61 反比例函数的综合突破

反比例函数的综合突破 一、考向分析 反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解 析式的确定，考查形式以选择题、填空题为主，也经常与一次函数、二次函数 及几何图形等知识综合考查． 二、思维导图 三、最新考纲 1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式． 2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质． 3．能用反比例函数解决某些实际问题 四、考点强化 【考点总结】一、反比例函数的概念 反比例函数 反比例函数的定义 反比例函数的 图象和性质 反比例函数的图象 反比例函数的性质 反比例函数中 k 的几何意义 一般地，形如y＝ 或y＝kx－1(k 是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数． 1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x 轴、y 轴无交点． 2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数 值y 之积，总等于已知常数k 【考点总结】二、反比例函数的图象与性质 1．图象：反比例函数的图象是双曲线． 2．性质： (1)当k＞0 时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小； 当k＜0 时，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大． 注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交． (2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x 或y＝－x 是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形， 对称中心是坐标原点． 函数 反比例函数 解析式 y= k x (k 是常数，k≠0) 图象形状 双曲线 K>0 位置 第一、三象限 增减性 y 随x 的增大而减小 K<0 位置 第二、四象限 增减性 y 随x 的增大而增大 【考点总结】三、反比例函数的应用 1．利用待定系数法确定反比例函数解析式 根据两变量之间的反比例关系，设出形如y＝的函数关系式，再由已知条件求出k 的值，从 而确定函数解析式．[] 2．反比例函数的实际应用 解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函 数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决． 【方法指导】 1 反比例函数知识梳理： 1．反比例函数 的图象和性质 k>0 图象经过第 一、三象限 （x 、y 同 号） 每个象限内，函数y 的值随x 的增大而减小 k<0 图象经过第 二、四象限 （x 、y 异 号） 每个象限内，函数y 的值随x 的增大而增大 2 反比例函数的 图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x 轴和y 轴，但都不会与x 轴和y 轴相 交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2 条对称 轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 3 系数k 的几何 意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线， 垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的 三角形的面积为1/2|k| （2）常见的面积类型： 4 与一次函数的 综合 （1）确定交点坐标： 【方法一】已知一个交点坐标为（,b），则根据中心对称性，可得另一个交 点坐标为（-,-b） 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解 （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两 个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关 系，可采用假设法，分k＞0 和k＜0 两种情况讨论，看哪个选项符合要 求即可也可逐一选项判断、排除 （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在 下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围 反比例函数k 的几何意义 1 反比例函数 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂 线与坐标轴所围成矩形的面积为 。如图二，所围成三角形的面积为 O y x B A A B x y O 2 如图，四条双曲线 、 、 、 对应的函数解析式分别为： 、 、 、 ，那么 、 、 、 的大小顺序为 C4 C3 C2 C1 G F E D C B A O y x 3 利用k 的几何意义进行面积转化： （1）如图，直线 与反比例函数 （ ）交于 、 两点，与 、 轴的交点分 别为 、 ，那么 ，此方法是绝大部分学生选用的方法，但是， 从效率来讲，就比较低； （2）如图，过点 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，则根据 的几何意义可得， ，而 ，所以 ，此方法的好处，在 于方便，快捷，不易出错。 y x A B O C D y x D C F E O B A 4k 的几何意义与反比例函数对称性 （1）如图一，直线 与反比例函数 （ ）交于 、 两点，与 、 轴的交点 分别为 、 ，那么 ，此两种方法是绝大部分学生选用 的方法。常规方法，费时、费力、而且还易计算出错； （2）如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长 交双曲线于点 ，连接 、则 ， ，因此可以将 的面积转化 为梯形的面积 D C B A O y x E x y O A B C D 【题型剖析】 【类型1】反比例函数的图象 【例1】一次函数y＝x﹣与反比例函数y¿ a x （≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） ． B． ． D． 【分析】先根据一次函数的性质判断出取值，再根据反比例函数的性质判断出的取值， 二者一致的即为正确答． 【解析】、由函数y＝x﹣的图象可知＞0，﹣＞0，由函数y¿ a x （≠0）的图象可知＞0， 矛盾，错误； B、由函数y＝x﹣的图象可知＜0，由函数y¿ a x （≠0）的图象可知＞0，相矛盾，故错误； 、由函数y＝x﹣的图象可知＞0，由函数y¿ a x （≠0）的图象可知＜0，故错误； D、由函数y＝x﹣的图象可知＜0，﹣＞0，由函数y¿ a x （≠0）的图象可知＜0，故正确； 故选：D． 【变式11】若b＜0，则正比例函数y＝x 与反比例函数y¿ b x 在同一平面直角坐标系中的大 致图象可能是（ ） ． B． ． D． 【分析】根据b＜0 及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从＞0，b＜0 和＜0，b ＞0 两方面分类讨论得出答． 【解析】∵b＜0， ∴分两种情况： （1）当＞0，b＜0 时，正比例函数y＝x 的图象过原点、第一、三象限，反比例函数y ¿ b x 图象在第二、四象限，无选项符合． （2）当＜0，b＞0 时，正比例函数y＝x 的图象过原点、第二、四象限，反比例函数y ¿ b x 图象在第一、三象限，故B 选项正确； 故选：B． 【变式12】若函数y＝x2+bx+（≠0）的图象如图所示，则函数y＝x+b 和y¿ c x 在同一平面直 角坐标系中的图象大致是（ ） ． B． ． D． 【分析】先根据二次函数的图象开口向上可知＞0，对称轴在y 轴的右侧可知b＜0，再 由函数图象交y 轴的正坐标可知＞0，利用排除法即可得出正确答． 【解析】∵由函数图象交于y 轴的正半轴可知＞0， ∴反比例函数y¿ c x 的图象必在一、三象限，故、D 错误； ∵据二次函数的图象开口向上可知＞0，对称轴在y 轴的右侧，b＜0， ∴函数y＝x+b 的图象经过一三四象限，故错误，B 正确． 故选：B． 【类型2】反比例函数的性质 【例2】已知函数y¿{ −x+1( x＜2) −2 x ( x ≥2) ，当函数值为3 时，自变量x 的值为（ ） ．﹣2 B．−2 3 ．﹣2 或−2 3 D．﹣2 或−3 2 【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论． 【解析】若x＜2，当y＝3 时，﹣x+1＝3， 解得：x＝﹣2； 若x≥2，当y＝3 时，−2 x =¿3， 解得：x¿−2 3，不合题意舍去； ∴x＝﹣2， 故选：． 【变式21】已知正比例函数y＝k1x 和反比例函数y¿ k2 x ，在同一直角坐标系下的图象如图 所示，其中符合k1•k2＞0 的是（ ） ．①② B．①④ ．②③ D．③④ 【分析】根据各个小题中的函数图象，可以得到k1 和k2 的正负情况，从而可以判断 k1•k2的正负情况，从而可以解答本题． 【解析】①中k1＞0，k2＞0，故k1•k2＞0，故①符合题意； ②中k1＜0，k2＞0，故k1•k2＜0，故②不符合题意； ③中k1＞0，k2＜0，故k1•k2＜0，故③不符合题意； ④中k1＜0，k2＜0，故k1•k2＞0，故④符合题意； 故选：B． 【变式22】如果反比例函数y¿ a−2 x （是常数）的图象在第一、三象限，那么的取值范围 是（ ） ．＜0 B．＞0 ．＜2 D．＞2 【分析】反比例函数y¿ k x 图象在一、三象限，可得k＞0． 【解析】∵反比例函数y¿ a−2 x （是常数）的图象在第一、三象限， 2 ∴﹣＞0， ∴＞2． 故选：D． 【类型3】反比例函数的面积问题 【例3】如图，点B 在反比例函数y¿ 6 x （x＞0）的图象上，点在反比例函数y¿−2 x （x＞ 0）的图象上，且B∥y 轴，⊥B，垂足为点，交y 轴于点．则△B 的面积为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【分析】过B 点作B⊥y 轴于点，B 交x 轴于D，如图，利用反比例函数系数k 的几何意 义得到S 矩形D＝2，S 矩形DB＝6，则S 矩形B＝8，然后根据矩形的性质得到△B 的面积． 【解析】过B 点作B⊥y 轴于点，B 交x 轴于D，如图， ∵B∥y 轴，⊥B， ∴四边形D 和四边形DB 都是矩形， ∴S 矩形D＝| 2| ﹣ ＝2， S 矩形DB＝|6|＝6， ∴S 矩形B＝2+6＝8， ∴△B 的面积¿ 1 2S 矩形B＝4． 故选：B． 【变式31】如图，在平面直角坐标系中，直线y¿−3 2x+3 与x 轴、y 轴分别交于点和点B， 是线段B 上一点．过点作D⊥x 轴，垂足为D，E⊥y 轴，垂足为E，S△BE：S△D＝4：1，若 双曲线y¿ k x （x＞0）经过点，则k 的值为（ ） ．4 3 B．3 4 ．2 5 D．5 2 【分析】根据直线y¿−3 2x+3 可求出与x 轴、y 轴交点和点B 的坐标，即求出、B 的长， 再根据相似三角形可得对应边的比为1：2，设未知数，表示出长方形DE 的面积，即求 出k 的值． 【解析】∵直线y¿−3 2x+3 与x 轴、y 轴分别交于点和点B， ∴（2，0），B（0，3），即：＝2，B＝3； ∵S△BE：S△D＝4：1，又△BE∽△D， ∴EC DA = BE CD =2 1， 设E＝＝D，D＝b＝E，则D¿ 1 2，BE＝2b， 有，＝2＝+1 2 ，解得，¿ 4 3 ， B＝3＝3b，解得，b＝1， ∴k＝b¿ 4 3 ， 故选：． 【变式32】如图，平行于y 轴的直线分别交y¿ k1 x 与y¿ k2 x 的图象（部分）于点、B，点是y 轴上的动点，则△B 的面积为（ ） ．k1﹣k2 B．1 2（k1﹣k2） ．k2﹣k1 D．1 2（k2﹣k1） 【分析】B 的长是两个函数当自变量为x 时，因变量的差的绝对值，再根据三角形的面 积公式进行计算即可． 【解析】由题意可知，B¿ k1 x −k2 x ，B 边上的高为x， ∴S△B¿ 1 2 ×（k1 x −k2 x ）•x¿ 1 2（k1﹣k2）， 故选：B． 【类型4】反比例函数上点的特征 【例4】已知点（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y¿−3 x 的图象上，若y1＜y2＜0，则 下列结论正确的是（ ） ．x1＜x2＜0 B．x2＜x1＜0 ．0＜x1＜x2 D．0＜x2＜x1 【分析】反比例函数的系数为﹣3＜0，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大． 【解析】∵﹣3＜0， ∴图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大， 又∵y1＜y2＜0， ∴图象在第四象限， 0 ∴＜x1＜x2， 故选：． 【变式41】若（2，4）与B（﹣2，）都是反比例函数y¿ k x （k≠0）图象上的点，则的值是 （ ） ．4 B．﹣4 ．2 D．﹣2 【分析】反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k，据此可得 的值． 【解析】∵（2，4）与B（﹣2，）都是反比例函数y¿ k x （k≠0）图象上的点， ∴k＝2×4＝﹣2， ∴＝﹣4， 故选：B． 【变式42】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y¿ 4 3 x+4 的图象与x 轴、y 轴分别相交于 点B，点，以线段B 为边作正方形BD，且点在反比例函数y¿ k x （x＜0）的图象上，则k 的值为（ ） ．﹣12 B．﹣42 ．42 D．﹣21 【分析】过点作E⊥x 轴于E，证明△B≌△BE，可得点坐标，代入求解即可． 【解析】∵当x＝0 时，y＝0+4＝4， ∴（0，4）， ∴＝4； ∵当y＝0 时，0= 4 3 x+4， ∴x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）， ∴B＝3； 过点作E⊥x 轴于E， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠B＝90°，B＝B， ∵∠BE+∠B＝90°，∠B+∠B＝90°， ∴∠BE＝∠B． 在△B 和△BE 中， { ∠CBE=∠BAO ∠BEC=∠AOB BC=AB ， ∴△B≌△BE（S）， ∴BE＝＝4，E＝B＝3， ∴E＝3+4＝7， ∴点坐标为（﹣7，3）， ∵点在反比例函数y= k x ( x＜0)的图象上， ∴k＝﹣7×3＝﹣21． 故选：D． 【类型5】反比例函数与一次函数交点问题 【例5】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x 与反比例函数y¿ 4 x （x＞0）的图象交于点， 将直线y＝x 沿y 轴向上平移b 个单位长度，交y 轴于点B，交反比例函数图象于点．若 ＝2B，则b 的值为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【分析】解析式联立，解方程求得的横坐标，根据定义求得的横坐标，把横坐标代入反 比例函数的解析式求得的坐标，代入y＝x+b 即可求得b 的值． 【解析】∵直线y＝x 与反比例函数y¿ 4 x （x＞0）的图象交于点， ∴解x¿ 4 x 求得x＝±2， ∴的横坐标为2， ∵＝2B， ∴的横坐标为1， 把x＝1 代入y¿ 4 x 得，y＝4， ∴（1，4）， ∵将直线y＝x 沿y 轴向上平移b 个单位长度，得到直线y＝x+b， ∴把的坐标代入得4＝1+b，求得b＝3， 故选：． 【变式51】如图，函数y1＝x+1 与函数y2¿ 2 x 的图象相交于点M（1，m），（﹣2，）．若 y1＞y2，则x 的取值范围是（ ） ．x＜﹣2 或0＜x＜1 B．x＜﹣2 或x＞1 ．﹣2＜x＜0 或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0 或x＞1 【分析】观察函数y1＝x+1 与函数y2= 2 x 的图象，即可得出当y1＞y2时，相应的自变量x 的取值范围． 【解析】由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上 时，所对应的x 的取值范围为﹣2＜x＜0 或x＞1， 故选：D． 【类型6】反比例函数的实际问题 【例6】为了做好校疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和室进行药物喷洒消毒， 她完成3 间办公室和2 间室的药物喷洒要19m；完成2 间办公室和1 间室的药物喷洒要 11m． （1）校医完成一间办公室和一间室的药物喷洒各要多少时间？ （2）消毒药物在一间室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：m）的函 数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y 与x 的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y 与x 成反比例函数关系，两个函数图象的交点为（m，）．当室空气中的药物浓度不高 于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班室（共11 间）进行药物喷 洒消毒，当她把最后一间室药物喷洒完成后，一班学生能否进入室？请通过计算说明． 【分析】（1）设完成一间办公室和一间室的药物喷洒各要xm 和ym，则{ 3 x+2 y=19 2 x+ y=11 ， 即可求解； （2）点（5，10），则反比例函数表达式为y¿ 50 x ，当x＝55 时，y¿ 50 55 ＜1，即可求解． 【解析】（1）设完成一间办公室和一间室的药物喷洒各要xm 和ym， 则{ 3 x+2 y=19 2 x+ y=11 ，解得{ x=3 y=5， 故校医完成一间办公室和一间室的药物喷洒各要3m 和5m； （2）一间室的药物喷洒时间为5m，则11 个房间需要55m， 当x＝5 时，y＝2x＝10，故点（5，10）， 设反比例函数表达式为：y¿ k x ，将点的坐标代入上式并解得：k＝50， 故反比例函数表达式为y¿ 50 x ， 当x＝55 时，y¿ 50 55 ＜1， 故一班学生能安全进入室． 【变式61】南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首 期打通共有土石方总量为600 千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x 千立方米，总需 用时间y 天，且完成首期工程限定时间不超过600 天． （1）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多02 千立方米，工期比 原计划提前了100 天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？ 【分析】（1）利用xy＝600，进而得出y 与x 的函数关系，根据完成首期工程限定时间 不超过600 天，求出x 的取值范围； （2）利用实际平均每天挖掘土石方比原计划多02 千立方米，工期比原计划提前了100 天完成，得出分式方程，进而求出即可．（也可以设原计划每天挖掘土石方m 千立方米， 列分式方程，计算量比较小）． 【解析】（1）根据题意可得：y¿ 600 x ， ∵y≤600， ∴x≥1； （2）设实际挖掘了m 天才能完成首期工程，根据题意可得： 600 m − 600 m+100=¿02， 解得：m＝﹣600（舍）或500， 检验得：m＝500 是原方程的根， 答：实际挖掘了500 天才能完成首期工程． 【类型7】反比例函数与一次函数综合问题 【例7】如图，平行于y 轴的直尺（部分）与反比例函数y=m x （x＞0）的图象交于、两点， 与x 轴交于B、D 两点，连接，点、B 对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝ 2，B＝2．设直线的解析式为y＝kx+b． （1）请结合图象，直接写出： ①点的坐标是 （ 2 ， 3 ） ； ②不等式kx+b＞m x 的解集是 2 ＜ x ＜ 4 ； （2）求直线的解析式． 【分析】（1）①根据点、B