67 反比例函数中的线段和差数量关系问题

反比例函数中的线段和差数量关系问题 1、如图，在平面直角坐标系中，矩形B 的边B 交x 轴于点D，D⊥x 轴，反比例函数y＝ （x＞0）的图象 经过点，点D 的坐标为（3，0），B＝BD． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P 为y 轴上一动点，当P+PB 的值最小时，求出点P 的坐标． 【分析】（1）根据矩形和B＝BD 可得△BD 为等腰直角三角形，进而得出△D 也是等腰直角三角形，从 而确定点的坐标，求出反比例函数的解析式； （2）根据对称，过点与点B 关于y 轴的对称点B1的直线与y 轴的交点就是所求的点P，于是求出点B 的坐标，得到点B1的坐标，求出直线B1的关系式，求出它与y 轴的交点坐标即可． 【解答】解：（1）∵B 是矩形， ∴∠B＝∠B＝90°， ∵B＝DB， ∴∠BD＝∠DB＝45°， ∴∠D＝45°， 又∵D⊥x 轴， ∴∠D＝∠D＝45°， ∴D＝D， ∵D（3，0） ∴D＝D＝3，即（3，3） 把点 （3，3）代入的y＝ 得，k＝9 ∴反比例函数的解析式为：y＝ ． 答：反比例函数的解析式为：y＝ ． （2）过点B 作BE⊥D 垂足为E， ∵∠B＝90°，B＝BD，BE⊥D ∴E＝ED＝ D＝ ， ∴D+BE＝3+ ＝ ， ∴B（ ， ）， 则点B 关于y 轴的对称点B1（﹣ ， ），直线B1与y 轴的交点就是所求点P，此时P+PB 最小， 设直线B1的关系式为y＝kx+b，将 （3，3）B1（﹣ ， ），代入得， 解得：k＝ ，b＝ ， ∴直线B1的关系式为y＝ x+ ， 当x＝0 时，y＝ ， ∴点P（0， ） 答：点P 的坐标为（0， ）． 【点评】考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及轴对称和一次 函数的性质等知识，综合应用的知识较多，掌握基本的解题思路是关键，对每个知识点的掌握是基础． 2、如图，一次函数y＝mx+（m≠0）的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于第二、四象限内的点（， 4）和点B（8，b）．过点作x 轴的垂线，垂足为点，△的面积为4． （1）分别求出和b 的值； （2）结合图象直接写出mx+＜ 的解集； （3）在x 轴上取点P，使P﹣PB 取得最大值时，求出点P 的坐标． 【分析】（1）由△的面积为4，可求出的值，确定反比例函数的关系式，把点B 坐标代入可求b 的值． （2）根据图象观察当自变量x 取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意由两部 分． （3）由对称点B 关于x 轴的对称点B′，直线B′与x 轴交点就是所求的点P，求出直线与x 轴的交点坐标 即可． 【解答】解：（1）∵点（，4）， ∴＝4， ∵S△＝4，即 ， ∴＝2， ∵点（，4）在第二象限， ∴＝﹣2 （﹣2，4）， 将（﹣2，4）代入y＝ 得：k＝﹣8， ∴反比例函数的关系式为：y＝ ， 把B（8，b）代入得：b＝﹣1， ∴B（8，﹣1） 因此＝﹣2，b＝﹣1； （2）由图象可以看出mx+＜ 的解集为：﹣2＜x＜0 或x＞8； （3）如图，作点B 关于x 轴的对称点B′，直线B′与x 轴交于P， 此时P﹣PB 最大（P﹣PB＝P﹣PB′≤B′，共线时差最大） ∵B（8，﹣1） ∴B′（8，1） 设直线P 的关系式为y＝kx+b，将 （﹣2，4），B′（8，1）代入得： 解得：k＝ ，b＝ ， ∴直线P 的关系式为y＝ x+ ， 当y＝0 时，即 x+ ＝0，解得x＝ ， ∴P（ ，0） 【点评】考查反比例函数的图象和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数的关系式等知识，理 解作点B 关于x 轴的对称点B′，直线B′与x 轴交于P， 此时P﹣PB 最大． 3、如图，在平面直角坐标系xy 中，反比例函数y＝ 的图象与正比例函数y＝kx 的图象的一个交点为M （1，b）． （1）求正比例函数y＝kx 的表达式； （2）若点在直线M 上，且满足M＝2M，直接写出点的坐标． 【分析】（1）先根据待定系数法求出b 的值，再求出正比例函数解析式． （2）先确定点的横坐标，再求出其纵坐标，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵双曲线 过点M（1，b）， ∴b＝4， ∵正比例函数y＝kx 的图象过点M（1，4）， ∴k＝4． ∴正比例函数的表达式为y＝4x． （2）由图象可知点坐标的横坐标为﹣1 或3， 当x＝﹣1 时，y＝﹣4， 当x＝3 时，y＝12， ∴点坐标为（﹣1，﹣4），（3，12）． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，解题的关键是灵活运用待定系数法，考虑问题 要全面，不能漏解，属于中考常考题型． 4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 的图象相 交于第一、三象限内的（3，5），B（，﹣3）两点，与x 轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出当y1＞y2时，x 的取值范围； （3）在y 轴上找一点P 使PB﹣P 最大，求PB﹣P 的最大值及点P 的坐标． 解：（1）把（3，5）代入 ，可得m＝3×5＝15， ∴反比例函数的解析式为 ； 把点B（，﹣3）代入 ，可得＝﹣5， ∴B（﹣5，﹣3）． 把（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝x+b，可得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为y1＝x+2； （2）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0 或x＞3． （3）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2， ∴一次函数与y 轴的交点为P（0，2）， 此时，PB﹣P＝B 最大，P 即为所求， 令y＝0，则x＝﹣2， ∴（﹣2，0）， ∴ ． 5、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板B 放在第二象限，点坐标为（﹣1，0），点坐标 为（0，2）．一次函数y＝kx+b 的图象经过点B、，反比例函数y＝ 的图象经过点B． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）直接写出当x＜0 时，kx+b﹣ ＜0 的解集； （3）在x 轴上找一点M，使得M+BM 的值最小，直接写出点M 的坐标和M+BM 的最小值． 解：（1）过点B 作BF⊥x 轴于点F， ∵点坐标为（﹣1，0），点坐标为（0，2）． ∴＝2，＝1， ∵∠B＝90°， ∴∠BF+∠＝90°， 又∵∠+∠＝90°， ∴∠BF＝∠， 在△和△FB 中 ∴△△ ≌FB（S）， ∴F＝＝2，BF＝＝1， ∴点B 的坐标为（﹣3，1）， 将点B 的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝ ， 解得：k＝﹣3， 故可得反比例函数解析式为y＝﹣ ； 将点B、的坐标代入一次函数解析式可得： ， 解得： ． 故可得一次函数解析式为y＝﹣ x﹣ ． （2）结合点B 的坐标及图象，可得当x＜0 时，kx+b﹣ ＜0 的解集为：﹣3＜x＜0； （3）作点关于x 轴的对称点′，连接 B ′与x 轴 的交点即为点M， ∵（0，2）， ′ ∴（0，﹣2）， 设直线B′的解析式为y＝x+b，将点′及点B 的坐标代入可得： ， 解得： ． 故直线B′的解析式为y＝﹣x 2 ﹣， 令y＝0，可得﹣x 2 ﹣＝0， 解得：x＝﹣2， 故点M 的坐标为（﹣2，0）， M+BM＝BM+M′＝B′＝ ＝3 ． 综上可得：点M 的坐标为（﹣2，0），M+BM 的最小值为3 ． 6、如图①，在矩形B 中，＝4，＝3，分别以、所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的坐标系，连接 B，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过线段B 的中点D，并与矩形的两边交于点E 和点F，直线l：y ＝kx+b 经过点E 和点F． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接E、F，求△EF 的面积； （3）在第一象限内，请直接写出关于x 的不等式kx+b≤ 的解集： ． （4）如图②，将线段B 绕点顺时针旋转一定角度，使得点B 的对应点恰好落在x 轴的正半轴上，连接 B，作M⊥B，点为线段M 上的一个动点，求+ 的最小值． 解：（1）在矩形B 中，∵＝B＝4，＝B＝3， ∴B（3，4）， ∵D＝DB， ∴D（ ，2）， ∵y＝ 经过D（ ，2）， ∴k＝3， ∴反比例函数的解析式为y＝ ． （2）如图①中，连接E，F． 由题意E（ ，4），F（3，1）， ∴S△EF＝S 矩形B﹣S△E﹣S△F﹣S△EFB＝12﹣ ×4× ﹣ ×3×1﹣ ×3×（3﹣ ）＝ ． （3）观察图象可知：在第一象限内，关于x 的不等式kx+b≤ 的解集为：0＜x＜ 或x＞3． 故答为：0＜x＜ 或x＞3． （4）如图②中，作⊥BD 于．K⊥BD 于K． 由题意B＝＝5， ∴＝﹣＝5 3 ﹣＝2， ∴B＝ ＝ ＝2 ， s ∴∠B＝ ＝ ， ∵M⊥B， ∴∠M＝∠B＝90°， ∵∠M+∠M＝90°，∠B+∠B＝90°， ∴∠M＝∠B， ∵B＝，M⊥B， ∴∠MB＝∠M＝∠B， s ∴∠D＝ ， ∴＝•s∠D＝ ， + ∴ ＝+， 根据垂线段最短可知，当，，共线，且与K 重合时，+ 的值最小，最小值＝K 的长， ∵B＝，B⊥，K⊥B， ∴K＝B＝4， + ∴ 是最小值为4． 7、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b 经过点（﹣1，0），与y 轴正半轴交于B 点，与反比例函数 y＝ （x＞0）交于点，且B＝2B，BD∥x 轴交反比例函数y＝ （x＞0）于点D，连接D． （1）求b、k 的值； （2）求△BD 的面积； （3）若E 为射线B 上一点，设E 的横坐标为m，过点E 作EF∥BD，交反比例函数y＝ （x＞0）的图 象于点F，且EF＝ BD，求m 的值． 解：（1）作⊥y 轴于点， ∵直线y＝3x+b 经过点（﹣1，0）， 1×3+ ∴﹣ b＝0， 解得，b＝3， 对于直线y＝3x+3，当x＝0 时，x＝3， ∴点B 的坐标为（0，3），即B＝3， ∵∥， ∴△B∽△B， ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ， 解得，＝2，B＝6， ∴＝B+B＝9， ∴点的坐标为（2，9）， ∴k＝2×9＝18； （2）∵BD∥x 轴， ∴点D 的纵坐标为3， ∴点D 的横坐标为 ＝6，即BD＝6， ∴△BD 的面积＝ ×6×3＝9； （3）EF＝ BD＝ ×6＝2， 设E（m，3m+3）， 当0＜m＜2 时，点F 的坐标为（m+2，3m+3）， ∵点F 在反比例函数y＝ 上， ∴（m+2）（3m+3）＝18， 解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1， 当m＞2 时，点F 的坐标为（m 2 ﹣，3m+3）， ∵点F 在反比例函数y＝ 上， ∴（m 2 ﹣）（3m+3）＝18， 解得，m3＝ （舍去），m4＝ ， 综上所述，m 的值为1 或 ． 8、如图，直线B 与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点，已知点（3，4），B（0，﹣2），点是反比 例函数y＝ （x＞0）的图象上的一个动点，过点作x 轴的垂线，交直线B 于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2） ，求△B 的面积； （3）在点运动的过程中，是否存在点，使B＝？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点（3，4）， ∴k＝xy＝3×4＝12， ∴反比例函数的解析式为：y＝ ； （2）作E⊥y 轴于点E，交D 于点F， 则BE∥D， ∴ ＝ ＝ ， ∵点的坐标为（3，4）， ∴EF＝1，F＝2， ∴点F 的横坐标为1， ∴点的坐标为（1，12）， 设直线B 的解析式为：y＝kx+b， 则 ， 解得， ， ∴直线B 的解析式为：y＝2x 2 ﹣， 则点D 的坐标为：（1，0），即D＝12， ∴△B 的面积＝ ×12×1+ ×12×2＝18； （3）不存在， 理由如下：设点的坐标为（m， ）， ∵B＝， ∴m2+（ +2）2＝（3﹣m）2+（ ﹣4）2， 整理得，6m2 21 ﹣ m+144＝0， △＝212 4×6×144 ﹣ ＜0， 则此方程无解， ∴点不存在． 9、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ 与x 轴，y 轴分别相交于，B 两点，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点，点的横坐标为4． （1）求k 的值； （2）过点作D⊥y 轴，垂足为D，点E 是该反比例函数y＝ （x＞0）的图象上一点，连接ED，E，且 ED＝E； ①求点E 的坐标； ②求点E 到直线y＝ 的距离d 的值． 解：（1）点在直线 上，点的横坐标为4， ∴ ， ∴ ， ∵点在反比例函数 的图象上， ∴k＝4× ＝2； （2）①ED＝E， ∴点E 在线段D 的垂直平分线上． ∵D⊥y 轴，垂足为D， ∴D∥x 轴． ∵点的坐标为 ， ∴点E 的横坐标为2， ∵点E 在反比例函数 的图象上， ∴点E 的坐标为（2，1）； ②过点E 作EF⊥直线B，垂足为F， ∴∠EFB＝90°，EF＝d， 过点E 作EG⊥x 轴，垂足为G，延长EG 交B 于点， ∴E∥y 轴， ∴∠EF＝∠B， ∵∠EF＝∠B＝90°， Rt ∴ △EF Rt ∽ △B， ∴ ． 设点的坐标为（，b）． ∵E（2，1）， ∴＝2，EG＝1， 又∵点在直线 上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当y＝0 时，x＝3， ∴（3，0），则＝3． 当x＝0 时， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 10、如图，一次函数y＝x+b 的图象与反比例函数y＝ （k 为常数且k≠0）的图象交于（﹣1，）、B 两点， 与x 轴交于点（﹣4，0）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点D 是第四象限内反比例函数图象上的点，且点D 到直线的距离为5 ，求点D 的横坐标． 解：（1）将（﹣4，0）代入y＝x+b，得b＝4， ∴一次函数的表达式为y＝x+4， 将（﹣1，）代入y＝x+4，y＝ 中，得：＝﹣1+4，＝ ， ∴k＝﹣3， ∴反比例函数的表达式为y＝﹣ ； （2）过点D 作DE∥交x 轴于点E，过点E 作EF⊥于点F， ∴设直线DE 的解析式为y＝x+m，EF＝5 ， ∵y＝x+4， ∴G（0，4）， 又（﹣4，0）， ∴＝G＝4， 又∠G＝90°， ∵EF⊥， ∴E＝ EF＝10， ∴E＝6，∴E（6，0）， 将E（6，0）代入y＝x+m 中，得：m＝﹣6， ∴y＝x 6 ﹣， 联立 ， 解得x＝ +3， ∴点D 的横坐标x＝± +3．