41 动点引起的角度问题

动点引起的角度问题 【一题多解 · 典例剖析】 【角度等于具体度数】 例题1（2021·湖北荆门中考）如图，在平面直角坐标系中， 斜边上的高为1， ，将 绕原点顺时针旋转 得到 ，点的对应点恰好在函数 的图象上，若在 的图象上另有一点M 使得 ，则点M 的坐标 为_________． 【答】（ ，1） 【解析】解：如图，过点作E⊥y 轴于E，过点M 作MF⊥x 轴， 由题意可知：∠B=∠D=∠MF=30°，E=1， 则E= ，即（1， ） 又点在反比例函数图象上， ∴k= 方法一：解析式法 直线M 的解析式为y= x， 联立y= x，y= ，得： x= 或x=- （舍） 故M（ ，1） 方法二：相似 易知△E∽△MF ∴ ，即 设M（x， ） ∴ 解得：x= 或x=- （舍） 故M（ ，1） 方法三：三角函数 在Rt△MF 中，∠MF=30°， 则t∠MF= , 设M（x， ） ∴ 解得：x= 或x=- （舍） 故M（ ，1） 【一题多解 · 对标练习】 练习1．（2021·辽宁丹东中考）如图，已知点 ，点 ，直线 过点 B 交y 轴于点，交x 轴于点D，抛物线 经过点、、D，连接 、 ． （1）求抛物线的表达式； （2）判断 的形状，并说明理由； （3）E 为直线 上方的抛物线上一点，且 ，求点E 的坐标 【答】（1） ；（2）△B 为直角三角形，∠B=90°；（3）E（ ， ） 【解析】解：（1）直线y=2x+m 过点B 交y 轴于点， 将B（-5，-4）代入得：﹣4=2×（﹣5）+m， 解得：m=6，则（0，6）， 将（﹣8，0）、（0，6）代入 ， 得： ，解得： ， ∴抛物线的表达式为 ； （2）△B 为直角三角形，且∠B=90°，理由为： 由题意，B2=（﹣8+5）2+（0+4）2=25， 2=（﹣8+0）2+（0 6 ﹣）2=100，B2=（﹣5+0）2+（﹣4 6 ﹣）2=125， ∴2+B2=B2， ∴△B 为直角三角形，且∠B=90°； （3）由（2）知B=5，=10， t ∴∠B= =t∠E， ∴∠B=∠E， 方法一：解析式法 如图，延长B 交直线E 于F，过F 作F⊥x 轴，过B 作BG⊥x 轴于G， 由∠F=∠B，=，∠B=∠F=90° 知△F≌△B ∴B=F ∴△F≌△BG 又B（-5，-4），（-8,0） ∴BG=4，G=3 ∴=G=3，F=BG=4 即F（-11,4） 设直线F 解析式为y=kx+m 则 ∴直线F 的解析式为y= x+6， 联立y= x+6，y= x2+ x+6，得： x=0（舍）或x= 即E（ ， ） 方法二：相似法（三角函数） 由∠F=90°知，∠F=∠，B=F=5 ∴Rt△F∽Rt△ ∴ ， 即 ， ∴F=4，=3 ∴F（-11,4） 练习2．（2021·四川省内江市中考）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．直线与抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ． （1）求抛物线的解析式与直线的解析式； （2）若点 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标． 【答】（1）y= x2+x+3，直线l 的解析式为y= x+1；（2）（0， ）或（0，-9）． 【解析】解：（1）将（-2,0），（6,0），（4,3）代入抛物线解析式得： 解得： 即抛物线的解析式为y= x2+x+3 由（-2,0），D（4,3）知直线l 的解析式为：y= x+1 （2）如图， 过作M⊥D，由∠MD=45°知，△DM 是等腰直角三角形， ∴D=M 过M，D 作x 轴的垂线，垂足为，G 则Rt△M≌Rt△DG ∴=DG=3，M=G=6 ∴M（-5，6） 由D（4,3），M（-5,6）得直线DM 的解析式为：y= x+ ∴Q（0， ） 同理，可得：直线DM’的解析式为：y=3x-9 即Q’（0，-9） 综上所述，满足条件的点Q 的坐标为（0， ）或（0，-9）． 【多题一解 · 典例剖析】 【两角相等】 例题2．（2021·福建省福州）如图，在平面直角坐标系 中，直线 分别交x 轴、 y 轴于，B 两点，经过，B 两点的抛物线 与x 轴的正半轴相交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）若P 为线段B 上一点， ，求P 的长． 【答】（1）y=-x2-2x+3；（2） 【解析】解：（1）令x=0，则y=3， ∴点B 的坐标为(0，3)， 抛物线y=-x2+bx+经过点B (0，3)， (1，0)， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3； （2）令y=0，则0=-x2-2x+3， 解得：x=1 或x=-3， ∴点的坐标为(-3，0)， =3 ∴ ，B=3，=1，B= ， ∵∠P=∠B，且∠P=∠B， P ∴△∽B △， ∴ ，即 ， ∴P= 【多题一解 · 对标练习】 练习3．（2021·四川德阳中考）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+与直线l 交于点（﹣1， 0），（2，﹣3），与x 轴另一交点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上找一点P，使△P 的内心在x 轴上，求点P 的坐标； （3）M 是抛物线上一动点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为，连接BM．在（2）的条件下， 是否存在点M，使∠MB＝∠P？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1）y=x2-2x-3；（2）P（4，5）；（3）M 的坐标为 ， ， ， 【解析】解：（1）把点（-1,0），（2,-3）代入y=x2+bx+， 得： ， 解得: ， ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3； （2）作点关于x 轴的对称点’，则’（2,3）， 可得直线’的解析式为y=x+1， 联立y=x+1、y=x2-2x-3 得： x=-1 或x=4 即P（4,5） （3）存在点M， 由P（4,5），（-1,0），（2，-3）知P2=50，2=18，P2=68 ∵50+18=38 知，P2 +2=P2， ∴△P 为直角三角形，且∠P=90° ∴t∠P= , 由∠MB=∠P，知 t∠MB= ， ∴ ∴ 在y=x2-2x-3 中，当y=0 时，x=-1 或x=3 即B（3,0） 设M（m，m2-2m-3），则B=3－m，M= |m2-2m-3| ∴ ， 解得：m= 或m= 存在符合条件的点M，M 的坐标为 ， ， ， ． 练习4．（2021·山东烟台中考）如图，抛物线 经过点 ， ，与 y 轴正半轴交于点，且 ．抛物线的顶点为D，对称轴交x 轴于点E．直线 经过B，两点． （1）求抛物线及直线 的函数表达式； （2）连接 ，若点P 是抛物线上对称轴右侧一点，点Q 是直线 上一点，试探究是否 存在以点E 为直角顶点的 ，且满足 ．若存在，求出点P 的坐 标；若不存在，请说明理由． 【答】（1） ，y=-x+4；（2）P 点坐标为 或 ； 【解析】解：（1）∵（-2,0），=2， ∴=4，（0,4） 将（-2,0），（0,4），（4,0）代入抛物线解析式，并解得： = ，b=1，=4 即抛物线解析式为：y= x2+x+4 直线B 的解析式为：y=-x+4 （2）由（1）得， ，即 ， 过点Q 作QM⊥DE 于M，过点P 作P⊥DE 于， ∵∠QEP=90°， ∴∠QEM+∠MQE=90°，∠QEM+∠PE=90°， ∴∠MQE=∠PE， ∴△MQE∽△EP， ∴ ， 如图1，设P 点坐标为 ， 则P=m-1，E= ，EM=2m-2，MQ= ， 则Q 点坐标为 ， 将Q 点坐标代入y=-x+4，得 ， 解得，m= ，或m=- （舍去）， 把m= 代入 ，得， ， 故P 点坐标为 ； 如图2，同理，得P 点坐标为 ； 综上，P 点坐标为 或 ； 练习5．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋与x 轴相交于(－3，0)，B 两点，与y 轴相交于点 (0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）若过点B 的直线l 与抛物线相交于另一点D，当∠BD＝∠B 时，求直线l 的表达式 【答】（1） ；（2） 或 【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-1， ∴ ，即b=2 又（0,2） ∴=2 将（-3,0）代入得：9-3b+=0 ∴= ，b= 即抛物线的解析式为y= x2 x+2； （2）①当点D 在x 轴上方的抛物线上时，如图， 记BD 与的交点为点E， 则E 在抛物线对称轴上 由（-3,0），（0,2）知直线解析式为：y= x+2， ∴E（-1， ） 由对称性知，B（1,0） ∴可得直线BD 的解析式为：y= x+2 ②当点D 在x 轴下方抛物线上时，如图， 同理，得直线BD 的解析式为y= x－ ； 综上所述，直线l 的解析式为y= x+2 或y= x－ 练习6．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，顶点 的坐标为 ． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，若点 在抛物线上且满足 ，求点 的坐标 【答】（1）y=x2-2x-3；（2）（4,5），（ ， ）． 【解析】解：（1）将（-1,0），顶点坐标（1，-4）代入抛物线解析式得： 得 解得 ∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3． （2）由B（3,0），D（1，-4）得直线BD 的解析式为：y=2x-6 由y=x2-2x-3 知（0,-3），B（3,0） ①当P∥BD 时，此时∠PB=∠BD， ∴设直线P 解析式为y=2x+m 将点（0，-3）代入得：m=-3， ∴联立y=2x-3，y=x2-2x-3 得： x=0（舍）或x=4 即P（4,5） ② 如图，当P 在x 轴下方时，设P 交BD 于Q 则∠BD=∠QB，即Q=BQ 又=B ∴Q 是B 的垂直平分线， 即Q 的解析式为y=-x， 联立y=-x，y=2x-6 得：Q（2，-2） ∴Q 的解析式为：y= x-2， 联立y= x-2，y=x2-2x-3 得： x=0（舍）或x= 即P（ ， ）． 综上所述，符合条件的P 点坐标为：（4,5），（ ， ）． 【多题一解 · 典例剖析】 【角度倍数关系】 例题3 【2020·四川内江】如图，抛物线y＝x2+bx+经过（﹣1，0）、B（4，0）、（0，2） 三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）过点D 作DE⊥B，垂足为点E，是否存在点D，使得△DE 中的某个角等于∠B 的2 倍？ 若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答】见解析 【解析】解：（1 ）将（﹣1 ，0 ）、B （4 ，0 ）、（0 ，2 ）代入y ＝x2+bx+ 得： ， 解得： ． 故抛物线的解析式为y x2 x+2． （2）①当∠DE＝2∠B 时，取点F（0，﹣2），连接BF， ∵＝F，B⊥F， ∴∠B＝∠BF， ∴∠BF＝2∠B． ∵∠DB＝2∠B， ∴∠DB＝∠BF， ∴D∥BF． ∵点B（4，0），F（0，﹣2）， ∴直线BF 的解析式为y x 2 ﹣， ∴直线D 的解析式为y x+2． 联立得： ， 解得： （舍去）， ， ∴点D 的坐标为（2，3）； ②当∠DE＝2∠B 时，过点作⊥BF 于点，交B 于，作点关于B 的对称点P，连接P 交B 于 点Q， ∵∠＝90°﹣∠，∠BF＝90°﹣∠B， ∠＝∠B， ∴∠＝∠BF． ∴△∽△BF， ∴ ，即 ， ∴＝1，（1，0）． 设直线的解析式为y＝kx+（k≠0）， ∵（0，2），（1，0）， ∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为y＝﹣2x+2． ，解得： ， ∴点的坐标为（， ）． ∵点B（4，0），（0，2）， ∴直线B 的解析式为y x+2． ∵P⊥B，且点（， ）， ∴直线P 的解析式为y＝2x ． 联立 ， 解得： ， ∴点Q 的坐标为（ ， ）． ∵点（， ），点，P 关于B 对称， ∴点P 的坐标为（ ， ）． ∵点（0，2），P（ ， ）， ∴直线P 的解析式为y x+2． 将y x+2 代入y x2 x+2 整理，得：11x2 29 ﹣ x＝0， 解得：x1＝0（舍去），x2 ， ∴点D 的横坐标为 ． 综上所述：存在点D，使得△DE 的某个角恰好等于∠B 的2 倍，点D 的横坐标为2 或 ． 【多题一解· 对标练习】 练习7 如图，抛物线y＝x2 6 ﹣x+交x 轴于，B 两点，交y 轴于点．直线y＝﹣x+5 经过点 B，． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线B 上是否存在点M，使M 与直线B 的夹角等于∠B 的2 倍？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】见解析 【解析】解：（1）∵直线y＝﹣x+5 经过点B，， ∴当x＝0 时，可得y＝5，即的坐标为（0，5）． 当y＝0 时，可得x＝5，即B 的坐标为（5，0）． ∴ ． 解得 ． ∴该抛物线的解析式为y＝x2 6 ﹣x+5； （2）过点作⊥B 于，过作⊥x 轴于，作的垂直平分线交B 于M1，于E， ∵M1＝M1， ∴∠M1＝∠M1． ∴∠M1B＝2∠B． ∵△B 为等腰直角三角形． ∴＝B＝＝2． ∴（3，2）． 设的函数解析式为y＝kx+b ∵（0，5），（1，0）， ∴ ． 解得b＝5，k＝﹣5． ∴的函数解析式为y＝﹣5x+5， 设EM1的函数解析式为y x+， ∵点E 的坐标为（ ）． ∴ ， 解得： ． ∴EM1的函数解析式为y x ． ．解得 ． ∴M1的坐标为（ ）； 在直线B 上作点M1关于点的对称点M2， 设M2（，﹣+5）， 则：3 ，解得 ． +5 ∴﹣ ． ∴M2的坐标为（ ，）． 综上所述，存在使M 与直线B 的夹角等于∠B 的2 倍的点，且坐标为M1（ ），M2 （ ，）．