专题26.1 反比例函数【十大题型】（解析版）

专题261 反比例函数【十大题型】 【人版】 【题型1 反比例函数的定义】.................................................................................................................................1 【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】..............................................................................3 【题型3 反比例函数的性质】.................................................................................................................................5 【题型4 反比例函数的对称性】.............................................................................................................................7 【题型5 反比例函数中k 的几何意义（面积）】..................................................................................................9 【题型6 反比例函数系数k 的几何意义（规律题）】........................................................................................13 【题型7 反比例函数与一次函数的交点问题】...................................................................................................18 【题型8 待定系数法求反比例函数解析式】.......................................................................................................22 【题型9 反比例函数与一次函数、二次函数的图象】........................................................................................28 【题型10 反比例函数与几何图形综合】.............................................................................................................. 32 【知识点1 反比例函数的定义】 一般的，形如 的函数，叫做反比例函数。其中 是自变量， 是函数。 自变量 的取值范围是不等于0 的一切实数 【知识点2 反比例函数的解析式】 1、 ； 2、 ； 3、 【题型1 反比例函数的定义】 【例1】（2022•渭南模拟）已知函数是y=(n−2)x n 2−n−3+ 3 x 是反比例函数，则的值是 2 ． 【分析】此函数为反比例函数则可得（﹣2）x n 2−n−3为反比例函数，或者（﹣2）x n 2−n−3=¿0，由此可得出答． 【解答】解：①若（﹣2）x n 2−n−3=¿0，则＝2； ②若（﹣2）x n 2−n−3为反比例函数则﹣2≠0，2 3 ﹣﹣＝﹣1， 解得：＝﹣1，当＝﹣1 时，y¿−3 x + 3 x =¿0，不符合题意． 综上可得＝2． 故答为：＝2． 【变式1-1】（2022 春•高要市期中）反比例函数y=−2 5 x 中，比例系数k＝ −2 5 ． 【分析】由于反比例函数的比例系数即为k 的值，可直接求出． 【解答】解：反比例函数y=−2 5 x 中，比例系数k¿−2 5． 故答为：−2 5 ． 1 【变式1-2】（2022 秋•新泰市校级月考）下列函数，①x（y+2）＝1②y¿ 1 x+1③y¿ 1 x 2④y¿−1 2 x ⑤y¿−x 2⑥y¿ 1 3 x ；其中是y 关于x 的反比例函数的有： ④⑥ ． 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【解答】解：①x（y+2）＝1，可化为y¿ 1−2 x x ，不是反比例函数； ②y¿ 1 x+1，y 与（x+1）成反比例关系； ③y¿ 1 x 2 是y 关于x2的反比例函数； ④y¿−1 2 x 符合反比例函数的定义，是反比例函数； ⑤y¿−x 2是正比例函数； ⑥y¿ 1 3 x 符合反比例函数的定义，是反比例函数； 故答为：④⑥． 【变式1-3】（2022 春•高新区校级期末）若反比例函数y=(m+1)x 3−m 2 的图象在第二、四象限，m 的值为 ﹣ 2 ． 【分析】由反比例函数的定义可知3﹣m2＝﹣1，由反比例函数图象在第二、四象限可知m+1＜0． 【解答】解：∵y=(m+1)x 3−m 2 是反比例函数， 3 ∴﹣m2＝﹣1． 解得：m＝±2． ∵函数图象在第二、四象限， ∴m+1＜0，解得：m＜﹣1． ∴m＝﹣2． 故答为：﹣2． 【知识点3 反比例函数的图象与性质】 1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质： 1 【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】 【例2】（2022•巩义市模拟）如图为反比例函数y¿ k1 x ，y¿ k2 x ，y¿ k3 x 在同一坐标系的图象，则k1，k2，k3的大小关 系为（ ） ．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 ．k3＞k1＞k2 D．k3＞k2＞k1 【分析】先根据函数图象所在的象限判断出k1、k2、k3的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数 的取值． 【解答】解：由图知，y¿ k1 x 的图象在第二象限，y¿ k2 x ，y¿ k3 x 的图象在第一象限， ∴k1＜0，k2＞0，k3＞0， 又当x＝1 时，有k2＜k3， ∴k3＞k2＞k1． 故选：D． 【变式2-1】（2022•洪山区模拟）若点（x1，1）、B（x2，﹣2）、（x3，﹣3）在反比例函数y¿−k 2+1 x 的图象上， 则x1、x2、x3的大小关系是（ ） ．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 ．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3 【分析】依据反比例函数为y¿ k x （k＜0），可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而 增大，进而得到x1、x2、x3的大小关系． 函数 图象 所在象限 增减性 第一、三象限 在同一象限内， 随 的增大而减小 第二、四象限 在同一象限内， 随 的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 1 【解答】解：∵反比例函数为y＝y¿−k 2+1 x 中的﹣（k2+1）＜0， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大， 又∵（x1，1）、B（x2，﹣2）、（x3，﹣3） ∴x1＜0，点B、位于第四象限， ∴x2＞x3＞0． ∴x1＜x3＜x2 故选：B． 【变式2-2】（2022•温州校级开学）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y¿−3 x 上的三个点，且x1＜ x2＜x3，则以下判断正确的是（ ） ．若x1x2＞0，则y2y3＞0 B．若x1x3＞0，则y2y3＜0 ．若x1x3＜0，则y2y3＞0 D．若x1x2＜0，则y1y3＜0 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜x3，结合选项条件，则y1， y2，y3的大小关系即可． 【解答】解：∵反比例函数y¿−3 x 中k＝﹣3＜0， ∴函数图象在二、四象限， ∴在每一象限内y 随x 的增大而增大， 若x1x2＞0，x1＜x2＜0＜x3，则y2y3＜0，故不符合题意； 若x1x3＞0，则y2y3＞0，故B 不符合题意； 若x1x3＜0，x1＜x2＜0＜x3，则y2y3＜0，故不符合题意； 若x1x2＜0，则y1y3＜0，故D 符合题意． 故选：D． 【变式2-3】（2022 春•福山区期末）在反比例函数y=k 2+3 x （k 为常数）上有三点（x1，y1），B（x2，y2）， （x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） ．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 ．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 【分析】根据偶次方的非负性，得k2+3＞0，再根据反比例函数的图象的特点解决此题． 【解答】解：∵k2≥0， ∴k2+3＞0． ∴反比例函数y=k 2+3 x （k 为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，y 随着x 的增大而减小；在 第三象限内，y 随着x 的增大而减小． ∵x1＜0＜x2＜x3， ∴y1＜0，y2＞y3＞0，即y1＜y3＜y2． 故选：． 1 【题型3 反比例函数的性质】 【例3】（2022•大庆二模）正比例函数y＝﹣kx 经过（1，﹣6），则对于反比例函数y= k x ，下列结论不正确的是 （ ） ．图象经过第一、三象限 B．图象经过点（2，3） ．当x＞1 时，0＜y＜6 D．函数值y 随x 的增大而减小 【分析】先根据正比例函数y＝﹣kx 经过（1，﹣6），求出k 的值，再根据反比例函数的图象和性质进行判断 即可． 【解答】解：将（1，﹣6）代入y＝﹣kx， 得﹣k＝﹣6， 解得k＝6， ∴反比例函数解析式：y=6 x ， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， 故选项不符合题意； 当x＝2 时，代入反比例函数解析式，得y＝3， ∴图象经过点（2，3）， 故B 选项不符合题意； 当x＞1 时，反比例函数在第一象限随着x 增大而减小， 0 ∴＜y＜6， 故选项不符合题意， 在每一象限内，反比例函数y=6 x 随着x 增大而减小， 故D 选项符合题意， 故选：D． 【变式3-1】（2022•站前区校级一模）反比例函数y¿ a 2+1 x 的图象在（ ） ．第一、三象限 B．第一、二象限 ．第二、四象限 D．第三、四象限 【分析】判断反比例函数的比例系数的符号后即可确定正确的选项． 【解答】解：∵反比例函数y¿ a 2+1 x 中2+1＞0， ∴反比例函数y¿ a 2+1 x 的图象在一、三象限， 故选：． 1 【变式3-2】（2022 春•原阳县期中）已知反比例函数y¿ 3−2m x ，当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，则满足上述条 件的正整数m 有（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．无数个 【分析】根据函数增减性可得3 2 ﹣m＞0，解不等式求出m 的取值范围，然后取正整数，即可确定． 【解答】解：∵当x＜0 时，y 随x 的增大而减小， 3 2 ∴﹣m＞0， ∴m＜3 2， ∴正整数m 值为1， 故选：B． 【变式3-3】（2022•金华模拟）设函数y1¿ k x ，y2¿ −k x （k＞0），当1≤x≤3 时，函数y1的最大值为，函数y2的最小 值为﹣4，则＝ 2 ． 【分析】直接利用反比例函数的性质分别得出k 与的关系，进而得出答． 【解答】解：∵函数y1¿ k x （k＞0），当1≤x≤3 时，函数y1的最大值为， ∴x＝1 时，y＝k＝， ∵y2¿ −k x （k＞0），当1≤x≤3 时，函数y2的最小值为y＝﹣4， ∴当x＝1 时，y＝﹣k＝﹣4， ∴k＝4﹣， 故＝4﹣， 解得：＝2． 故答为：2． 【知识点4 反比例函数图象的对称性】 （1）中心对称，对称中心是坐标原点 （2）轴对称：对称轴为直线 和直线 【题型4 反比例函数的对称性】 【例4】（2022 秋•房县期末）如图，点P（﹣2，）是反比例函数y¿ k x 与⊙的一个交点，图中阴影部分的面积为 10π，则该反比例函数的表达式为（ ） 1 ．y¿−8 x B．y¿−12 x ．y¿−14 x D．y¿−16 x 【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积1 4 ，即可求得圆的半径， 再根据P 在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k 的值． 【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：1 4 πr2＝10π． 解得：r＝2❑ √10． ∵点P（﹣2，）是反比例函数y¿ k x （k＜0）与⊙的一个交点． 2 ∴﹣ 2＝k 且❑ √(−2a) 2+a 2=¿r． ∴2＝8． ∴k＝﹣2×8＝﹣16， 则反比例函数的解析式是：y¿−16 x ． 故选：D． 【变式4-1】（2022 秋•连平县校级月考）对于反比例函数y¿ 6 x 的图象的对称性叙述错误的是（ ） ．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x 对称 ．关于直线y＝﹣x 对称 D．关于x 轴对称 【分析】根据反比例函数图象的对称性判断即可． 【解答】解：反比例函数y¿ 6 x 的图象关于原点中心对称、关于直线y＝x 对称、关于直线y＝﹣x 对称， ∵它的图象在第一、三象限， ∴不关于x 轴对称， 、B、说法正确，不符合题意，D 说法错误，符合题意， 故选：D． 【变式4-2】（2022 春•金坛市校级期中）正比例函数y＝kx 与反比例函数y¿ k x 的图象相交于、B 两点，已知点的 横坐标为1，点B 的纵坐标为﹣3，则、B 两点的坐标分别为 （ 1 ， 3 ）、（﹣ 1 ，﹣ 3 ） ． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx 与反比例函数y¿ k x 的图象相交于、B 两点， ∴点、B 关于原点对称． 又∵点的横坐标为1，点B 的纵坐标为﹣3， ∴点的纵坐标是3，点B 的横坐标是﹣1． ∴（1，3），B（﹣1，﹣3）． 故答是：（1，3）、（﹣1，﹣3）． 【变式4-3】（2022 春•姑苏区校级期末）如图，直线L 与双曲线交于、两点，将直线L 绕点顺时针旋转α 度角 1 （0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D 两点，则四边形BD 形状一定是（ ） ．平行四边形 B．菱形 ．矩形 D．任意四边形 【分析】根据反比例函数的对称性，可得与，B 与D 的关系，可得答． 【解答】解：由反比例函数的对称性，得 ＝，B＝D， BD 是平行四边形， 故选：． 【知识点5 反比例函数比例系数k 的几何意义】 如图，在反比例函数 上任取一点 ，过这一点分别作 轴， 轴 的垂线 ， 与坐标轴围成的矩形 的面积 【题型5 反比例函数中k 的几何意义（面积）】 【例5 】 （2022 春• 邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xy 中，点，B 分别在函数y=6 x ( x＞0)， y= k x ( x＜0)的图象上，B∥x 轴，点是y 轴上一点，线段与x 轴正半轴交于点D．若△B 的面积为9，CD AD =1 2． 则k 的值为（ ） ．﹣9 B．3 ．﹣6 D．﹣3 【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义可得S 矩形ME＝6，再根据三角形的面积公式可得S△BD¿ 2 3S△B＝6¿ 1 2S 矩 形MB，进而求出S 矩形MB和S 矩形BE，由反比例函数系数k 的几何意义可求出k 的值． 【解答】解：如图，过点、点B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M、， 1 ∵点在反比例y¿ 6 x 的图象上， ∴S 矩形ME＝6， 又∵△B 的面积为9，CD AD =1 2． ∴S△BD¿ 2 1+2S△B¿ 2 3 ×9＝6¿ 1 2S 矩形MB， ∴S 矩形MB＝12， ∴S 矩形BE＝12 6 ﹣＝6＝|k|， 又∵k＜0， ∴k＝﹣6， 故选：． 【变式5-1】（2022 春•衢江区期末）如图，在反比例函数y= k x ( x＞0)的图象上有点P1，P2，P3，它们的横坐标 依次为1，3，6，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S1，S2．若S2＝3，则S1的值 为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【分析】由点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，得P1（1，k），P2（3，k 3 ），P3（6，k 6 ），由S2＝ 3，可求出k 的值，进而求出S1的值． 【解答】解：∵P1（1，k），P2（3，k 3 ），P3（6，k 6 ）， ∴S2＝3× k 6 =¿3， ∴k＝6， ∴S1＝1×（k−k 3 ）＝4． 1 故选：B． 【变式5-2】（2022 春•秦淮区期末）如图，点是函数y= 2 x 图象上的任意一点，点B、在反比例函数y= k x 的图象 上．若B∥x 轴，∥y 轴，阴影部分的面积为4，则k 的值是（ ） ．2 B．3 ．4 D．6 【分析】由反比例函数系数k 的几何意义可得S 阴影部分＝S 矩形BM＝4，利用反比例函数图象上点的坐标特征，设点 的横坐标为，用代数式表示M、M，列方程求解即可． 【解答】解：如图，延长交x 轴于点，过点B 作BM⊥x 轴，垂足为M， ∵S 阴影部分＝S△+S 矩形BM﹣S△BM，而S△＝S△BM¿ 1 2|k|， ∴S 阴影部分＝S 矩形BM＝4， 设＝， ∵点在反比例函数y¿ 2 x 的图象上， ∴¿ 2 a=¿BM， 又∵点B 在反比例函数y¿ k x 的图象上， ∴M¿ ak 2 ， ∴M¿ ak 2 −¿， 由S 阴影部分＝S 矩形BM＝4 得， （ak 2 −¿）× 2 a=¿4， 即k 2 ﹣＝4， ∴k＝6， 故选：D． 【变式5-3 】（2022• 费县二模）在平面直角坐标系xy 中，过点的直线B 分别交函数y=−1 x ( x＜0)， y= k x (k ＜0，x＞0)的图象于点，B，作⊥y 轴于点，作D∥B 交y= k x (k ＜0，x＞0)的图象于点D，连接 D．若△D 的面积为2，则k 的值等于（ ） ．﹣6 B．﹣8 ．﹣10 D．﹣12 1 【分析】先表示三角形D 面积，再求k． 【解答】解：设（m，−1 m ），则＝﹣m，¿−1 m， ∴（0，−1 m ）， ∵△D 的面积为2， ∴1 2•DM＝2，即即1 2 ×（−1 m ）•DM＝2， ∴DM＝﹣4m， ∴设D（﹣4m，−k 4 m）， 再设直线B：y＝x， 代入（m，−1 m ）得：−1 m =¿m． ∴¿−1 m 2． ∴直线B：y¿−1 m 2x，