65 反比例函数中的特殊四边形问题

反比例函数中的特殊四边形问题 1、如图，在直角坐标系xy 中，一直线y＝ x+b 经过点（﹣3，0）与y 轴正半轴交于B 点，在x 轴正半轴 上有一点D，且＝D，过D 点作D⊥x 轴交直线y＝ x+b 于点，反比例函数y＝ （x＞0）经过点． （1）求这条直线和反比例函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点P，使四边形BPD 为菱形？如果存在，求出P 的点坐标；如果不存在， 说明理由． （1）y＝ x+4＝8， ；（2）P（6，4）． （1）∵直线y＝ x+b 经过（﹣3，0）， 4+ ∴﹣ b＝0， ∴b＝4， ∴直线的解析式为y＝ x+4， ∵＝D＝3， ∴D（3，0）， 把x＝3 代入y＝ x+4＝8， ∴（3，8）， ∵反比例函数y＝ 经过点， ∴k＝3×8＝24， ∴反比例函数解析式为y＝ ； （2）当四边形BPD 是菱形时， ∵（3，8），D（3，0）， ∴D⊥x 轴， ∴点P 和点B 关于D 对称， ∴点P 的坐标为（6，4）， 4×6 ∴ ＝24＝k， ∴点P 在反比例函数图象上， ∴反比例函数图象上存在点P，使四边形BPD 为菱形，此时点P（6，4）． 2、知：如图，直线 与 轴负半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，线段 的长是方程 的一个根，请解答下列问题： （1）求点 的坐标； （2）双曲线 与直线 交于点 ，且 ，求 的值； （3）在（2）的条件下，点 在线段 上， ，直线 轴，垂足为 ，点 在直线l 上，在直线 上的坐标平面内是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是矩形？若存 在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。 （1） ；（2）10；（3） 或 （2）在 中， ， ∴ 如图，过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ∴ 即 解得 ， ∴ ， ∴ ． ∵双曲线（ ）经过点 ， ∴ · （3）存在 ①当 为以点 为顶点的矩形的一边时，过点 作 轴于点 ，作 交 直线l 于点 ，如图所示， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴设直线 的函数表达式为 ， 把 代入，得 ， 解得 ， ∴直线 的函数表达式为 当 时， ， ∴ ， ∴ ．（注：也可以用三角形相似求解 ∴ 如图3 图3 ∵ ∴点 的坐标为 ；（点的平移） 当 为以点 为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点 的坐标为 ； ②当 为以点 为顶点的矩形的对角线时，点 在直线 的下方，不符合题意。 ∴满足条件的 的坐标为 或 ； 3、如图所示，直线y1= 与x 轴交于点，与y 轴交于点，与反比例函数y2= （x＞0）的图象交于点P， 作PB x ⊥轴于点B，且=B． （1）求点P 的坐标和反比例函数y2的解析式； （2）请直接写出y1＞y2时，x 的取值范围； （3）反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存 在，说明理由． （1）反比例函数的解析式为y2= ； （2）当x＞4 时，y1＞y2； （3）反比例函数的图象上存在点D 使四边形BPD 是菱形，此时D 的坐标是（8，1）． （3）连接D 与PB 交于点E，若四边形BPD 是菱形时，E=DE，则D 的长即可求得，从而求得D 的坐标， 判断D 是否在反比例函数的图象上即可． 试题解析：（1）∵一次函数y1= 的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点， ∴（﹣4，0），（0，1）， 又∵=B，⊥B， ∴是B 的中点，即=B=4，且BP=2=2， P ∴的坐标是（4，2）， 将P（4，2）代入y2= 得m=8，即反比例函数的解析式为y2= ； （2）当x＞4 时，y1＞y2； （3）假设存在这样的点D，使四边形BPD 为菱形，如图所示，连接D 与PB 交于点E． ∵四边形BPD 是菱形， E=DE=4 ∴ ， D=8 ∴ ， 将x=8 代入反比例函数解析式y= 得y=1， D ∴ 的坐标是（8，1），即反比例函数的图象上存在点D 使四边形BPD 是菱形，此时D 的坐标是（8， 1）． 4、如图1，在平面直角坐标系xy 中，函数y＝ （m 为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q （1，m），直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于，D 两点． （1）求∠D 的度数； （2）如图2，连接Q、P，当∠DQ＝∠D﹣∠P 时，求此时m 的值； （3）如图3，点，点B 分别在x 轴和y 轴正半轴上的动点．再以、B 为邻边作矩形MB．若点M 恰好在 函数y＝ （m 为常数，m＞1，x＞0）的图象上，且四边形BPQ 为平行四边形，求此时、B 的长度． 解：（1）设直线PQ 的解析式为y＝kx+b，则有 ， 解得 ， ∴y＝﹣x+m+1， 令x＝0，得到y＝m+1， ∴D（0，m+1）， 令y＝0，得到x＝m+1， ∴（m+1，0）， ∴＝D， ∵∠D＝90°， ∴∠D＝45°． （2）如图2，过Q 作QM⊥y 轴于M，过P 作P⊥于，过作⊥D 于， ∵P（m，1）和Q（1，m）， ∴MQ＝P＝1，M＝＝m， ∵∠MQ＝∠P＝90°， ∴△MQ≌△P（SS）， ∴Q＝P，∠DQ＝∠P， ∵∠DQ＝∠D﹣∠P，∠D＝45°， ∴∠DQ＝∠P＝∠Q＝∠P＝225°， ∴MQ＝Q＝P＝P＝1， ∵∠D＝∠D＝45°， ∴△DMQ 和△P 都是等腰直角三角形， ∴DQ＝P＝ ， ∵＝D＝m+1， ∴D＝ ＝ ， ∵D＝DQ+PQ+P， ∴ ＝2 +2， ∴m＝ +1； （3）如图3， ∵四边形BPQ 为平行四边形， ∴B∥PQ，B＝PQ， ∴∠B＝45°， ∵∠B＝90°， ∴＝B， ∴矩形MB 是正方形， ∵点M 恰好在函数y＝ （m 为常数，m＞1，x＞0）的图象上， ∴M（ ， ），即＝B＝ ， ∵B＝PQ， ∴ ， 解得：m＝ 或 （舍）， ∴＝B＝ ＝ ＝ ＝ ． 5、如图①，直线y＝﹣ x+b 与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于（2，6），B（，3）两点，B∥x 轴 （点在点B 的右侧），且B＝m，连接，过点作D⊥x 轴于点D，交反比例函数图象于点E． （1）求b 的值和反比例函数的解析式； （2）填空：不等式﹣ x+b＞ 的解为 ； （3）当平分∠BD 时，求 的值； （4）如图②，取B 中点F，连接DF，F，BD，当四边形BDF 为平行四边形时，求点F 的坐标． （1）将（2，6）代入y＝﹣ x+b 得，﹣3+b＝6， 解得：b＝9， 将（2，6）代入y＝ 得，k＝12， ∴反比例函数的解析式为：y＝ ； （2）当y＝3 时，3＝ ， 解得：x＝4， ∴B（4，3）， 由图象可知不等式﹣ x+b＞ 的解为：2＜x＜4， 故答为：2＜x＜4； （3）将B（，3）代入y＝ 得， ＝3， 解得：＝4， ∵平分∠BD， ∴∠B＝∠D， ∵B∥x 轴， ∴∠B＝∠D， ∴∠B＝∠B， ∴B＝B， ∵B（4，3）， ∴B＝B＝5， ∴（9，3）， ∴E（9， ），D（9，0）， ∴DE＝ ，E＝3﹣ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ； （4）作⊥B 于，则（2，3）， ∴＝3，B＝2， ∵四边形BDF 为平行四边形， ∴B∥DF，B＝DF， ∴∠FD＝∠BQ， ∵∠B＝∠DF＝90°，∠B＝∠BQ， ∴∠FD＝∠B， ∴△B≌△DF（S）， ∴F＝B＝2， ∵F 是B 中点， ∴BF＝F＝ B＝2， ∵B（4，3）， ∴F（6，3）． 6、如图，直线y＝mx 1 ﹣交y 轴于点B，交x 轴于点，以B 为边的正方形BD 的顶点（﹣1，）在双曲线y＝ ﹣ （x＜0）上，D 点在双曲线y＝ （x＞0）上，则k 的值为 ． 解：∵（﹣1，）在双曲线y＝﹣ （x ＜0）上， ∴＝2， ∴（﹣1，2）， ∵点B 在直线y＝mx 1 ﹣上， ∴B（0，﹣1）， ∴B＝ ＝ ， ∵四边形BD 是正方形， ∴B＝B＝ ， 设（，0）， ∴ ＝ ， ∴＝﹣3（舍）或＝3， ∴（3，0）， ∴点B 向右平移3 个单位，再向上平移1 个单位， ∴点D 是点向右平移3 个单位，再向上平移1 个单位， ∴点D（2，3）， ∵D 点在双曲线y＝ （x＞0）上， ∴k＝2×3＝6， 故答为：6． 7、如图，正方形BD 的边长为5，点的坐标为（﹣4，0），点B 在y 轴上，若反比例函数y＝ （k≠0）的 图象过点，则该反比例函数的表达式为 ； 解：如图，过点作E⊥y 轴于E，在正方形BD 中，B＝B，∠B＝90°， ∴∠B+∠BE＝90°， ∵∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝∠BE， ∵点的坐标为（﹣4，0）， ∴＝4， ∵B＝5， ∴B＝ ＝3， 在△B 和△BE 中， ， ∴△B≌△BE（S）， ∴＝BE＝4，E＝B＝3， ∴E＝BE﹣B＝4 3 ﹣＝1， ∴点的坐标为（3，1）， ∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象过点， ∴k＝xy＝3×1＝3， ∴反比例函数的表达式为y＝ ． 故答为：y＝ ． 8、菱形BD 的顶点与原点重合，点B 落在y 轴正半轴上，点、D 落在第一象限内，且D 点坐标为（4， 3）． （1）如图1，若反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点，求k 的值； （2）菱形BD 向右平移t 个单位得到菱形1B11D1，如图2． ①请直接写出点B1、D1的坐标（用含t 的代数式表示）：B1 、D1 ； ②是否存在反比例函数y＝ （x＞0），使得点B1、D1同时落在y＝ （x＞0）的图象上？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）如图，作DF⊥x 轴于点F， ∵点D 的坐标为（4，3）， ∴F＝4，DF＝3， ∴D＝5， ∴D＝5． ∴点坐标为（4，8）， ∴xy＝4×8＝32， ∴k＝32； （2）①平移后B1、D1的坐标分别为：（t，5），（t+4，3）， 故答为：（t，5），（t+4，3）； ②存在，理由如下： ∵点B1、D1同时落在 （x＞0）的图象上B1（t，5），D1（t+4，3）， 5 ∴t＝，3（t+4）＝， 解得：t＝6，＝30 所以，存在，此时＝30． 9、正方形BD 的顶点（1，1），点（3，3），反比例函数y＝ （x＞0）． （1）如图1，双曲线经过点D 时求反比例函数y＝ （x＞0）的关系式； （2）如图2，正方形BD 向下平移得到正方形′B′′D′，边'B'在x 轴上，反比例函数y＝ （x＞0）的图象 分别交正方形′B′′D′的边'D′、边B′′于点F、E， ①求△'EF 的面积； ②如图3，x 轴上一点P，是否存在△PEF 是等腰三角形，若存在直接写出点P 坐标，若不存在明理由． 解：（1）∵点（1，1），点（3，3）， ∴点D（1，3）， 将点D 的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3， 故反比例函数表达式为：y＝ ； （2）平移后点′、B′、′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2）， 则平移后点E 纵坐标为3，则点E（3，1）， 同理点F（ ，2）， ' △EF 的面积＝S 正方形′B′′D′﹣S ′ △B′E﹣S ′ △D′F﹣S△EF′＝2×2 ×2× ﹣ 2×1﹣ × ×1＝ ； （3）点E、F 的坐标分别为：（3，1）、（ ，2）， 设点P（m，0）， 则EF2＝（3﹣ ）2+（2 1 ﹣）2＝ ，EP2＝（m 3 ﹣）2+1，PF2＝（m﹣ ）2+4， 当EF＝EP 时，即 ＝（m 3 ﹣）2+1，解得：m＝ 或 ； 当EF＝PF 时，同理可得：m＝ （舍去负值）； 当EP＝PF 时，同理可得：m＝ ， 故点P 的坐标为（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）． 10、如图（1），正方形BD 顶点、B 在函数y＝ （k＞0）的图象上，点、D 分别在x 轴、y 轴的正半轴上， 当k 的值改变时，正方形BD 的大小也随之改变． （1）若点的横坐标为5，求点D 的纵坐标； （2）如图（2），当k＝8 时，分别求出正方形′B′′D′的顶点′、B′两点的坐标； （3）当变化的正方形BD 与（2）中的正方形′B′′D′有重叠部分时，求k 的取值范围． 解：（1）如图，过点作E⊥y 轴于点E，则∠ED＝90°． ∵四边形BD 为正方形， ∴D＝D，∠D＝90°， ∴∠D+∠ED＝90°． ∵∠D+∠D＝90°， ∴∠ED＝∠D， 在△ED 和△D 中 ， ∴△ED≌△D（S）， ∴D＝E＝5， ∴点D 的纵坐标为5； （2）作′M⊥y 轴于M，B′⊥x 轴于点， 设D′＝，′＝b， 同理可得△B′′ ′ ≌△D′ ′ ≌△D′E， ′ ∴＝D′＝′M＝，B′＝′＝D′M＝b， ′ ∴（，+b），B′（+b，b）， ∵点′、B′在反比例函数y＝ 的图象上， ∴（+b）＝8，b（+b）＝8， ∴解得＝b＝2 或＝b＝﹣2（舍去）， ′ ∴、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）； （3）设直线′B′的解析式为y＝mx+， 把′（2，4），B′（4，2）代入得 ， 解得 ， ∴直线′B′解析式为y＝﹣x+6， 同样可求得直线′D′解析式为y＝﹣x+2， 由（2）可知△D 是等腰直角三角形， 设点的坐标为（m，2m），点D 坐标为（0，m）， 当点在直线′D′上时，则2m＝﹣m+2，解得m＝ ， 此时点的坐标为（ ， ）， ∴k＝ × ＝ ； 当点D 在直线′B′上时，有m＝6，此时点的坐标为（6，12）， ∴k＝6×12＝72； 综上可知：当变化的正方形BD 与（2）中的正方形′B′′D′有重叠部分时，k 的取值范围为 ≤x≤72． 11、如图，已知直线y＝2x+2 与x 轴交于点，与y 轴交于点，矩形BE 的顶点B 在第一象限的反比例函数y ＝ 图象上，过点B 作BF⊥，垂足为F，设F＝t． （1）求∠的正切值； （2）求点B 的坐标（用含t 的式子表示）； （3）已知直线y＝2x+2 与反比例函数y＝ 图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DE⊥x 轴，求 m 的值． 如图，在平面直角坐标系中，菱形BD 的对角线与BD 交于点P（﹣2，3），B⊥x 轴于点E，正比例函数y ＝（m 1 ﹣）x 的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于，P 两点． （1）求m，的值与点的坐标； （2）求s∠BP 的值． 12、正方形BD 的顶点（1，1），点（3，3），反比例函数y＝ （x＞0）． （1）如图1，双曲线经过点D 时求反比例函数y＝ （x＞0）的关系式； （2）如图2，正方形BD 向下平移得到正方形′B′′D′，边'B'在x 轴上，反比例函数y＝ （x＞0）的图象 分别交正方形′B′′D′的边'D′、边B′′于点F、E， ①求△'EF 的面积； ②如图3，x 轴上一点P，是否存在△PEF 是等腰三角形，若存在直接写出点P 坐标，若不存在明理由． 解：（1）∵点（1，1），点（3，3）， ∴点D（1，3）， 将点D 的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3， 故反比例函数表达式为：y＝ ； （2）平移后点′、B′、′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2）， 则平移后点E 纵坐标为3，则点E（3，1）， 同理点F（ ，2）， ' △EF 的面积＝S 正方形′B′′D′﹣S ′ △B′E﹣S ′ △D′F﹣S△EF′＝2×2 ×2× ﹣ 2×1﹣ × ×1＝ ； （3）点E、F 的坐标分别为：（3，1）、（ ，2）， 设点P（m，0）， 则EF2＝（3﹣ ）2+（2 1 ﹣）2＝ ，EP2＝（m 3 ﹣）2+1，PF2＝（m﹣ ）2+4， 当EF＝EP 时，即 ＝（m 3 ﹣）2+1，解得：m＝ （舍去）或 ； 当EF＝PF 时，同理可得：m＝ （舍去负值）； 当EP＝PF 时，同理可得：m＝ ， 故点P 的坐标为：（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）． 13、菱形BD 的顶点与原点重合，点B 落在y 轴正半轴上，点、D 落在第一象限内，且D 点坐标为（4， 3）． （1）如图1，若反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点，求k 的值； （2）菱形BD 向右平移t 个单位得到菱形1B11D1，如图2． ①请直接写出点B1、D1的坐标（用含t 的代数式表示）：B1 、D1 ； ②是否存在反比例函数y＝ （x＞0），使得点B1、D1同时落在y＝ （x＞0）的图象上？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）如图，作DF⊥x 轴于点F， ∵点D 的坐标为（4，3）， ∴F＝4，DF＝3， ∴D＝5， ∴D＝5． ∴点坐标为（4，8）， ∴xy＝4×8＝32， ∴k＝32； （2）①平移后B1、D1的坐标分别为：（t，5），（t+4，3）， 故答为：（t，5），（t+4，3）； ②存在，理由如下： ∵点B1、D1同时落在 （x＞0）的图象上B1（t，5），D1（t+4，3）， 5 ∴t＝，3（t+4）＝， 解得：t＝6，＝30 所以，存在，此时＝30．