71 反比例函数中的最值计算问题

反比例函数中的最值计算问题 k 的几何意义与反比例函数对称性 1 如图一，直线 与反比例函数 （ ）交于 、 两点，与 、 轴的交点分别为 、 ， 那么 ，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。常规方法，费时、费力、 而且还易计算出错。 2 如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长 交双曲线于点 ， 连接 、则 ， ，因此可以将 的面积转化为梯形的面积 D C B A O y x E x y O A B C D 1、如图，已知一次函数y＝x+2 的图象分别与x 轴、y 轴交于点、与反比列函数y＝的图象在第一象限内 交于点P，过点P 作PB⊥x 轴，垂足为B，且△BP 的面积为9． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ，点P 的坐标为 ； （2）已知点Q 在反比例函数y＝的图象上，其横坐标为6，在x 轴上确定一点M 使得△PQM 的周长最小， 求出点M 的坐标． 【答】(1)（﹣4，0），（0，2），（2，3）；(2)当△PQM 的周长最小时，点M 的坐标为（5，0） 【解析】 【分析】 （1）求直线与坐标轴的交点坐标时,令横纵坐标等于零即可求出,的坐标,再利用P 为直线与双曲线的交点和 △BP 的面积为9 列出二元一次方程组求出P 点坐标即可, （2）根据题意作出Q 的对称点Q′,连接PQ′交x 轴于点M,求出解析式,即可求出点M 的坐标 【详解】 （1）当y＝0 时，x+2＝0，解得：x＝﹣4， 当x＝0 时，y＝2， ∴点的坐标为（﹣4，0），点的坐标为（0，2）， 设点P 的坐标为（，b）（＞0）， 则 ，解得： ， （舍去）， ∴点P 的坐标为（2，3）， 故答为：（﹣4，0），（0，2），（2，3）； （2）如图，作点Q 关于x 轴的对称轴Q′，连接PQ′，与x 轴交于点M，连接QM，此时△PQM 的周长最小． ∵点P（2，3）在反比例函数y＝图象上， k ∴＝2×3＝6，即反比例函数解析式为y＝， ∴点Q 的坐标为（6，1），点Q′的坐标为（6，﹣1）， 设直线PQ′的解析式为y＝mx+（m≠0）， 将点P（2，3），Q（6，1）代入y＝mx+，得： ，解得： ， ∴直线PQ′的解析式为：y＝﹣x+5， 当y＝0 时，﹣x+5＝0，解得：x＝5， ∴点M 的坐标为（5，0）， ∴当△PQM 的周长最小时，点M 的坐标为（5，0）． 2、如图，一次函数y＝－x＋6 的图像与反比例函数y＝ (k>0)的图像交于、B 两点，过点作x 轴的垂线， 垂足为M，△M 的面积为25 （1）求反比例函数的表达式； （2）在y 轴上有一点P，当P＋PB 的值最小时，求点P 的坐标． 【答】（1）反比例函数的表达式为y＝ ；（2）P(0， ) 【解析】 【分析】 （1）根据反比例系数和三角形面积关系，求出k，即可；（2）作点关于y 轴的对称点，连接B 交y 轴于P 点．由两个函数解析式组成方程组，求出交点坐标，再用待定系数法求直线B 的解析式,再求出P 的坐标 【详解】 解：(1)设（m,），则 S ∵ M △＝25，∴ |k|＝25 k>0 ∵ ，∴k＝5，∴反比例函数的表达式为y＝ (2) 如图，作点关于y 轴的对称点，连接B 交y 轴于P 点． ∵，B 是两个函数图象的交点， ∴ 解 或 (1 ∴ ，5)，B(5，1)，∴(－1，5)． 设yB＝kx＋b， 代入B，两点坐标得 解得 y ∴ B＝－ x＋ ，∴P(0， )， 3、如图，直线y1＝k1x+b 与双曲线y2＝ 在第一象限内交于、B 两点，已知（1，m），B（2，1）． （1）k1＝ ，k2＝ ，b＝ ． （2）直接写出不等式y2＞y1的解集； （3）设点P 是线段B 上的一个动点，过点P 作PD⊥x 轴于点D，E 是y 轴上一点，求△PED 的面积S 的 最大值． 解：（1）∵（1，m），B（2，1）在双曲线y2＝ 上， ∴k2＝m＝2×1＝2， ∴（1，2）， 则 ，解得： ， ∴k1＝﹣1，k2＝2，b＝3； 故答为：﹣1，2，3； （2）由图象得：不等式y2＞y1的解集是：0＜x＜1 或x＞2； （3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2， ∵PD＝﹣x+3，D＝x， 则 ， ∵ ， ∴当 时，S 有最大值，最大值为 ． 4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 的图象相 交于第一、三象限内的（3，5），B（，﹣3）两点，与x 轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出当y1＞y2时，x 的取值范围； （3）在y 轴上找一点P 使PB﹣P 最大，求PB﹣P 的最大值及点P 的坐标． 解：（1）把（3，5）代入 ，可得m＝3×5＝15， ∴反比例函数的解析式为 ； 把点B（，﹣3）代入 ，可得＝﹣5， ∴B（﹣5，﹣3）． 把（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝x+b，可得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为y1＝x+2； （2）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0 或x＞3． （3）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2， ∴一次函数与y 轴的交点为P（0，2）， 此时，PB﹣P＝B 最大，P 即为所求， 令y＝0，则x＝﹣2， ∴（﹣2，0）， ∴ ． 5、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板B 放在第二象限，点坐标为（﹣1，0），点坐标 为（0，2）．一次函数y＝kx+b 的图象经过点B、，反比例函数y＝ 的图象经过点B． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）直接写出当x＜0 时，kx+b﹣ ＜0 的解集； （3）在x 轴上找一点M，使得M+BM 的值最小，直接写出点M 的坐标和M+BM 的最小值． 解：（1）过点B 作BF⊥x 轴于点F， ∵点坐标为（﹣1，0），点坐标为（0，2）． ∴＝2，＝1， ∵∠B＝90°， ∴∠BF+∠＝90°， 又∵∠+∠＝90°， ∴∠BF＝∠， 在△和△FB 中 ∴△△ ≌FB（S）， ∴F＝＝2，BF＝＝1， ∴点B 的坐标为（﹣3，1）， 将点B 的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝ ， 解得：k＝﹣3， 故可得反比例函数解析式为y＝﹣ ； 将点B、的坐标代入一次函数解析式可得： ， 解得： ． 故可得一次函数解析式为y＝﹣ x﹣ ． （2）结合点B 的坐标及图象，可得当x＜0 时，kx+b﹣ ＜0 的解集为：﹣3＜x＜0； （3）作点关于x 轴的对称点′，连接 B ′与x 轴 的交点即为点M， ∵（0，2）， ′ ∴（0，﹣2）， 设直线B′的解析式为y＝x+b，将点′及点B 的坐标代入可得： ， 解得： ． 故直线B′的解析式为y＝﹣x 2 ﹣， 令y＝0，可得﹣x 2 ﹣＝0， 解得：x＝﹣2， 故点M 的坐标为（﹣2，0）， M+BM＝BM+M′＝B′＝ ＝3 ． 综上可得：点M 的坐标为（﹣2，0），M+BM 的最小值为3 ． 6、定义：若实数x，y，x'，y'满足x＝kx'+2，y＝ky'+2（k 为常数，k≠0），则在平面直角坐标系xy 中，称 点（x，y）为点（x'，y'）的“k 值关联点”．例如，点（3，0）是点（1，﹣2）的“1 值关联点”． （1）在（2，3），B（1，3）两点中，点 是P（1，﹣1）的“k 值关联点”； （2）若点 （8，5）是双曲线y＝ （t≠0）上点D 的“3 值关联点”，求t 的值和点D 的坐标； （3）设两个不相等的非零实数m，满足点E（m2+m，22）是点F（m，）的“k 值关联点”，求点F 到 原点的距离的最小值． 解：（1）若点（2，3）是P（1，﹣1）的“k 值关联点”， ∴k＝ ≠ ，不合题意， 若点B（1，3）是P（1，﹣1）的“k 值关联点”， ∴k＝ ＝ ＝﹣1，符合题意， 故答为：B； （2）设点D 坐标为（x，y）， ∵点 （8，5）是点D 的“3 值关联点”， ∴ ∴ ∴点D 坐标为（2，1）， ∵点D 是双曲线y＝ （t≠0）上点， ∴t＝2×1＝2； （3）∵点E（m2+m，22）是点F（m，）的“k 值关联点”， ∴ ， ∴m2+m2 2 ﹣＝22m 2 ﹣m， ∴（m﹣）（m+2）＝0， ∵m≠， ∴m＝﹣2， ∴m＝ ， ∵（m﹣）2≥0， ∴m2+2 2 ﹣m≥0， ∴m2+2≥2m， ∴m2+2＝ +2≥2×× ＝4， ∴点F 到原点的距离＝ ＝ ， ∴点F 到原点的距离的最小值为2． 7、如图，已知反比例函数y1＝ 的图象与一次函数y2＝k2x+b 的图象在第一象限交于（1，3），B（3， m）两点，一次函数的图象与x 轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x 为何值时，y2＞0？ （3）已知点P（0，）（＞0），过点P 作x 轴的平行线，在第一象限内交一次函数y2＝k2x+b 的图象于 点M，交反比例函数y1＝ 的图象于点．结合函数图象直接写出当PM＞P 时的取值范围． 解：（1）∵反比例函数 的图象过点（1，3）， ∴ ， ∴k1＝3， ∴反比例函数表达式为： ； ∵点B（3，m）在函数 的图象上， ∴ ， ∴B（3，1）． ∵一次函数y2＝k2x+b 的图象过点（1，3），B（3，1）， ∴ ， 解得 ， ∴一次函数的表达式为：y2＝﹣x+4； ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为 ，y2＝﹣x+4． （2）∵当y2＝0 时，﹣x+4＝0，x＝4， ∴（4，0）， 由图象可知，当x＜4 时，y2＞0． （3）如图， 由图象可得，当1＜＜3 时，PM＞P． 8、如图，一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点P（，2），与x 轴交于点 （﹣4，0），与y 轴交于点，PB⊥x 轴于点B，且＝B． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出kx+b＜ 的x 的取值范围； （3）点D 为反比例函数图象上使得四边形BPD 为菱形的一点，点E 为y 轴上的一动点，当|DE﹣PE|最 大时，求点E 的坐标． 解：（1）∵＝B，⊥B，（﹣4，0）， ∴为B 的中点，即＝B＝4， ∴P（4，2），B（4，0）， 将（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b 得： ， 解得： ， ∴一次函数解析式为y＝ x+1， 将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝ ； （2）观察图象可知： ＜kx+b 时x 的取值范围0＜x＜4； （3）假设存在这样的D 点，使四边形BPD 为菱形，如下图所示，连接D 交PB 于F， ∵四边形BPD 为菱形， ∴F＝DF＝4， ∴D＝8， 将x＝8 代入反比例函数y＝ 得y＝1， ∴D 点的坐标为（8，1） ∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BPD 为菱形，此时D 坐标为（8，1）； 延长DP 交y 轴于点E，则点E 为所求， 则|DE﹣PE|＝PD 为最大， 设直线PD 的表达式为：y＝sx+t， 将点P、D 的坐标代入上式得： ，解得： ， 故直线PD 的表达式为：y＝﹣ x+3， 令x＝0，则y＝3， 故点E（0，3）． 9、已知，在直角坐标系中，平行四边形B 的顶点，坐标分别为（2，0），（﹣1，2），反比例函数y＝ 的图象经过点B（m≠0） （1）求出反比例函数的解析式 （2）将▱B 沿着x 轴翻折，点落在点D 处，作出点D 并判断点D 是否在反比例函数y＝ 的图象上 （3）在x 轴是否存在一点P 使△P 为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）分别过点、B 作x 轴的垂线，垂足分别为：E、F， ∵四边形B 为平行四边形，则∠E＝∠BF，＝B， Rt ∴ △E Rt ≌ △BF，∴F＝E＝1， 故点B（1，2），故m＝2， 则反比例函数表达式为：y＝ ； （2）翻折后点D 的坐标为：（﹣1，﹣2）， ∵（﹣1）•（﹣2）＝2， ∴D 在反比例函数y＝ 的图象上； （3）当P＝时，点P（ ，0）； 当＝P 时，点P（﹣2，0）； 当P＝P 时，设点P（m，0）， 则m2+（m+1）2+4，解得：m＝﹣25； 综上，点P 的坐标为：（ ，0）或（﹣2，0）或（﹣25，0）． 10、正方形BD 的顶点（1，1），点（3，3），反比例函数y＝ （x＞0）． （1）如图1，双曲线经过点D 时求反比例函数y＝ （x＞0）的关系式； （2）如图2，正方形BD 向下平移得到正方形′B′′D′，边'B'在x 轴上，反比例函数y＝ （x＞0）的图象 分别交正方形′B′′D′的边'D′、边B′′于点F、E， ①求△'EF 的面积； ②如图3，x 轴上一点P，是否存在△PEF 是等腰三角形，若存在直接写出点P 坐标，若不存在明理由． 解：（1）∵点（1，1），点（3，3）， ∴点D（1，3）， 将点D 的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3， 故反比例函数表达式为：y＝ ； （2）平移后点′、B′、′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2）， 则平移后点E 纵坐标为3，则点E（3，1）， 同理点F（ ，2）， ' △EF 的面积＝S 正方形′B′′D′﹣S ′ △B′E﹣S ′ △D′F﹣S△EF′＝2×2 ×2× ﹣ 2×1﹣ × ×1＝ ； （3）点E、F 的坐标分别为：（3，1）、（ ，2）， 设点P（m，0）， 则EF2＝（3﹣ ）2+（2 1 ﹣）2＝ ，EP2＝（m 3 ﹣）2+1，PF2＝（m﹣ ）2+4， 当EF＝EP 时，即 ＝（m 3 ﹣）2+1，解得：m＝ （舍去）或 ； 当EF＝PF 时，同理可得：m＝ （舍去负值）； 当EP＝PF 时，同理可得：m＝ ， 故点P 的坐标为：（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）． 11、如图所示，一次函数y＝﹣x 6 ﹣与x 轴，y 轴分别交于点，B 将直线B 沿y 轴正方向平移与反比例函数 y＝ （x＞0）的图象分别交于点，D，连接B 交x 轴于点E，连接，已知BE＝3E，且S△BE＝27． （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）连接D，求△D 的面积． 解：（1）在y＝﹣x 6 ﹣中，当x＝0 时，y＝﹣6；当y＝0 时，x＝﹣6． ∴（﹣6，0），B（0，﹣6）， ∴B＝＝6，又S△BE＝27， ∴ B×E＝27， ∴E＝9，E＝3． 过作⊥x 轴于， 则∥B， 又∵BE＝3E， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴E＝1，＝2，＝4， ∴（4，2）． ∴反比例函数的解析式为y＝ ． 设直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将（﹣6，0），（4，2）代入得： ， 解得： ． ∴直线的解析式为y＝ x+ ； （2）根据题意设直线D 的解析式为y＝﹣x+b1，将点（4，2）代入得： 4+ ﹣ b1＝2， ∴b1＝6． ∴直线D 的解析式为y＝﹣x+6． 将直线D 和反比例函数解析式联立得： ， 解得： ， ， ∴D（2，4）． 过D 作DM∥y 轴交于M，则M（2，16）， ∴S△D＝S△DM+S△DM ＝ DM•|xM﹣x|+ DM•|x﹣xM| ＝ DM•|x﹣x| ＝ ×（4 16 ﹣ ）×|4﹣（﹣6）| ＝12． 12、菱形BD 的顶点与原点重合，点B 落在y 轴正半轴上，点、D 落在第一象限内，且D 点坐标为（4， 3）． （1）如图1，若反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点，求k 的值； （2）菱形BD 向右平移t 个单位得到菱形1B11D1，如图2． ①请直接写出点B1、D1的坐标（用含t 的代数式表示）：B1 、D1 ； ②是否存在反比例函数y＝ （x＞0），使得点B1、D1同时落在y＝ （x＞0）的图象上？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）如图，作DF⊥x 轴于点F， ∵点D 的坐标为（4，3）， ∴F＝4，DF＝3， ∴D＝5， ∴D＝5． ∴点坐标为（4，8）， ∴xy＝4×8＝32， ∴k＝32； （2）①平移后B1、D1的坐标分别为：（t，5），（t+4，3）， 故答为：（t，5），（t+4，3）； ②存在，理由如下： ∵点B1、D1同时落在 （x＞0）的图象上B1（t，5），D1（t+4，3）， 5 ∴t＝，3（t+4）＝， 解得：t＝6，＝30 所以，存在，此时＝30． 13、如图，直线y＝﹣ x+6 与反比例函数y＝ （x＞0）分别交于点D、（B＜），经探索研究发现：结论 B＝D 始终成立．另一直线y＝mx（m＞0）交线段B 于点E，交反比例函数y＝ （x＞0））图象于点F． （1）当B＝5 时： ①求反比例函数的解析式． ②若BE＝3E，求点F 的坐标． （2）当BE：D＝1：2 时，请直接写出k 与m 的数量关系． 解：（1）①针对于直线y＝﹣ x+6，令x＝0，则y＝6， ∴（0，6）， ∴＝6， 令y＝0，则0＝﹣ x+6， ∴x＝8， ∴D（8，0）， ∴D＝8， ∴D＝10， ∵B＝5， ∴B+D＝D﹣B＝5， ∵B＝D， ∴B＝ ， 过点B 作BG⊥y 轴于G， ∴∠GB＝90°＝∠B， ∵∠BG＝∠D， ∴△BG∽D， ∴ ， ∴ ， ∴G＝ ，BG＝2， ∴G＝﹣G＝ ， ∴B（2， ）， ∵点B 在反比例函数y＝ （x＞0））图象上， ∴k＝2× ＝9， ∴反比例函数的解析式为y＝ ； ②∵B＝5， ∴BE+E＝5， ∵BE＝3E， ∴BE＝ ， ∴E＝B+BE＝ ， 过点E 作E⊥y 轴于， ∴∠E＝90°＝∠B， ∵∠E＝∠D， ∴△E∽△D， ∴ ， ∴ ， ∴＝ ，BG＝5， ∴＝﹣＝ ， ∴E（5， ）， ∴直线E 的解析式为y＝ x， 联立 ，解得， （舍）或 ， ∴F（2 ， ）； （2）∵BE：D＝1：2， ∴BE＝，则D＝2， ∴B＝D＝2， ∴E＝B+BE＝3， 过点E 作E⊥y 轴于， 同（1）的方法得，△E∽△D， ∴ ， ∴ ， ∴＝ ，E＝ ， ∴＝﹣＝6﹣ ， ∴E（ ，6﹣ ）， 将点E 坐标代入直线y＝mx（m＞0）中，解得 m＝6﹣ ， ∴＝ ， 将点E 的坐标代入反比例函数y＝ （x＞0）中， 解得，k＝ （6﹣ ）＝ （10 3 ﹣）＝ × （10﹣ ）＝ ． 14、如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝ （k＜0）的图象交于、B 两点，点在第二象 限，且点的横坐标为﹣1，点D 在x 轴负半轴上，连接D 交反比例函数图象于另一点E，为∠BD 的平分 线，过点B 作的垂线，垂足为，连接E，若D＝2DE，△E 的面积为 ． （1）根据图象回答：当x 取何值时，y1＜y2； （2）求△D 的面积； （3）若点P 的坐标为（m，k），在y 轴的轴上是否存在一点M，使得△MP 是直角三角形，若存在，请