反比例函数的综合突破 一、考向分析 反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解 析式的确定，考查形式以选择题、填空题为主，也经常与一次函数、二次函数 及几何图形等知识综合考查． 二、思维导图 三、最新考纲 1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式． 2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质． 3．能用反比例函数解决某些实际问题 【考点总结】一、反比例函数的概念 反比例函数 反比例函数的定义 反比例函数的 图象和性质 反比例函数的图象 反比例函数的性质 反比例函数中 k 的几何意义 一般地，形如y＝ 或y＝kx－1(k 是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数． 1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x 轴、y 轴无交点． 2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x 变量x 与其对应函数 值y 之积，总等于已知常数k 【考点总结】二、反比例函数的图象与性质 1．图象：反比例函数的图象是双曲线． 2．性质： (1)当k＞0 时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小； 当k＜0 时，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大． 注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交． (2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x

反比例函数中的有关面积问题 一、反比例函数 的几何意义 1 反比例函数 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所 围成矩形的面积为 。如图二，所围成三角形的面积为 O y x B A A B x y O 二、利用k 的几何意义进行面积转化 1 如图，直线 与反比例函数 （ ）交于 、 两点，与 、 轴的交点分别为 、 ， 那么 ， ，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。 y x A B O C D y x D C F E O B A 【针对训练】 1、如图，△BD 都是等腰直角三角形，过点B 作B⊥B 交反比例函数y＝ （x＞0）于点，过点作⊥BD 于点， 若S△BD﹣S△B＝3，则k 的值为 ． 解：设点坐标为（，b）， ∵△B 和△BD 都是等腰直角三角形， ∴B＝，D＝BD ∵S△BD﹣S△B＝3， 都是等腰直角三角，∠＝∠DB＝90°，反比例函数y＝ 的图象经过点B，则△与△BD 的 面积之差S△﹣S△BD＝ ． 解：设△和△BD 的直角边长分别为、b， 则点B 的坐标为（+b，﹣b）． ∵点B 在反比例函数y＝ 的第一象限图象上， ∴（+b）×（﹣b）＝2﹣b2＝8． ∴S△﹣S△BD＝ 2﹣ b2＝ （2﹣b2）＝ ×8＝4． 故答为：4． 3、如图，一次函数y＝x 3 ﹣的图象与反比例函数y═

反比例函数中的不等式问题 1、如图，直线y1＝k1x+b 与双曲线y2＝ 在第一象限内交于、B 两点，已知（1，m），B（2，1）． （1）k1＝ ，k2＝ ，b＝ ． （2）直接写出不等式y2＞y1的解集； （3）设点P 是线段B 上的一个动点，过点P 作PD⊥x 轴于点D，E 是y 轴上一点，求△PED 的面积S 的 最大值． 解：（1）∵（1，m），B（2，1）在双曲线y2＝ （3）∵D：＝2：3，S△＝15， ∴△D 的面积＝ S△＝ ＝5． 3、如图①，直线y＝﹣ x+b 与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于（2，6），B（，3）两点，B∥x 轴 （点在点B 的右侧），且B＝m，连接，过点作D⊥x 轴于点D，交反比例函数图象于点E． （1）求b 的值和反比例函数的解析式； （2）填空：不等式﹣ x+b＞ 的解为 ； （3）当平分∠BD 时，求 的值； 中点F，连接DF，F，BD，当四边形BDF 为平行四边形时，求点F 的坐标． （1）将（2，6）代入y＝﹣ x+b 得，﹣3+b＝6， 解得：b＝9， 将（2，6）代入y＝ 得，k＝12， ∴反比例函数的解析式为：y＝ ； （2）当y＝3 时，3＝ ， 解得：x＝4， ∴B（4，3）， 由图象可知不等式﹣ x+b＞ 的解为：2＜x＜4， 故答为：2＜x＜4； （3）将B（，3）代入y＝

反比例函数中的最值计算问题 k 的几何意义与反比例函数对称性 1 如图一，直线 与反比例函数 （ ）交于 、 两点，与 、 轴的交点分别为 、 ， 那么 ，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。常规方法，费时、费力、 而且还易计算出错。 2 如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长 交双曲线于点 ， 连接 、则 ， ，因此可以将 的面积转化为梯形的面积 D A B C D 1、如图，已知一次函数y＝x+2 的图象分别与x 轴、y 轴交于点、与反比列函数y＝的图象在第一象限内 交于点P，过点P 作PB⊥x 轴，垂足为B，且△BP 的面积为9． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ，点P 的坐标为 ； （2）已知点Q 在反比例函数y＝的图象上，其横坐标为6，在x 轴上确定一点M 使得△PQM 的周长最小， 求出点M 的坐标． 故答为：（﹣4，0），（0，2），（2，3）； （2）如图，作点Q 关于x 轴的对称轴Q′，连接PQ′，与x 轴交于点M，连接QM，此时△PQM 的周长最小． ∵点P（2，3）在反比例函数y＝图象上， k ∴＝2×3＝6，即反比例函数解析式为y＝， ∴点Q 的坐标为（6，1），点Q′的坐标为（6，﹣1）， 设直线PQ′的解析式为y＝mx+（m≠0）， 将点P（2，3），Q（6，1）代入y＝mx+，得：

反比例函数中的线段和差数量关系问题 1、如图，在平面直角坐标系中，矩形B 的边B 交x 轴于点D，D⊥x 轴，反比例函数y＝ （x＞0）的图象 经过点，点D 的坐标为（3，0），B＝BD． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P 为y 轴上一动点，当P+PB 的值最小时，求出点P 的坐标． 【分析】（1）根据矩形和B＝BD 可得△BD 为等腰直角三角形，进而得出△D 也是等腰直角三角形，从 也是等腰直角三角形，从 而确定点的坐标，求出反比例函数的解析式； （2）根据对称，过点与点B 关于y 轴的对称点B1的直线与y 轴的交点就是所求的点P，于是求出点B 的坐标，得到点B1的坐标，求出直线B1的关系式，求出它与y 轴的交点坐标即可． 【解答】解：（1）∵B 是矩形， ∴∠B＝∠B＝90°， ∵B＝DB， ∴∠BD＝∠DB＝45°， ∴∠D＝45°， 又∵D⊥x 轴， ∴∠D＝∠D＝45°， ∴∠D＝∠D＝45°， ∴D＝D， ∵D（3，0） ∴D＝D＝3，即（3，3） 把点 （3，3）代入的y＝ 得，k＝9 ∴反比例函数的解析式为：y＝ ． 答：反比例函数的解析式为：y＝ ． （2）过点B 作BE⊥D 垂足为E， ∵∠B＝90°，B＝BD，BE⊥D ∴E＝ED＝ D＝ ， ∴D+BE＝3+ ＝ ， ∴B（ ， ）， 则点B 关于y 轴的对称点B1（﹣ ， ），直线B1与y 轴的交点就是所求点P，此时P+PB

专题261 反比例函数【十大题型】 【人版】 【题型1 反比例函数的定义】.................................................................................................................................1 【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】 ..................3 【题型3 反比例函数的性质】.................................................................................................................................5 【题型4 反比例函数的对称性】.................. .............................7 【题型5 反比例函数中k 的几何意义（面积）】..................................................................................................9 【题型6 反比例函数系数k 的几何意义（规律题）】...................

第26 章 反比例函数章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（2022 秋•富川县期末）已知反比例函数y¿ 3 x ，下列结论中不正确的是（ ） ．其图象经过点（﹣1，﹣3） B．其图象分别位于第一、第三象限 ．当x＞1 时，0＜y＜3 D．当x＜0 时，y 随x 的增大而增大 【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 故选：D． 2．（2022•德阳）一次函数y＝x+1 与反比例函数y¿−a x 在同一坐标系中的大致图象是（ ） ． B． ． D． 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从＞0，和＜0，两方面分类讨论 1 得出答． 【解答】解：分两种情况： （1）当＞0，时，一次函数y＝x+1 的图象过第一、二、三象限，反比例函数y¿−a x 图 象在第二、四象限，无选项符合； 象在第二、四象限，无选项符合； （2）当＜0，时，一次函数y＝x+1 的图象过第一、二、四象限，反比例函数y¿−a x 图 象在第一、三象限，故B 选项正确． 故选：B． 3．（2022 春•惠山区校级期末）将x¿ 2 3代入反比例函数y¿−1 x 中，所得函数值记为y1，又 将x＝y1+1 代入函数中，所得函数值记为y2，再将x＝y2+1 代入函数中，所得函数值记为 y3，…，如此继续下去，则y2012的值为（

一、反比例函数 的几何意义 1 反比例函数 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂 线与坐标轴所围成矩形的面积为 。如图二，所围成三角形的面积为 O y x B A A B x y O 二、利用k 的几何意义进行面积转化 1 如图，直线 与反比例函数 （ ）交于 、 两点，与 、 轴的交点分别为 、 ， 那么 ，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲， x A B O C D y x D C F E O B A 【例1】．如图，反比例函数y＝ 在第一象限的图象上有两点，B，它们的横坐标分别是 2，6，则△B 的面积是 8 ． 解：如图所示： 过点作⊥y 轴于点，过点B 作BD⊥x 轴于点D， ∵反比例函数y＝ 在第一象限的图象上有两点，B，它们的横坐标分别是2，6， ∴x＝2 时，y＝3；x＝6 例题精讲 变式训练 【变1-1】．如图，点在反比例函数 （x＞0）的图象上，点B 在x 轴负半轴上，直线 B 交y 轴于点，若 ，△B 的面积为12，则k 的值为（ ） ．4 B．6 ．10 D．12 解：如图，过点作D⊥x 轴，垂足为D， ∵∥D， ， ∴ ， ∴ ，k＞0， ∴k＝12， 故选：D． 【变1-2】．如图，反比例函数y＝ （k＞0）的图象与矩形B 的两边相交于E，F

反比例函数中的特殊四边形问题 1、如图，在直角坐标系xy 中，一直线y＝ x+b 经过点（﹣3，0）与y 轴正半轴交于B 点，在x 轴正半轴 上有一点D，且＝D，过D 点作D⊥x 轴交直线y＝ x+b 于点，反比例函数y＝ （x＞0）经过点． （1）求这条直线和反比例函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点P，使四边形BPD 为菱形？如果存在，求出P 的点坐标；如果不存在， 说明理由． 把x＝3 代入y＝ x+4＝8， ∴（3，8）， ∵反比例函数y＝ 经过点， ∴k＝3×8＝24， ∴反比例函数解析式为y＝ ； （2）当四边形BPD 是菱形时， ∵（3，8），D（3，0）， ∴D⊥x 轴， ∴点P 和点B 关于D 对称， ∴点P 的坐标为（6，4）， 4×6 ∴ ＝24＝k， ∴点P 在反比例函数图象上， ∴反比例函数图象上存在点P，使四边形BPD 为菱形，此时点P（6，4）． 3、如图所示，直线y1= 与x 轴交于点，与y 轴交于点，与反比例函数y2= （x＞0）的图象交于点P， 作PB x ⊥轴于点B，且=B． （1）求点P 的坐标和反比例函数y2的解析式； （2）请直接写出y1＞y2时，x 的取值范围； （3）反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存 在，说明理由． （1）反比例函数的解析式为y2= ； （2）当x＞4

专题261 反比例函数【十大题型】 【人版】 【题型1 反比例函数的定义】.................................................................................................................................1 【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】 ..................2 【题型3 反比例函数的性质】.................................................................................................................................3 【题型4 反比例函数的对称性】.................. .............................3 【题型5 反比例函数中k 的几何意义（面积）】..................................................................................................5 【题型6 反比例函数系数k 的几何意义（规律题）】...................