62 反比例函数中的不等式问题

反比例函数中的不等式问题 1、如图，直线y1＝k1x+b 与双曲线y2＝ 在第一象限内交于、B 两点，已知（1，m），B（2，1）． （1）k1＝ ，k2＝ ，b＝ ． （2）直接写出不等式y2＞y1的解集； （3）设点P 是线段B 上的一个动点，过点P 作PD⊥x 轴于点D，E 是y 轴上一点，求△PED 的面积S 的 最大值． 解：（1）∵（1，m），B（2，1）在双曲线y2＝ 上， ∴k2＝m＝2×1＝2， ∴（1，2）， 则 ，解得： ， ∴k1＝﹣1，k2＝2，b＝3； 故答为：﹣1，2，3； （2）由图象得：不等式y2＞y1的解集是：0＜x＜1 或x＞2； （3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2， ∵PD＝﹣x+3，D＝x， 则 ， ∵ ， ∴当 时，S 有最大值，最大值为 ． 2、如图，在平面直角坐标系xy 中，函数y＝﹣x+5 的图象与函数y＝ （k＜0）的图象相交于点，并与x 轴交于点，S△＝15．点D 是线段上一点，D：＝2：3． （1）求k 的值； （2）根据图象，直接写出当x＜0 时不等式 ＞﹣x+5 的解集； （3）求△D 的面积． 解：（1）y＝﹣x+5， 当y＝0 时，x＝5， 即＝5，点的坐标是（5，0）， 过作M⊥x 轴于M， ∵S△＝15， ∴ ＝15， 解得：M＝6， 即点的纵坐标是6， 把y＝6 代入y＝﹣x+5 得：x＝﹣1， 即点的坐标是（﹣1，6）， 把点的坐标代入y＝ 得：k＝﹣6； （2）当x＜0 时不等式 ＞﹣x+5 的解集是﹣1＜x＜0； （3）∵D：＝2：3，S△＝15， ∴△D 的面积＝ S△＝ ＝5． 3、如图①，直线y＝﹣ x+b 与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于（2，6），B（，3）两点，B∥x 轴 （点在点B 的右侧），且B＝m，连接，过点作D⊥x 轴于点D，交反比例函数图象于点E． （1）求b 的值和反比例函数的解析式； （2）填空：不等式﹣ x+b＞ 的解为 ； （3）当平分∠BD 时，求 的值； （4）如图②，取B 中点F，连接DF，F，BD，当四边形BDF 为平行四边形时，求点F 的坐标． （1）将（2，6）代入y＝﹣ x+b 得，﹣3+b＝6， 解得：b＝9， 将（2，6）代入y＝ 得，k＝12， ∴反比例函数的解析式为：y＝ ； （2）当y＝3 时，3＝ ， 解得：x＝4， ∴B（4，3）， 由图象可知不等式﹣ x+b＞ 的解为：2＜x＜4， 故答为：2＜x＜4； （3）将B（，3）代入y＝ 得， ＝3， 解得：＝4， ∵平分∠BD， ∴∠B＝∠D， ∵B∥x 轴， ∴∠B＝∠D， ∴∠B＝∠B， ∴B＝B， ∵B（4，3）， ∴B＝B＝5， ∴（9，3）， ∴E（9， ），D（9，0）， ∴DE＝ ，E＝3﹣ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ； （4）作⊥B 于，则（2，3）， ∴＝3，B＝2， ∵四边形BDF 为平行四边形， ∴B∥DF，B＝DF， ∴∠FD＝∠BQ， ∵∠B＝∠DF＝90°，∠B＝∠BQ， ∴∠FD＝∠B， ∴△B≌△DF（S）， ∴F＝B＝2， ∵F 是B 中点， ∴BF＝F＝ B＝2， ∵B（4，3）， ∴F（6，3）． 4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 的图象相 交于第一、三象限内的（3，5），B（，﹣3）两点，与x 轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出当y1＞y2时，x 的取值范围； （3）在y 轴上找一点P 使PB﹣P 最大，求PB﹣P 的最大值及点P 的坐标． 解：（1）把（3，5）代入 ，可得m＝3×5＝15， ∴反比例函数的解析式为 ； 把点B（，﹣3）代入 ，可得＝﹣5， ∴B（﹣5，﹣3）． 把（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝x+b，可得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为y1＝x+2； （2）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0 或x＞3． （3）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2， ∴一次函数与y 轴的交点为P（0，2）， 此时，PB﹣P＝B 最大，P 即为所求， 令y＝0，则x＝﹣2， ∴（﹣2，0）， ∴ ． 5、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板B 放在第二象限，点坐标为（﹣1，0），点坐标 为（0，2）．一次函数y＝kx+b 的图象经过点B、，反比例函数y＝ 的图象经过点B． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）直接写出当x＜0 时，kx+b﹣ ＜0 的解集； （3）在x 轴上找一点M，使得M+BM 的值最小，直接写出点M 的坐标和M+BM 的最小值． 解：（1）过点B 作BF⊥x 轴于点F， ∵点坐标为（﹣1，0），点坐标为（0，2）． ∴＝2，＝1， ∵∠B＝90°， ∴∠BF+∠＝90°， 又∵∠+∠＝90°， ∴∠BF＝∠， 在△和△FB 中 ∴△△ ≌FB（S）， ∴F＝＝2，BF＝＝1， ∴点B 的坐标为（﹣3，1）， 将点B 的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝ ， 解得：k＝﹣3， 故可得反比例函数解析式为y＝﹣ ； 将点B、的坐标代入一次函数解析式可得： ， 解得： ． 故可得一次函数解析式为y＝﹣ x﹣ ． （2）结合点B 的坐标及图象，可得当x＜0 时，kx+b﹣ ＜0 的解集为：﹣3＜x＜0； （3）作点关于x 轴的对称点′，连接 B ′与x 轴 的交点即为点M， ∵（0，2）， ′ ∴（0，﹣2）， 设直线B′的解析式为y＝x+b，将点′及点B 的坐标代入可得： ， 解得： ． 故直线B′的解析式为y＝﹣x 2 ﹣， 令y＝0，可得﹣x 2 ﹣＝0， 解得：x＝﹣2， 故点M 的坐标为（﹣2，0）， M+BM＝BM+M′＝B′＝ ＝3 ． 综上可得：点M 的坐标为（﹣2，0），M+BM 的最小值为3 ． 6、如图，单位长度为1 的格坐标系中，一次函数y＝kx+b 与坐标轴交于、B 两点，反比例函数y＝ （x＞ 0）经过一次函数上一点 （2，）． （1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图象； （2）依据图象直接写出当x＞0 时不等式kx+b＞ 的解集； （3）若反比例函数y＝ 与一次函数y＝kx+b 交于、D 两点，使用直尺与2B 铅笔构造以、D 为顶点的 矩形，且使得矩形的面积为10． 解：（1）∵一次函数y＝kx+b 过点（0，4），点B（8，0）， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数解析式为：y＝﹣ x+4； ∵点在一次函数图象上， ∴＝﹣ ×2+4＝3， ∵反比例函数y＝ （x＞0）经过点 （2，3）， ∴m＝6， ∴反比例函数解析式为：y＝ ， 图象如图所示： （2）∵反比例函数y＝ 与一次函数y＝﹣ x+4 交于、D 两点， ∴ ＝﹣ x+4， ∴x1＝2，x2＝6， ∴点D（6，1）， 由图象可得：当2＜x＜6 时，y＝kx+b 的图象在y＝ 图象的上方， ∴不等式kx+b＞ 的解集为2＜x＜6； （3）如图，若以D 为边，则矩形BD，矩形'B'D 为所求， 若以D 为对角线，则矩形DEDF 为所求． 7、如图，已知反比例函数y1＝ 的图象与一次函数y2＝k2x+b 的图象在第一象限交于（1，3），B（3， m）两点，一次函数的图象与x 轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x 为何值时，y2＞0？ （3）已知点P（0，）（＞0），过点P 作x 轴的平行线，在第一象限内交一次函数y2＝k2x+b 的图象于 点M，交反比例函数y1＝ 的图象于点．结合函数图象直接写出当PM＞P 时的取值范围． 解：（1）∵反比例函数 的图象过点（1，3）， ∴ ， ∴k1＝3， ∴反比例函数表达式为： ； ∵点B（3，m）在函数 的图象上， ∴ ， ∴B（3，1）． ∵一次函数y2＝k2x+b 的图象过点（1，3），B（3，1）， ∴ ， 解得 ， ∴一次函数的表达式为：y2＝﹣x +4； ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为 ，y2＝﹣x+4． （2）∵当y2＝0 时，﹣x+4＝0，x＝4， ∴（4，0）， 由图象可知，当x＜4 时，y2＞0． （3）如图， 由图象可得，当1＜＜3 时，PM＞P． 8、对于平面直角坐标系xy 中的任意点P（ x，y），如果满足x+y＝（x≥0，为常数），那么我们称这样的 点叫做“特征点”． （1）当2≤≤3 时， ①在点（1，2），B（1，3），（25，0）中，满足此条件的特征点为 ； ②⊙的圆心为（m，0），半径为1，如果⊙上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出 m 的取值范围； （2）已知函数Z＝ +x（x＞0），请利用特征点求出该函数的最小值． 解：（1）①∵1+2＝3，1+3＝4，25+0＝25， 又∵2≤≤3， ∴，是特征点． 故答为：，． ②如图2 中， 当⊙1与直线y＝﹣x+2 相切时，1（2﹣ ，0）， 当⊙2与直线y＝﹣3 相切时，2（3+ ，0）， 观察图象可知满足条件的m 取值范围为：2﹣ ≤m≤3+ ． （2）∵x＞0， ∴y＝ 的图象在第一象限，这个图象上的点的坐标为（x， ）， ∵特征点满足x+y＝（x≥0，为常数）， ∴x+ ＝，特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，x+ 的值最小 （如图3 中）， 此时交点的坐标为（1，1）， ∴Z＝x+ 的值最小，最小值为2． 9、如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝ （k＜0）的图象交于、B 两点，点在第二象限， 且点的横坐标为﹣1，点D 在x 轴负半轴上，连接D 交反比例函数图象于另一点E，为∠BD 的平分线， 过点B 作的垂线，垂足为，连接E，若D＝2DE，△E 的面积为 ． （1）根据图象回答：当x 取何值时，y1＜y2； （2）求△D 的面积； （3）若点P 的坐标为（m，k），在y 轴的轴上是否存在一点M，使得△MP 是直角三角形，若存在，请 直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝ （k＜0）的图象交于、B 两点，且点的横坐标为﹣1， ∴点，点B 关于原点对称， ∴点B 的横坐标为1， ∴当x 取﹣1＜x＜0 或x＞1 时，y1＜y2； （2）连接，E， 由图象知，点，点B 关于原点对称， ∴＝B， ∵⊥B， ∴∠B＝90°， ∴＝ B＝， ∴∠＝∠， ∵为∠BD 的平分线， ∴∠＝∠D， ∴∠＝∠D， ∴D∥， ∴S△E＝S△E＝ ， ∵D＝2DE， ∴E＝DE， ∴S△D＝2S△E＝3； （3）作EF⊥x 轴于F，作⊥x 轴于， 则EF∥， ∵D＝2DE， ∴DE＝E， ∵EF∥， ∴ ＝ ＝1， ∴DF＝F， ∴EF 是△D 的中位线， ∴EF＝ ， ∵S△EF＝S△＝﹣ ， ∴F•EF＝•， ∴＝ F， ∴＝F， ∴DF＝F＝＝ D， ∴S△＝ S△D＝ 3＝1， ∴﹣ ＝1， ∴k＝﹣2， ∴y＝﹣ ， ∵点在y＝﹣ 的图象上， ∴把x＝﹣1 代入得，y＝2， ∴（﹣1，2）， ∵点在直线y＝mx 上， ∴m＝﹣2， ∴P（﹣2，﹣2）， 在y 轴上找到一点M，使得△MP 是直角三角形， 当∠MP＝90°时，PM⊥y 轴， 则M＝2， ∴点M 的坐标为（0．﹣2）； 当∠PM＝90°时，过P 作PG⊥y 轴于G，则△PM 是等腰直角三角形， ∴M＝2PG＝4， ∴点M 的坐标为（0．﹣4）； 综上所述，点M 的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）． 10、如图①，在矩形B 中，＝4，＝3，分别以、所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的坐标系，连接 B，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过线段B 的中点D，并与矩形的两边交于点E 和点F，直线l：y ＝kx+b 经过点E 和点F． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接E、F，求△EF 的面积； （3）在第一象限内，请直接写出关于x 的不等式kx+b≤ 的解集： ． （4）如图②，将线段B 绕点顺时针旋转一定角度，使得点B 的对应点恰好落在x 轴的正半轴上，连接 B，作M⊥B，点为线段M 上的一个动点，求+ 的最小值． 解：（1）在矩形B 中，∵＝B＝4，＝B＝3， ∴B（3，4）， ∵D＝DB， ∴D（ ，2）， ∵y＝ 经过D（ ，2）， ∴k＝3， ∴反比例函数的解析式为y＝ ． （2）如图①中，连接E，F． 由题意E（ ，4），F（3，1）， ∴S△EF＝S 矩形B﹣S△E﹣S△F﹣S△EFB＝12﹣ ×4× ﹣ ×3×1﹣ ×3×（3﹣ ）＝ ． （3）观察图象可知：在第一象限内，关于x 的不等式kx+b≤ 的解集为：0＜x＜ 或x＞3． 故答为：0＜x＜ 或x＞3． （4）如图②中，作⊥BD 于．K⊥BD 于K． 由题意B＝＝5， ∴＝﹣＝5 3 ﹣＝2， ∴B＝ ＝ ＝2 ， s ∴∠B＝ ＝ ， ∵M⊥B， ∴∠M＝∠B＝90°， ∵∠M+∠M＝90°，∠B+∠B＝90°， ∴∠M＝∠B， ∵B＝，M⊥B， ∴∠MB＝∠M＝∠B， s ∴∠D＝ ， ∴＝•s∠D＝ ， + ∴ ＝+， 根据垂线段最短可知，当，，共线，且与K 重合时，+ 的值最小，最小值＝K 的长， ∵B＝，B⊥，K⊥B， ∴K＝B＝4， + ∴ 是最小值为4． 11、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板B 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点坐标为 （﹣1，0），t∠＝2．一次函数y＝kx+b 的图象经过点B、，反比例函数y＝ 的图象经过点B． （1）一次函数关系式为 、反比例函数的关系式为 ； （2）当x＜0 时，kx+b﹣ ＜0 的解集为 ； （3）在x 轴上找一点M，使得M+BM 的值最小，并求M 的坐标和M+BM 的最小值． （4）若x 轴上有两点E、F，点E 在点F 的左边，且EF＝1．当四边形BEF 周长最小时，请直接写出点 E 的横坐标为 ． 解：（1）如图1 中，过点B 作BF⊥x 轴于点F， ∵点坐标为（﹣1，0）， ∴＝1， t ∵∠＝2＝ ， ∴＝2， 点坐标为（0，2）． ∴＝2，＝1， ∵∠B＝90°， ∴∠BF+∠＝90°， 又∵∠+∠＝90°， ∴∠BF＝∠， ∴△△ ≌FB（S）， ∴F＝＝2，BF＝＝1， ∴点B 的坐标为（﹣3，1）， 将点B 的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝ ， 解得：m＝﹣3， 故可得反比例函数解析式为y＝﹣ ， 将点B、的坐标代入一次函数解析式可得： ， 解得： ． 故可得一次函数解析式为y＝﹣ x﹣ ． 故答为：y＝﹣ x﹣ ，y＝﹣ ． （2）结合点B 的坐标及图象，可得当x＜0 时，kx+b﹣ ＜0 的解集为：﹣3＜x＜0． 故答为：﹣3＜x＜0． （3）如图2 中，作点关于x 轴的对称点′，连接 B ′与x 轴 的交点即为点M， 设直线B'的解析式为y＝x+b，将点'及点B 的坐标代入可得： ，解得： ， 故直线B'的解析式为y＝﹣x 2 ﹣， 令y＝0，可得﹣x 2 ﹣＝0，解得：x＝﹣2，故点M 的坐标为（﹣2，0）， M+BM＝BM+M′＝B′＝ ＝3 ， 综上可得：点M 的坐标为（﹣2，0），M+BM 的最小值为3 ． （4）如图3 中，把B 向右平移1 个单位得到B′（﹣2，1），作点关于x 轴的对称点′（0，﹣2），连 接′B′交x 轴于点F， ∵直线′B′的解析式为y＝﹣ x 2 ﹣， ∴F（﹣ ，0）， ∴F＝ ∴E＝1+ ＝ ∴点E 的横坐标为﹣ ， 故答为﹣ ．