， ， （舍） ② 当S△PQ:：S 四边形BD =2：3 时， ， ∵ ∴ 方程无解 ∴ 当t 为 秒时，线段PQ 将四边形BD 的面积分为1：2 两部分 （3）如答图 ① 当PQ 的垂直平分线l 过点时，可知 ∴ ∴ ， ∴ 当t 为 秒时，直线l 经过点 ② 如答图 当PQ 的垂直平分线l 过点D 时，可知 连接PD，则在RT△PED 中， ∴ ∴ ∴ ， （舍） ∴ 厘米 ∴ 当 秒时，直线l 经过点D，此时点P 与点E 重合 如图，连接FQ，∵ 直线l 是△DPQ 的对称轴 ∴ △DEF≌△DQF， , 设 厘米，则 厘米， 厘米， 在RT△FQ 中， ∵ 当 秒时， 厘米 ∴ ∴ ∴ 厘米 在RT△DEF 中， ∴ 厘米 ∵ 在RT△DEF 中，EG⊥DF，∴ ∴ 厘米，∴ 厘米 2 如图，已知∠M=90°，是∠M 内部的一点，过点作B⊥，垂足为点B，B=3 厘米，B=4 厘米，动点E，F 同时从点 出发，点E 以15 厘米/秒的速度沿方向运动，点F 以2 厘米/秒的速度沿M 方向运动，EF 与交于点，连接E，当点 E 到达点B 时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒（t＞0）． （1）当t=1 秒时，△EF 与△B 是否相似？请说明理由； （2）在运动过程中，不论t 取何值时，总有EF⊥．为什么？ （3）连接F，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△EF= S 四边形BF？若存在，请求出此时t 的值；若不存在， 请说明理由． 解：（1）∵t=1，∴E=15 厘米，F=2 厘米，∵B=3 厘米，B=4 厘米， ∴ = = ， = = ∵∠M=∠BE=90°，∴△EF∽△B． （2）在运动过程中，E=15t，F=2t．∵B=3，B=4．∴ ． 又∵∠EF=∠B=90°，∴Rt△EF∽Rt△B．∴∠B=∠EF． ∵∠B+∠F=90°，∴∠EF+∠F=90°，∴EF⊥． （3）如图，连接F， ∵E=15t，F=2t，∴BE=4 15t ﹣ ∴S△FE= E•F= ×15t×2t= t2，S△BE= ×（4 15t ﹣ ）×3=6﹣t， S 梯形BF= （2t+3）×4=4t+6∵S△EF= S 四边形BF ∴S△FE+S△BE= S 梯形BF，∴t2+6﹣t= （4t+6），即6t2 17t+12=0 ﹣ ， 解得t= 或t= ． ∴当t= 或t= 时，S△EF= S 四边形BF． 3 如图，在Rt△B 中，∠B=90°， = 6，B = 8，点D 以每秒1 个单位长度的速度由点向点B 匀速运动，到达B 点即停 止运动，M，分别是D，D 的中点，连接M，设点D 运动的时间为t． （1）判断M 与的位置关系； （2）求点D 由点向点B 匀速运动的过程中，线段M 所扫过区域的面积； （3）若△DM 是等腰三角形，求t 的值． 解：（1）∵在△D 中，M 是D 的中点，是D 的中点， ∴M∥； （2）如图1，分别取△B 三边，B，B 的中点E，F，G，并连接EG，FG， 根据题意可得线段M 扫过区域的面积就是▱FGE 的面积， ∵ = 6，B = 8， ∴E = 3，G = 4， ∵∠B=90°， ∴S 四边形FGE = E•G = 3×4 =12， ∴线段M 所扫过区域的面积为12． （3）据题意可知：MD = D，D= D，M = = 3， ① 当MD = M = 3 时，△DM 为等腰三角形，此时D = = 6，∴ t = 6 ②当MD=D 时，D=D，如图2，过点D 作D⊥交于，则 = = 3， ∵ ，∴ ，解得D = 5，∴ D = t = 5． ③如图3，当D = M = 3 时， = D，连接M，则M⊥D， ∵ 即 ∴ ，∴ 综上所述，当t = 5 或6 或 时，△DM 为等腰三角形． 4 如图，梯形BD 中，D∥B,∠BD=90°，E⊥D 于点E, D = 8m，B = 4m, B = 5m。从初始时刻开始，动点P, Q 分别从 点,B 同时出发，运动速度均为1 m /s, 动点P 沿-B--E 的方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B--E-D 的方向运动，到 点D 停止，设运动时间为s， P Q 的面积为y m2，（这里规定：线段是面积为0 的三角形) 解答下列问题： (1) 当x = 2s 时，y=_____ m2;当= s 时，y = _______ m2 (2）当5 ≤ x ≤ 14 时，求y 与之间的函数关系式。 (3）当动点P 在线段B 上运动时，求出 S 梯形BD时的值。 （4）直接写出在整个运动过程中，使PQ 与四边形BE 的对角线平行的所有x 的值． D B A E C Q P （备用图） D B A E C 解：（1） 2；9、 （2） 当5≤≤9 时 D B A E C P Q y= S 梯形BQ –S△BP –S△PQ = (5+ -4)×4 ×5( -5) (9- )( -4) 2 65 7 2 1 2    x x 2 65 7 2 1 2    x x y 当9＜≤13 时 D B A E C P Q y= （-9+4）(14- ) 35 2 19 2 1 2     x x 35 2 19 2 1 2     x x y 当13＜≤14 时 D B A E C P (Q) y= ×8(14- )=-4 +56 即y=-4 +56 （3） 当动点P 在线段B 上运动时， ∵ S 梯形BD × (4+8)×5 = 8 即²-14 +49 = 0 解得 1 = 2 = 7 ∴当=7 时， S 梯形BD （4） 、 、 解析：设运动时间为t 秒 当PQ // 时， 此时△ BPQ ∽ B △ ，∴ ∴ ∴ 当 PQ // BE 时， 此时△ PQ ∽ BE △ ，∴ ∴ ∴ 当 PQ // BE 时， 此时△ PEQ ∽ △ BE，∴ ∴ ∴ 5 已知：把Rt△B 和Rt△DEF 按如图（1）摆放（点与点E 重合），点B、（E）、F 在同一条直线上．∠B = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°， = 8 m，B = 6 m，EF = 9 m． 如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1 m/s 的速度沿B 向△B 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△B 的顶点B 出发，以2 m/s 的速度沿B 向点匀速移动当△DEF 的顶点D 移动到边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之 停止移动．DE 与相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜45）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，点在线段PQ 的垂直平分线上？ （2）连接PE，设四边形PE 的面积为y（m2），求y 与t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y 最小？ 若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由． （3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由． （图（3）供同学们做题使用） 解：（1）∵点在线段PQ 的垂直平分线上， ∴P = Q ∵∠DEF = 45°，∠B = 90°，∠DEF＋∠B＋∠EQ = 180°， ∴∠EQ = 45° ∴∠DEF =∠EQ ∴E = Q 由题意知：E = t，BP =2 t， ∴Q = t ∴Q = 8－t 在Rt△B 中，由勾股定理得：B = 10 m 则P = 10－2 t ∴10－2 t = 8－t 解得：t = 2 答：当t = 2 s 时，点在线段PQ 的垂直平分线上 （2）过P 作 ，交BE 于M， ∴ 在Rt△B 和Rt△BPM 中， ， ∴ ∴PM = ∵B = 6 m，E = t， ∴ BE = 6－t ∴y = S△B－S△BPE = － = － = = ∵ ，∴抛物线开口向上 ∴当t = 3 时，y 最小= 答：当t = 3s 时，四边形PE 的面积最小，最小面积为84 5 m2 （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F 三点在同一条直线上 过P 作 ，交于， ∴ ∵ ，∴△P ∽△B ∴ ∴ D B F （E） 图 （1 ） D B F E 图（2 ） P Q B 图（3 ） 图（2 ） Q D B F E P M E D B F 图（3 ） P Q ∴ ， ∵Q = Q－， ∴Q = 8－t－( ) = ． ∵∠B = 90°，B、（E）、F 在同一条直线上， ∴∠QF = 90°，∠QF = ∠PQ ∵∠FQ = ∠PQ， ∴△QF∽△QP ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：t = 1 答：当t = 1s，点P、Q、F 三点在同一条直线上 6 如图，在菱形BD 中，对角线与BD 相交于点，B=8，∠BD=60°，点E 从点出发，沿B 以每秒2 个单位长度的速 度向终点B 运动，当点E 不与点重合时，过点E 作EF⊥D 于点F，作EG∥D 交于点G，过点G 作G⊥D 交D（或D 的延长线）于点，得到矩形EFG，设点E 运动的时间为t 秒 （1）求线段EF 的长（用含t 的代数式表示）； （2）求点与点D 重合时t 的值； （3）设矩形EFG 与菱形BD 重叠部分图形的面积与S 平方单位，求S 与t 之间的函数关系式； （4）矩形EFG 的对角线E 与FG 相交于点′，当′∥D 时，t 的值为 4 ；当′⊥D 时，t 的值为 3 ． 解：（1）由题意知：E=2t，0≤t≤4，∵∠BD=60°，∠FE=90°， s BD= ∴∠ ，∴EF= t； （2）∵E=2t，∠EF=30°，∴F=t，当与D 重合时，此时F=8 t ﹣， GE=8 t ∴ ﹣，∵EG D ∥，∴∠EG=30°，∵四边形BD 是菱形， B=30° ∴∠ ，∴∠B= EG=30° ∠ ，∴E=EG，∴2t=8 t ﹣，∴t= ； （3）当0≤t≤ 时，此时矩形EFG 与菱形BD 重叠部分图形为矩形EFG， ∴由（2）可知：E=EG=2t，∴S=EF•EG= t•2t=2 t2，当 ＜t≤4 时，如图1， 设D 与G 交于点，此时矩形EFG 与菱形BD 重叠部分图形为五边形FEGD， E=2t ∵ ，∴F=t，EF= t，∴DF=8 t ﹣，∵E=EG=F=2t， D=2t ∴ ﹣（8 t ﹣）=3t 8 ﹣，∵∠D= BD=60° ∠ ，∴t D= ∠ ， = ∴ D，∴S=EF•EG﹣ D•=2 t2﹣ （3t 8 ﹣）2=﹣ t2+24 t 32 ﹣ ； （4）当′∥D 时，如图2 此时点E 与B 重合，∴t=4；当′⊥D 时，如图3， 过点作M D ⊥ 于点M，EF 与相交于点，由（2）可知：F=t，E=EG=2t， F= ∴ t，FM=t，∵′⊥D，′是FG 的中点，∴′是△FG 的中位线， ′= ∴ F= t，∵B=8，∴由勾股定理可求得：=4 M=2 ∴ ， ′M=2 ∴ ﹣ t，∵FE= t，EG=2t，∴由勾股定理可求得：FG2=7t2， ∴由矩形的性质可知：′F2= FG2，∵由勾股定理可知：′F2=′M2+FM2， ∴ t2=（2 ﹣ t）2+t2，∴t=3 或t= 6 ﹣（舍去）．故答为：t=4；t=3． 二次函数相关动点问题 1、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x 轴交于 (1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于 点，其顶点为点D，点E 的坐标为 ，该抛物线与BE 交于另一点F，连接B （1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为 的形式； （2）若点 (1，y)在B 上，连接F，求△FB 的面积； （3）一动点M 从点D 出发，以每秒1 个单位的速度沿平行于y 轴方向向上运动，连接M，BM，设运动时间为t 秒 ，在点M 的运动过程中，当t 为何值时， ? （4）在x 轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得 被B 平分？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在， 请说明理由 解：（1）∵ 抛物线 与x 轴交于 (1，0)、B (3，0)两点 ∴ 解得： ∴ 该抛物线解析式为： （2）设直线BE 的解析式为 ∵ B (3，0)、E ， ∴ 解得： ，∴ 直线BE 的解析式为 因为F 是抛物线与BE 的交点 ∴ 整理得： 解得： 、 （舍去） ∴ ∴ F（ ） 连接，与BE 交于点G，设直线B 的解析式为 ∵ B (3，0)、 ∴ ∴ ∴直线B 的解析式为 ∵ (1，y)在B 上 ∴ (1， ) ∵ (1，0) ∴ // y 轴 设点G 坐标为 ∵ G 在BE 上 ∴ G (1， ) ∴ ，过点F 作FK⊥G 于K，∴ ∵ S△FB = S△FG + S△BG ∴ （3）延长MD 与x 轴交于点，∴ M⊥x 轴，垂足为，由题意可知： DM = t ∵ D (2，)，∴ (2，0)，∴ ， ∵ ∴ 又∵ ∴ 而 ∴ Rt△M∽Rt△MB ∴ 即 ∵ ， ， ∴ ∴ ， （舍去）∴ 秒时， （4）符合条件的P 点坐标为( ，) 理由如下：作点F 关于x 轴的对称点F’，由（2）知： F（ ），∴点F’（ ） 连接BF’，∵ B (3，0) 设直线BF’的解析式为 ∴ 解得： ∴直线BF’的解析式为 联立抛物线 有 整理得： 解得： 、 （舍去） 故交点坐标为 ( ，) 由对称性可知，BF’交抛物线的交点即满足题意的P 点，使得 被B 平分 2、已知抛物线 经过 ，B 两点， 与y 轴相交于点，该抛物线的顶点为点D． （1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）连接，D，BD，B，设△，△B，△BD 的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并 说明理由； （3）点M 是线段B 上一动点（不包括点和点B），过点M 作M∥B 交于点，连接M，是否存在点M 使 ？若存在，求出点M 的坐标和此时刻直线M 的解析式；若不存在，请说明理由． 解：（1）如右图，∵ 抛物线 经过 ，B 两点 ∴ ∴ ∴ 该抛物线的解析式是 ∵ ， ∴ 点D 坐标 （2）S1，S2，S3之间的数量关系是 过点D 作DE⊥x 轴于点E，作DF⊥y 轴于点F，∴ E ，F ∵ B , ∴ ∴ , , 则在 中 ∴ , , 则在 中 ∵ ∴ △BD 是直角三角形 ∴ ∴ , ∴ （3）存在点M，使得 ，设点M ，∴ 则 在 中， ∵ M∥B ∴ ∴ 若 ，∵ ∴ △M∽△M ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ， （舍）∴ 点M 坐标 设直线B 的解析式为 ∵ B , ∴ ∴ ∴ 直线B 的解析式为 ∵ M∥B ∴ *设直线M 的解析式为 ∵ 点M 坐标 ∴ ∴ 直线M 的解析式为 ∴ 存在点M，使得 ，此时 直线M 的解析式为 3 已知抛物线y=x2+bx+经过（﹣1，0），B（4，0），（0，﹣2）三点． （1）请直接写出抛物线的解析式． （2）连接B，将直线B 平移，使其经过点，且与抛物线交于点D，求点D 的坐标． （3）在（2）中的线段D 上有一动点E（不与点、点D 重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，△FD 的面积最大？求出此时点E 的坐标和△FD 的最大面积． 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+经过（﹣1，0），B（4，0）， ∴设抛物线解析式为y=（x+1）（x 4 ﹣） ∵（0，﹣2）在抛物线上，∴﹣2=×1×（﹣4）， ∴= ∴抛物线的解析式为y= （x+1）（x 4 ﹣）= x2﹣ x 2 ﹣，① （2）设直线B 的解析式为y=kx 2 ﹣， ∵B（4，0）∴4k 2=0 ﹣ ，∴k= ，∴直线B 的解析式为y= x 2 ﹣ ∵直线B 平移，使其经过点（﹣1，0），且与抛物线交于点D， ∴直线D 的解析式为y= x+ ，② 联立①②，解得 （舍去），或 ，∴D（5，3） （3）∵（﹣1，0），D（5，3）， ∴以D 为底，点F 到D 的距离越大，△DF 的面积越大， 作l∥D，当l 与抛物线只有一个交点时，点F 到D 的距离最大， 设l 的解析式为y= x+，③联立①③转化为关于x 的方程为x2﹣4x 2 4=0 ﹣﹣ ， ∴△=16 4 ﹣（﹣2 4 ﹣）=0，∴=﹣4∴直线l 的解析式为y= x﹣4， ∴x2﹣4x+4=0，解得x=2 将x=2 代入y= x﹣4 得，y=﹣3， ∴F（1，﹣3），∴E（1，1）∴EF=4 ∴S△FD 的最大面积= EF×|xE x ﹣|+ EF×|xD x ﹣E|= ×4×2+ ×4×4=12． 4 如图，抛物线y= x ﹣2+2x+3 与x 轴相交的于，B 两点（点在点B 的左侧），与y 轴相交于点，顶点为D． （1）直接写出，B，三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接B，与抛物线的对称轴交于点E，点P 为线段B 上的一个动点（P 不与，B 两点重合），过点P 作 PF