102 因动点产生的相似三角形问题

中考压轴题《二次函数图象中点的存在性》解题技巧 因动点产生的相似三角形问题 例1：如图，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2 都经过点(2, m)． （1）求k 与m 的值； （2）此双曲线又经过点B(, 2)，过点B 的直线B 与直线y＝x＋2 平行交y 轴于点，联结 B、，求△B 的面积； （3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2 与y 轴交于点D，在射线B 上有一点E，如果 以点、、E 所组成的三角形与△D 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标． 思路点拨 1．直线D//B，与坐标轴的夹角为45°． 2．求△B 的面积，一般用割补法． 3．讨论△E 与△D 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分情况列方程． 解：（1）将点(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点的坐标为(2, 4)． 将点(2, 4)代入 ，得k＝8． （2）将点B(, 2)，代入 ，得＝4． 所以点B 的坐标为(4, 2)． 设直线B 为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2． 所以点的坐标为(0,－2)． 由(2, 4) 、B(4, 2) 、 (0,－2)，可知、B 两点间的水平距离和 竖直距离都是2，B、两点间的水平距离和竖直距离都是4． 所以B＝ ，B＝ ，∠B＝90°． 所以S△B＝ ＝ ＝8． （3）由(2, 4) 、D(0, 2) 、 (0,－2)，得D＝ ，＝ ． 由于∠D＋∠D＝45°，∠E＋∠D＝45°，所以∠D＝∠E． 所以△E 与△D 相似，分两种情况： ①如图，当 时，E＝D＝ ． 此时△D≌△E，相似比为1． ②如图，当 时， ．解得E＝ ．此时、E 两点间的水平距 离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)． 思路延伸 第（2）题我们在计算△B 的面积时，恰好△B 是直角三角形． 一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法． 如图，作△B 的外接矩形M，M//y 轴． 由S 矩形M＝24，S△＝6，S△MB＝2，S△B＝8，得S△B＝8． 例2：如图，抛物线经过点(4，0)、B（1，0)、（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以、 P、M 为顶点的三角形与△相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说 明理由； （3）在直线上方的抛物线是有一点D，使得△D 的面积最大，求出点D 的坐标． , 思路点拨 1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△D 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于． 解：（1）因为抛物线与x 轴交于(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为 ，代入点的 坐标（0，－2），解得 ．所以抛物线的解析式为 ． （2）设点P 的坐标为 ． ①如图，当点P 在x 轴上方时，1＜x＜4， ， ． 如果 ，那么 ．解得 不合题意． 如果 ，那么 ．解得 ． 此时点P 的坐标为（2，1）． ②如图，当点P 在点的右侧时，x＞4， ， ． 解方程 ，得 ．此时点P 的坐标为 ． 解方程 ，得 不合题意． ③如图，当点P 在点B 的左侧时，x＜1， ， ． 解方程 ，得 ．此时点P 的坐标为 ． 解方程 ，得 ．此时点P 与点重合，不合题意． 综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或 或 ． （3）如图，过点D 作x 轴的垂线交于E．直线的解析式为 ． 设点D 的横坐标为m ，那么点D 的坐标为 ，点E 的坐 标为 ．所以 ． 因此 ． 当 时，△D 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）． 思路延伸 第（3）题也可以这样解： 如图，过D 点构造矩形M，那么△D 的面积等于直角梯形M 的面积减去△D 和△DM 的面 积． 设点D 的横坐标为（m，） ，那么 ． 由于 ，所以 ． 跟踪训练： 1．如图，已知：抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点， 点D 为顶点，连接BD，D，抛物线的对称轴与x 轴交与点E． （1）求抛物线解析式及点D 的坐标； （2）G 是抛物线上B，D 之间的一点，且S 四边形DGB＝4S DGB △ ，求出G 点坐标； （3）在抛物线上B，D 之间是否存在一点M，过点M 作M D ⊥，交直线D 于点，使以， M，为顶点的三角形与△BDE 相似？若存在，求出满足条件的点M 的坐标，若不存在，请 说明理由． 2．如图，抛物线y= x2+bx+与直线y= x+3 交于，B 两点，交x 轴于、D 两点，连接、B， 已知（0，3），（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l 上找一点M，使|MB MD| ﹣ 的值最大，并求出这个最大值； （3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接P，过点P 作PQ P ⊥交y 轴于点Q，问：是否 存在点P 使得以，P，Q 为顶点的三角形与△B 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过点 ， （1）求点B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x 轴上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线B 和抛物线分别交于 点P、， ①点 在线段 上运动，若以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，求点 的坐标； ②点 在 轴上自由运动，若三个点 ， ， 中恰有一点是其它两点所连线段的中 点（三点重合除外），则称 ， ， 三点为“共谐点”请直接写出使得 ， ， 三点成为“共谐点”的 的值 4．已知抛物线y＝x2+bx+3 与x 轴分别交于点( 3 ﹣，0)，B(1，0)交于点，抛物线的顶点为点 D． （1）抛物线的表达式及顶点D 的坐标． （2）若点F 是线段D 上一个动点， ①如图1，当F+F 的值最小时，求点F 的坐标； ②如图2，以点，F，为顶点的三角形能否与△B 相似？若能，求出点F 的坐标；若不能， 请说明理由． 5．如图，已知抛物线 经过点 ， ， ，点 为 中点，连接 AC 、BD ，并延长BD 交AC 于点E ． （1）求抛物线 1 w 的表达式； （2）若抛物线 1 w 与抛物线 2 w 关于y 轴对称，在抛物线 2 w 位于第二象限的部分上取一点 Q ，过点Q 作QF x  轴，垂足为点F ，是否存在这样的点F ，使得 QFO △ 与 CDE △ 相 似？若存在，请求出点F 坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线y＝x2+bx+经过（1，0）、B（4，0）、（0，3）三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P 的周长最小？若存在，求出 四边形P 周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，点Q 是线段B 上一动点，当△BPQ 与△B 相似时，求点Q 的坐标． 跟踪练习答： 1．分析：（1）利用待定系数法可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式可得点D 的坐标； （2）连接B，BG，DG，首先求出 3 BCD S   ，然后根据S 四边形DGB＝4S DGB △ 可得 1 DGB S  △ ， 求出直线BD 的解析式，设  2 , 2 3 G x x x   ，则（x，2x-6），根据 1 DGB S  △ 得出方程， 解方程求出x 即可解决问题； （3）如图3，以，M，为顶点的三角形与△BDE 相似，则以B，，P 为顶点的三角形与△BDE 相似，则 BP BE BC ED  或 BP DE BC BE  ，求出 3 2 2 BP  或 6 2 BP  ；然后分 3 2 2 BP  和 6 2 BP  两种情况，分别求出直线P 的解析式即可解决问题． 解：（1）抛物线 2 y x bx c    与x 轴交于 ( 1,0) A  ， (3,0) B 两点， 1 0 9 3 0 b c b c         ，解得 2 3 b c     ， ∴抛物线的解析式为： 2 2 3 y x x    ； 2 2 2 3 ( 1) 4 y x x x        ， 顶点D 的坐标为(1, 4)  ； （2）如图2，连接BC ，BG，DG， 在 2 2 3 y x x    中，令 0 x ，则 3 y  ， ∴点 (0, 3) C  ， ∴易求直线BC 的解析式为 3 y x  ， 设直线BC 与对称轴相交于点F ， 当 1 x 时， 1 3 2 y   ， ∴点 (1, 2) F  ， ∴ 2 ( 4) 2 4 2 DF      ， 1 2 3 3 2 BCD S   △ ， S  四边形 4 CDGB DGB S  △ ， 1 1 3 1 3 3 DGB BCD S S    △ △ ， 设过点G 与 y 轴平行的直线交BD 于点H ，直线BD 的解析式为 y kx b   ， 则 3 0 4 k b k b       ，解得 2 6 k b     ， ∴直线BD 的解析式为 2 6 y x   ， 设  2 , 2 3 G x x x   ，则（x，2x-6）， ∴   2 2 (2 6) 2 3 4 3 GH x x x x x         ， ∴   2 2 1 4 3 (3 1) 4 3 1 2 BDG S x x x x          △ ， 整理得， 2 4 4 0 x x   ， 解得： 1 2 2 x x  ，则 2 2 3 4 4 3 3 x x      ， ∴点 (2, 3) G  ； （3）存在， 由勾股定理得， 2 2 2 2 3 3 3 2 BC OC OB      ， 如图3，过点B 作BP BC  交CM 的延长线于P ， (3,0) B  ， (0, 3) C  ， (1, 4) D  ， BC  ，CD 与 y 轴的夹角都是45 ， 90 BCD   ， 又 MN CD   ， BC MN   ， BCP CMN   ， 以C 、M 、N 为顶点的三角形与BDE  相似， 以B 、C 、P 为顶点的三角形与BDE  相似， BP BE BC ED   或 BP DE BC BE  ，即 3 1 4 3 2 BP   或 4 3 1 3 2 BP  ， 解得： 3 2 2 BP  或 6 2 BP  ， 过点P 作PQ x  轴于Q ， 45 OBC     ， 45 PBQ    ， ①当 3 2 2 BP  时， 3 2 2 3 2 2 2 PQ BQ     ， ∴ 3 9 3 2 2 OQ OB BQ     ， ∴点 9 3 , 2 2 P      ， 设直线CP 的解析式为 y kx b   ， 则 9 3 2 2 3 k b b        ，解得 1 3 3 k b      ， ∴直线CP 的解析式为 1 3 3 y x   ， 联立 2 1 3 3 2 3 y x y x x           ，解得： 1 1 0 3 x y      （舍去）， 2 2 7 3 20 9 x y          ， ∴点 7 20 , 3 9 M       ； ②当 6 2 BP  时， 2 6 2 6 2 PQ BQ    ， ∴ 3 6 9 OQ OB BQ     ， ∴点 (9, 6) P  ， 设直线CP 的解析式为 y kx b   ， 则9 6 3 k b b      ，解得 1 3 3 k b      ， ∴直线CP 的解析式为 1 3 3 y x   ， 联立 2 1 3 3 2 3 y x y x x           ，解得 1 1 0 3 x y      （舍去）， 2 2 5 3 32 9 x y          ， 点 5 32 , 3 9 M       ， 综上所述，存在点 7 20 , 3 9 M       或 5 32 , 3 9       ，使以C 、M 、N 为顶点的三角形与 BDE  相似． 2．分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据对称性，可得M=MD，根据解方程组，可得B 点坐标，根据两边之差小于第三边， 可得B，，M 共线，根据勾股定理，可得答； （3）根据等腰直角三角形的判定，可得∠BE，∠，根据相似三角形的判定与性质，可得关 于x 的方程，根据解方程，可得x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答． 解：（1）将（0，3），（﹣3，0）代入函数解析式，得 3 9 3 0 2 c b c          ，解得 5 2 3 b c      ， 抛物线的解析式是y= 1 2 x2+ 5 2 x+3； （2）由抛物线的对称性可知，点D 与点关于对称轴对称， ∴对l 上任意一点有MD=M， 联立方程组 2 1 3 2 1 5 3 2 2 y x y x x             ， 解得 0 3 x y      （不符合题意，舍）， 4 1 x y      ， B ∴（﹣4，1）， 当点B，，M 共线时，|MB MD| ﹣ 取最大值，即为B 的长， 过点B 作BE x ⊥轴于点E， ， 在Rt BE △ 中，由勾股定理，得 B= 2 2 2 BE CE   ， |MB MD| ﹣ 取最大值为 2 ； （3）存在点P 使得以，P，Q 为顶点的三角形与△B 相似， 在Rt BE △ 中，∵BE=E=1， BE=45° ∴∠ ， 在Rt△中， ==3 ∵ ， =45° ∴∠ ， B=180° 45° 45°=90° ∴∠ ﹣ ﹣ ， 过点P 作PQ y ⊥轴于Q 点，∠PQ=90°， 设P 点坐标为（x， 1 2 x2+ 5 2 x+3）（x＞0） ①当∠PQ= B ∠时，△PQ B ∽△， PG= B=90° ∵∠ ∠ ，∠PQ= B ∠， PG B ∴△ ∽△， ∴ BC AC PG AG  ，即 1 3 PG BC AD AC   ， ∴ 2 1 1 5 3 3 2 2 x x x    ， 解得x1=1，x2=0（舍去）， P ∴点的纵坐标为 1 2 ×12+ 5 2 ×1+3=6， P ∴（1，6）， ②当∠PQ= B ∠时，△PQ B ∽△， PG= B=90° ∵∠ ∠ ，∠PQ= B ∠， PG B ∴△ ∽△， ∴ BC AC AG PG  ， 即 PG AC AG PG  =3， ∴ 2 3 1 5 3 3 2 2 x x x    ， 解得x1=﹣ 13 3 （舍去），x2=0（舍去） ∴此时无符合条件的点P， 综上所述，存在点P（1，6）． 3．分析：(1)把点 (3,0) A 代入 2 3 y x c   求得值，即可得点B 的坐标；抛物线 2 4 3 y x bx c    经过点 ，即可求得b 值，从而求得抛物线的解析式；（2）由 轴，M（m，0），可得( 2 4 10 2 3 3 z m m m    )，①分∠BP=90°和∠BP =90°两种情 况求点M 的坐标；②分为PM 的中点、P 为M 的中点、M 为P 的中点3 种情况求m 的值 解：（1）直线 2 3 y x c   与 轴交于点 (3,0) A ， ∴ 2 3 0 3 c    ，解得=2 B ∴（0，2）， ∵抛物线 2 4 3 y x bx c    经过点 (3,0) A ， ∴ 2 4 3 3 2 0 3 b      ，∴b= 10 3 ∴抛物线的解析式为 2 4 10 2 3 3 y x x    ； （2）∵MN x  轴，M（m，0），∴( 2 4 10 2 3 3 z m m m    ) ①有（1）知直线B 的解析式为 2 2 3 y x   ，=3，B=2 ∵在△PM 中和△BP 中，∠PM= BP, MP=90° ∠ ∠ ， 若使△PM 中和△BP 相似，则必须∠BP=90°或∠BP =90°， 分两种情况讨论如下： （）当∠BP=90°时，过点作 轴于点， 则∠B+ B=90° ∠ ，=m， B= 2 2 4 10 4 10 2 2 3 3 3 3 m m m m       BP=90° ∵∠ ，∴∠B+ B=90° ∠ ， B= B ∴∠ ∠， Rt B Rt B ∴ △∽ △ ∴NC CB OB OA  ,即 2 4 10 3 3 2 3 m m m    ，解得m=0（舍去）或m=11 8 M ∴ （ 11 8 ，0）； （）当∠BP=90°时， B M， ∴点的纵坐标为2， ∴ 2 4 10 2 2 3 3 m m     解得m=0（舍去）或m= 5 2 M ∴ （ 5 2 ，0）； 综上，点M 的坐标为（ 11 8 ，0）或M（ 5 2 ，0）； ②由①可知M(m,0),P(m, 2 2 3 m   ),(m, 2 4 10 2 3 3 m m    )， M ∵ ，P，三点为“共谐点”，