专题26.1 反比例函数【十大题型】（原卷版）

专题261 反比例函数【十大题型】 【人版】 【题型1 反比例函数的定义】.................................................................................................................................1 【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】..............................................................................2 【题型3 反比例函数的性质】.................................................................................................................................3 【题型4 反比例函数的对称性】.............................................................................................................................3 【题型5 反比例函数中k 的几何意义（面积）】..................................................................................................5 【题型6 反比例函数系数k 的几何意义（规律题）】..........................................................................................6 【题型7 反比例函数与一次函数的交点问题】.....................................................................................................7 【题型8 待定系数法求反比例函数解析式】.........................................................................................................8 【题型9 反比例函数与一次函数、二次函数的图象】........................................................................................10 【题型10 反比例函数与几何图形综合】.............................................................................................................. 12 【知识点1 反比例函数的定义】 一般的，形如 的函数，叫做反比例函数。其中 是自变量， 是 函数。 自变量 的取值范围是不等于0 的一切实数 【知识点2 反比例函数的解析式】 1、 ； 2、 ； 3、 【题型1 反比例函数的定义】 【例1】（2022•渭南模拟）已知函数是y=(n−2)x n 2−n−3+ 3 x 是反比例函数，则的值是 ． 【变式1-1】（2022 春•高要市期中）反比例函数y=−2 5 x 中，比例系数k＝ ． 【变式1-2】（2022 秋•新泰市校级月考）下列函数，①x（y+2）＝1②y¿ 1 x+1③y¿ 1 x 2④y ¿−1 2 x ⑤y¿−x 2⑥y¿ 1 3 x ；其中是y 关于x 的反比例函数的有： ． 【变式1-3】（2022 春•高新区校级期末）若反比例函数y=(m+1)x 3−m 2 的图象在第二、四 象限，m 的值为 ． 1 【知识点3 反比例函数的图象与性质】 1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质： 【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】 【例2】（2022•巩义市模拟）如图为反比例函数y¿ k1 x ，y¿ k2 x ，y¿ k3 x 在同一坐标系的图象， 则k1，k2，k3的大小关系为（ ） ．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 ．k3＞k1＞k2 D．k3＞k2＞k1 【变式2-1】（2022•洪山区模拟）若点（x1，1）、B（x2，﹣2）、（x3，﹣3）在反比例函 数y¿−k 2+1 x 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ） ．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 ．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3 【变式2-2】（2022•温州校级开学）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y ¿−3 x 上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ） 函数 图象 所在象限 增减性 第一、三象限 在同一象限 内， 随 的增大而减 小 第二、四象限 在同一象限 内， 随 的增大而增 大 越大，函数图象越远离坐标原点 1 ．若x1x2＞0，则y2y3＞0 B．若x1x3＞0，则y2y3＜0 ．若x1x3＜0，则y2y3＞0 D．若x1x2＜0，则y1y3＜0 【变式2-3】（2022 春•福山区期末）在反比例函数y= k 2+3 x （k 为常数）上有三点（x1， y1），B（x2，y2），（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） ．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 ．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 【题型3 反比例函数的性质】 【例3】（2022•大庆二模）正比例函数y＝﹣kx 经过（1，﹣6），则对于反比例函数y= k x ， 下列结论不正确的是（ ） ．图象经过第一、三象限 B．图象经过点（2，3） ．当x＞1 时，0＜y＜6 D．函数值y 随x 的增大而减小 【变式3-1】（2022•站前区校级一模）反比例函数y¿ a 2+1 x 的图象在（ ） ．第一、三象限 B．第一、二象限 ．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式3-2】（2022 春•原阳县期中）已知反比例函数y¿ 3−2m x ，当x＜0 时，y 随x 的增 大而减小，则满足上述条件的正整数m 有（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．无数个 【变式3-3】（2022•金华模拟）设函数y1¿ k x ，y2¿ −k x （k＞0），当1≤x≤3 时，函数y1的最 大值为，函数y2的最小值为﹣4，则＝ ． 【知识点4 反比例函数图象的对称性】 （1）中心对称，对称中心是坐标原点 （2）轴对称：对称轴为直线 和直线 【题型4 反比例函数的对称性】 【例4】（2022 秋•房县期末）如图，点P（﹣2，）是反比例函数y¿ k x 与⊙的一个交点， 图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ） 1 ．y¿−8 x B．y¿−12 x ．y¿−14 x D．y¿−16 x 【变式4-1】（2022 秋•连平县校级月考）对于反比例函数y¿ 6 x 的图象的对称性叙述错误的 是（ ） ．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x 对称 ．关于直线y＝﹣x 对称 D．关于x 轴对称 【变式4-2】（2022 春•金坛市校级期中）正比例函数y＝kx 与反比例函数y¿ k x 的图象相交 于、B 两点，已知点的横坐标为1，点B 的纵坐标为﹣3，则、B 两点的坐标分别为 ． 【变式4-3】（2022 春•姑苏区校级期末）如图，直线L 与双曲线交于、两点，将直线L 绕 点顺时针旋转α 度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D 两点，则四边形BD 形状一定 是（ ） ．平行四边形 B．菱形 ．矩形 D．任意四边形 【知识点5 反比例函数比例系数k 的几何意义】 如图，在反比例函数 上任取一点 ，过这一点分别作 轴， 轴 的垂线 ， 与坐标轴围成的矩形 的面积 1 【题型5 反比例函数中k 的几何意义（面积）】 【例5】 （2022 春•邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xy 中，点，B 分别在函数 y=6 x ( x＞0)，y= k x ( x＜0)的图象上，B∥x 轴，点是y 轴上一点，线段与x 轴正半轴 交于点D．若△B 的面积为9，CD AD =1 2．则k 的值为（ ） ．﹣9 B．3 ．﹣6 D．﹣3 【变式5-1】（2022 春•衢江区期末）如图，在反比例函数y= k x ( x＞0)的图象上有点P1， P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线段．图中阴影 部分的面积记为S1，S2．若S2＝3，则S1的值为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【变式5-2】（2022 春•秦淮区期末）如图，点是函数y= 2 x 图象上的任意一点，点B、在反 比例函数y= k x 的图象上．若B∥x 轴，∥y 轴，阴影部分的面积为4，则k 的值是（ ） 1 ．2 B．3 ．4 D．6 【变式5-3】（2022•费县二模）在平面直角坐标系xy 中，过点的直线B 分别交函数 y=−1 x ( x＜0)，y= k x (k ＜0，x＞0)的图象于点，B，作⊥y 轴于点，作D∥B 交 y= k x (k ＜0，x＞0)的图象于点D，连接D．若△D 的面积为2，则k 的值等于（ ） ．﹣6 B．﹣8 ．﹣10 D．﹣12 【题型6 反比例函数系数k 的几何意义（规律题）】 【例6】（2022•湘潭县校级模拟）如图，△B11，△1B22，△2B33，…，△﹣1B，都是一边在x 轴 上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B 都在反比例函数y= ❑ √3 x （x＞0）的图象上，点 1，2，3，…，，都在x 轴上，则2022的坐标为 ． 【变式6-1】（2022•路南区二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1 的正方形P1B 的顶 点、B 分别在x 轴、y 轴上，点P1在反比例函数y= k x ( x＞0)的图象上，过P1的中点B1 作矩形B11P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P21的中点B2作矩形B212P3，使 顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得： （1）点P2的坐标为 ； 1 （2）作出矩形B181718P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为 ． 【变式6-2】（2022•通辽）如图，△1B1，△12B2，△23B3，…，△﹣1B 都是斜边在x 轴上的等腰 直角三角形，点1，2，3，…，都在x 轴上，点B1，B2，B3，…，B 都在反比例函数y¿ 1 x （x＞0）的图象上，则点B 的坐标为 ．（用含有正整数的式子表示） 【变式6-3】（2022 秋•宁津县期末）如图，△1B1，△12B2，△23B3…是分别以1，2，3…为直角 顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点1，2，3…均在反比 例函数y¿ 1 x （x＞0）的图象上，则点2021的坐标为 ． 【题型7 反比例函数与一次函数的交点问题】 【例7】（2022•龙湖区一模）如图，（4，3）是反比例函数y¿ k x 在第一象限图象上一点， 连接，过作B∥x 轴，截取B＝（B 在右侧），连接B，交反比例函数y¿ k x 的图象于点 P． （1）求反比例函数y¿ k x 的表达式； （2）求点B 的坐标及B 所在直线解析式； （3）求△P 的面积． 1 【变式7-1】（2022•路桥区一模）如图，直线y＝kx+b（k≠0）和双曲线y¿ a x （≠0）相交于 点，B，则关于x 的不等式kx+b＞a x 的解集是（ ） ．x＞05 B．﹣1＜x＜05 ．x＞05 或﹣1＜x＜0 D．x＜﹣1 或0＜x＜05 【变式7-2】（2022•兴化市二模）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+3b（b 为常数）与双 曲线y= k x （k≠0）交于点（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝6，则y1﹣y2 的值为（ ） ．﹣12 B．6 ．﹣6 D．12 【变式7-3】（2022 春•九龙坡区校级月考）如图所示，直线y＝k1x+b 与双曲线y¿ k2 x 交于、 B 两点，其中（2，1），点B 的纵坐标为﹣3，直线B 与x 轴交于点，与y 轴交于点D （0，﹣2）． （1）求直线B 和双曲线的解析式； （2）直线B 沿y 轴向上平移m 个单位长度，分别与双曲线交于E、F 两点，其中F 点坐 标是（1，2），求△BDE 的面积． 1 【题型8 待定系数法求反比例函数解析式】 【例8】（2022 秋•崂山区期末）如图，点（1，m），B（6，）在反比例函数图象上， D⊥y 轴于点D，B⊥y 轴于点，D＝5． （1）求m，的值并写出反比例函数的表达式； （2）连结B，在线段D 上是否存在一点P，使△PB 的面积等于10？若存在，求出P 点 坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】（2022 秋•包河区期末）如图，、B 两点在双曲线y¿ k x （x＞0）的图象上，已 知点A(1，4)，B( 5 2 ，m)，分别经过、B 两点向坐标轴作垂线段，得到三个矩形： 记阴影部分矩形面积为S，另两个矩形面积分别记为S1、S2． （1）求反比例函数解析式及m 的值； （2）求S1+S2的值． 【变式8-2】（2022 春•叙州区期中）已知反比例函数的图象经过三个点（﹣2，﹣3），B （2m，y1），（3m，y2），其中m＞0． （1）求反比例函数的关系式； （2）当y1﹣y2＝2 时，求m 的值： （3）如图，过点B、分别作x 轴、y 轴的垂线，两垂线相交于点D，点P 在x 轴上，若 △PBD 的面积是6，请求出点P 坐标（横坐标用含m 的式子表示）． 1 【变式8-3】（2022•商河县校级模拟）如图1，点（m，6），B（6，1）在反比例函数图象 上，作直线B，连接、B． （1）求反比例函数的表达式和m 的值； （2）求△B 的面积； （3）如图2，E 是线段B 上一点，作D⊥x 轴于点D，过点E 作x 轴的垂线，交反比例 函数图象于点F，若EF¿ 1 3D，求出点E 的坐标． 【题型9 反比例函数与一次函数、二次函数的图象】 【例9】（2022•广西）已知反比例函数y¿ b x （b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣ （≠0）和二次函数y＝x2+bx+（≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） 1 ． B． ． D． 【变式9-1】（2022 秋•湘阴县月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx 2 ﹣与反比 例函数y¿ k x （其中k≠0）的大致图象可能是（ ） ． B． ． D． 【变式9-2】（2022 秋•榆次区期末）在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2+b（≠0，b≠0） 与反比例函数y=ab x 的图象可能是（ ） ． B． ． D． 1 【变式9-3】（2022•贺兰县模拟）已知二次函数y¿−1 4 x2+bx+的图象如图，则一次函数y ¿−1 4 x 2 ﹣b 与反比例函数y¿ c x 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） ． B． ． D． 【题型10 反比例函数与几何图形综合】 【例10】（2022 春•上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形BD 的顶点，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，已知边D 的中点E 在y 轴上，且∠D＝30°，D＝4，若反比例函数 y= k x （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k 的值为（ ） ．8 ❑ √3 B．8 ．6 D．6 ❑ √3 【变式10-1】（2022•安顺模拟）如图，点是反比例函数y¿ 6 x 在第一象限内的图象上的一个 动点，连接并延长交反比例函数的图象于另一点B，以B 为斜边作等腰直角三角形B， 1 且点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运 动，这个函数的解析式为（ ） ．y¿−1 3x B．y¿−3 x ．y¿−1 6 x D．y¿−6 x 【变式10-2】（2022•虞城县三模）如图，平行四边形B 中，点为原点，点在x 轴正半轴上， 反比例函数y= k x 的图象经过顶点，且经过对角线B 上一点D，若点D 的坐标为（4， 2），平行四边形B 的面积为56 9 ，则顶点B 的坐标为（ ） ．（5，3） B．( 16 3 ，8 3 ) ．(5，10 3 ) D．( 18 3 ，10 3 ) 【变式10-3】（2022 春•北碚区校级期末）如图，直线B 的解析式为y＝﹣2x+2，点E 为正 方形BD 中D 边的五等分点，且E¿ 1 5D，双曲线y¿ k x （k≠0，x 0 ⟩）的图象过点E，则k 为（ ） 1 ．121 25 B．124 25 ．132 25 D．143 25 1