专题65 反比例函数背景下的面积问题（解析版）

一、反比例函数 的几何意义 1 反比例函数 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂 线与坐标轴所围成矩形的面积为 。如图二，所围成三角形的面积为 O y x B A A B x y O 二、利用k 的几何意义进行面积转化 1 如图，直线 与反比例函数 （ ）交于 、 两点，与 、 轴的交点分别为 、 ， 那么 ，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲， 就比较低 2 如图，过点 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，则根据 的几何意义可得， ， 模型介绍 而 ，所以 ，此方法的好处，在于方便，快捷， 不易出错。 y x A B O C D y x D C F E O B A 【例1】．如图，反比例函数y＝ 在第一象限的图象上有两点，B，它们的横坐标分别是 2，6，则△B 的面积是 8 ． 解：如图所示： 过点作⊥y 轴于点，过点B 作BD⊥x 轴于点D， ∵反比例函数y＝ 在第一象限的图象上有两点，B，它们的横坐标分别是2，6， ∴x＝2 时，y＝3；x＝6 时，y＝1， 故S△＝S△BD＝3， S 四边形DB＝ ×（3+1）×4+3＝11， 故△B 的面积是：11 3 ﹣＝8． 故答为：8． 例题精讲 变式训练 【变1-1】．如图，点在反比例函数 （x＞0）的图象上，点B 在x 轴负半轴上，直线 B 交y 轴于点，若 ，△B 的面积为12，则k 的值为（ ） ．4 B．6 ．10 D．12 解：如图，过点作D⊥x 轴，垂足为D， ∵∥D， ， ∴ ， ∴ ，k＞0， ∴k＝12， 故选：D． 【变1-2】．如图，反比例函数y＝ （k＞0）的图象与矩形B 的两边相交于E，F 两点， 若E 是B 的中点，S△BEF＝4，则k 的值为 16 ． 解：设E（， ），则B 纵坐标也为 ， ∵E 是B 中点， ∴F 点坐标为（2， ）， ∴BF＝B﹣F＝ ﹣ ＝ ， ∵S△BEF＝4， ∴ • ＝4， ∴k＝16． 故答是：16． 【例2】．如图，平面直角坐标系中，菱形BD 在第一象限内，边B 与x 轴平行，，B 两点 的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过，B 两点，若菱形BD 的 面积为2 ，则k 的值为 12 ． 解：解法一：过点作x 轴的垂线，交B 的延长线于点E， ∵B∥x 轴， ∴E⊥B， ∵，B 两点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4， ∴（ ，6），B（ ，4）， ∴E＝2，BE＝ ﹣ ＝ ， ∵菱形BD 的面积为2 ， ∴B×E＝2 ，即B＝ ， ∴B＝B＝ ， 在Rt△EB 中，BE＝ ＝ ＝1， ∴ k＝1， ∴k＝12． 解法二：同理知：BE＝1， 设（，6），则B（+1，4）， 6 ∴＝4（+1）， ∴＝2， ∴k＝2×6＝12． 故答为12． 变式训练 【变2-1】．如图，点、B 在反比例函数y＝ 的图象上，、B 的纵坐标分别是3 和6，连 接、B，则△B 的面积是（ ） ．9 B．8 ．7 D．6 解：∵点、B 在反比例函数y＝ 的图象上，、B 的纵坐标分别是3 和6， ∴（4，3），B（2，6）， 作D⊥y 轴于D，BE⊥y 轴于E， ∴S△D＝S△BE＝ ×12＝6， ∵S△B＝S△D+S 梯形BED﹣S△BE＝S 梯形BED， ∴S△B＝ （4+2）×（6 3 ﹣）＝9， 故选：． 【变2-2】．如图，在直角坐标系中，为坐标原点，函数y＝ 与y＝ （＞b＞0）在第一 象限的图象分别为曲线1，2，点P 为曲线1上的任意一点，过点P 作y 轴的垂线交2于点， 作x 轴的垂线交2于点B，则阴影部分的面积S△B＝ ﹣ ．（结果用，b 表示） 解：设B（m， ），（ ，），则P（m，）， ∵点P 为曲线1上的任意一点， ∴m＝， ∴阴影部分的面积S△B＝m﹣ b﹣ b﹣ （m﹣ ）（﹣ ） ＝m﹣b﹣ （m﹣b﹣b+ ） ＝m﹣b﹣ m+b﹣ ＝ ﹣ ． 故答为： ﹣ ． 1．如图，在△B 中，B＝，点在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，点B，在x 轴 上，＝ B，延长交y 轴于点D，连接BD，若△BD 的面积等于1，则k 的值为（ ） ．3 B．2 ． D．4 解：作E⊥B 于E，连接， ∵B＝， ∴E＝BE， ∵＝ B， ∴＝ B＝ ×2E＝ E， ∵E∥D， ∴△D∽△E， ∴ ＝（ ）2＝4， ∵△BD 的面积等于1，＝ B， ∴S△D＝ S△BD＝ ， ∴S△E＝4× ＝1， ∵＝ E， ∴S△＝ S△E＝ ， ∴S△E＝ +1＝ ， ∵S△E＝ k（k＞0）， ∴k＝3， 故选：． 2．如图，交双曲线y＝ 于点，且：＝5：3，若矩形BD 的面积是8，且B∥x 轴，则k 的值 是（ ） ．18 B．50 ．12 D． 解：延长D、交x 轴于E， ∵四边形BD 是矩形，且B∥x 轴， ∴∠B＝∠E， ∴DE⊥x 轴，B⊥x 轴， ∴∠E＝∠B ∴△E∽△B， ∴ ＝（ ）2， ∵矩形BD 的面积是8，：＝5：3， ∴△B 的面积为4，：＝2：3， ∴ ＝（ ）2＝ ， ∴S△E＝9， ∵双曲线y＝ 经过点， ∴S△E＝ |k|＝9， ∵k＞0， ∴k＝18， 故选：． 3．如图，已知点，B 分别在反比例函数y1＝﹣ 和y2＝ 的图象上，若点是线段B 的中点， 则k 的值为（ ） ．﹣8 B．8 ．﹣2 D．﹣4 解：设（，b），则B（2，2b）， ∵点在反比例函数y1＝﹣ 的图象上， ∴b＝﹣2； ∵B 点在反比例函数y2＝ 的图象上， ∴k＝2•2b＝4b＝﹣8． 故选：． 4．如图，点（m，），B（4， ）在双曲线y＝ 上，且0＜m＜．若△B 的面积为 ，则 m+＝（ ） ．7 B． ． D．3 解：∵点（m，），B（4， ）在双曲线y＝ 上， ∴m＝4× ＝k， ∴m＝k＝6， ∴双曲线为y＝ ， ∴＝ ， 作D⊥x 轴于D，BE⊥x 轴于E， ∵S△B＝S△D+S 梯形DEB﹣S△BE＝S 梯形DEB， ∴ （ + ）（4﹣m）＝ ， 解得m1＝1，m2＝﹣16， 0 ∵＜m＜． ∴m＝1， ∴＝6， ∴m+＝7， 故选：． 5．如图，点，B 是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的两点，过点，B 分别作⊥x 轴于点， BD⊥x 轴于点D，连接、B，已知点（2，0），BD＝3，S△BD＝3，则S△为（ ） ．2 B．3 ．4 D．6 解：在Rt△BD 中， ∵ ×D×BD＝3， ∴ ×D×3＝3， ∴D＝2， ∵（2，0）， ∴＝2， ∴D＝4， ∴B（4，3）， ∵点B 是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的点， ∴k＝12， ∵⊥x 轴， ∴S△＝ ＝6， 故选：D． 6．如图，平行于y 轴的直线分别交y＝ 与y＝ 的图象（部分）于点、B，点是y 轴上 的动点，则△B 的面积为（ ） ．k1﹣k2 B． （k1﹣k2） ．k2﹣k1 D． （k2﹣k1） 解：由题意可知，B＝ ﹣ ，B 边上的高为x， ∴S△B＝ ×（ ﹣ ）•x＝ （k1﹣k2）， 故选：B． 7．已知四边形B 是矩形，边在x 轴上，边在y 轴上，双曲线y＝ 与边B 交于点D、与对 角线B 交于中点E，若△BD 的面积为10，则k 的值是（ ） ．10 B．5 ． D． 解：设E 点的坐标是（x，y）， ∵E 是B 的中点， ∴B 点的坐标是（2x，2y）， 则D 点的坐标是（ ，2y）， ∵△BD 的面积为10， ∴ ×（2x﹣ ）×2y＝10， 解得，k＝ ， 故选：D． 8．如图，在以为原点的直角坐标系中，矩形B 的两边、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反 比例函数 （x＞0）与B 相交于点D，与B 相交于点E，若BD＝3D，且△DE 的面积 是12，则k＝（ ） ．6 B．9 ． D． 解：∵四边形B 是矩形， ∴B＝，＝B， 设B 点的坐标为（，b）， ∵BD＝3D， ∴D（ ，b） ∵D、E 在反比例函数的图象上， ∴ ＝k， 设E 的坐标为（，y）， ∴y＝k ∴E（， ）， ∵S△DE＝S 矩形B﹣S△D﹣S△E﹣S△BDE＝b﹣ k﹣ k﹣ • •（b﹣ ）＝12， 4 ∴k﹣k﹣ + ＝12 k＝ 故选：D． 9．如图，一直线经过原点，且与反比例函数y＝ （k＞0）相交于点、点B，过点作⊥y 轴， 垂足为，连接B．若△B 面积为8，则k＝ 8 ． 解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于、B 两点， ∴、B 两点关于原点对称， ∴＝B， ∴△B 的面积＝△的面积＝8÷2＝4， 又∵是反比例函数y＝ 图象上的点，且⊥y 轴于点， ∴△的面积＝ |k|， ∴ |k|＝4， ∵k＞0， ∴k＝8． 故答为8． 10．如图，若反比例函数y＝ 的图象经过等边三角形PQ 的顶点P，则△PQ 的边长为 2 ． 解：如图，过点P 作x 轴的垂线于M， ∵△PQ 为等边三角形， ∴P＝Q，M＝QM＝ Q， ∵反比例函数的图象经过点P， ∴设P（， ）（＞0）， 则M＝，Q＝P＝2，PM＝ ， 在Rt△PM 中， PM＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴＝1（负值舍去）， ∴Q＝2＝2， 故答为：2． 11．如图，（4，3）是反比例函数y＝ 在第一象限图象上一点，连接，过作B∥x 轴，截取 B＝（B 在右侧），连接B，交反比例函数y＝ 的图象于点P．则△P 的面积为 5 ． 解：过P 作M⊥x 轴于M，交B 于，过作D⊥x 轴于D， ∵（4，3）， ∴D＝3，D＝4， ∴＝ ＝5， ∵B＝， ∴B＝5， ∵B∥x 轴， 点B 的横坐标是4+5＝9，纵坐标是3， 即点B 的坐标是（9，3）， 设直线B 的解析式是y＝x， 把B 点的坐标（9，3）代入得：3＝9， 解得：＝ ， 即y＝ x， ∵B∥x 轴， ∴M⊥B， 把（4，3）代入y＝ ，得k＝12， 即y＝ ， 解方程组 得： 或 ， ∵点P 在第一象限， ∴点P 的坐标是（6，2）， ∵（4，3），B∥x 轴，P（6，2）， ∴M＝D＝3，P＝3 2 ﹣＝1， ∴△P 的面积是S△B﹣S△PB＝ 3﹣ ＝5， 故答为：5． 12．如图，直线y＝x+m 与双曲线y＝ 相交于，B 两点，B∥x 轴，∥y 轴，则△B 面积的最小 值为 6 ． 解：方法一： 设（， ），B（b， ），则（， ）． 将y＝x+m 代入y＝ ，得x+m＝ ， 整理，得x2+mx 3 ﹣＝0， 则+b＝﹣m，b＝﹣3， ∴（﹣b）2＝（+b）2 4 ﹣b＝m2+12． ∵S△B＝ •B ＝ （ ﹣ ）（﹣b） ＝ • •（﹣b） ＝ （﹣b）2 ＝ （m2+12） ＝ m2+6， ∴当m＝0 时，△B 的面积有最小值6． 故答为6． 方法二： 因为y＝x+m 斜率为1，且B∥x 轴，∥y 轴， ∴∠B＝∠B＝45°， ∴△B 为等腰直角三角形， ∴＝B＝ B， ∴S△B＝ •B＝ B2， 当B 最小时，m＝0，直线为y＝x， 联立方程 ，解得 或 ， ∴（ ， ），B（﹣ ，﹣ ）， B＝ ×2 ＝2 ， ∴S△B 最小＝ ×4×6＝6． 故答为：6． 13．如图，在平面直角坐标系中，△B 的边在x 轴正半轴上，其中∠B＝90°，＝B，点为斜 边B 的中点，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点，且交线段B 于点D，连接 D，D．若S△D＝6，则k 的值为 8 ． 解：根据题意设B（m，m），则（m，0）， ∵点为斜边B 的中点， ∴（ ， ）， ∵反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点， ∴k＝ • ＝ ， ∵∠B＝90°， ∴D 的横坐标为m， ∵反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点D， ∴D 的纵坐标为 ， 作E⊥x 轴于E， ∵S△E＝S△D， S△D＝S△E+S 梯形DE﹣S△D＝S 梯形DE，S△D＝6， ∴ （D+E）•E＝6，即 （ + ）•（m﹣ m）＝6， ∴m2＝32， ∴k＝ ＝8， 故答为：8． 解法二： 作E⊥于E， ∵为B 的中点，＝B，∠B＝90°， ∴S△E＝S△D＝ k，S△B＝2k， ∴S△BD＝ k， ∵为斜边B 的中点， ∴S△D＝S△BD＝ S△BD＝6， ∴ × k＝6， ∴k＝8． 故答为：8． 14．如图，在平面直角坐标系中，▱B 的顶点，B 在第一象限内，顶点在y 轴上，经过点的 反比例函数y＝ （x＞0）的图象交B 于点D．若D＝2BD，▱B 的面积为15，则k 的值 为 18 ． 解：过点D 作D⊥y 轴于，过点B 作BM⊥y 轴于M， 设＝，＝2b，M＝b， ∵▱B 的面积为15， ∴BM＝ ， ∴D＝ BM＝ ， ∴，D 点坐标分别为（ ，3b），（ ，+2b）， ∴ •3b＝ （+2b）， ∴b＝ ， ∴k＝ •3b＝ •3× ＝18， 故答为：18． 15．如图，点在双曲线y＝ 的第一象限的那一支上，B 垂直于y 轴于点B，点在x 轴正半 轴上，且＝2B，点E 在线段上，且E＝3E，点D 为B 的中点，若△DE 的面积为3，则k 的值为 ． 解：连D，如图， ∵E＝3E，△DE 的面积为3， ∴△DE 的面积为1， ∴△D 的面积为4， 设点坐标为（，b），则B＝，＝2B＝2， 而点D 为B 的中点， ∴BD＝D＝ b， ∵S 梯形B＝S△BD+S△D+S△D， ∴ （+2）×b＝ × b+4+ ×2× b， ∴b＝ ， 把（，b）代入双曲线y＝ ， ∴k＝b＝ ． 故答为： ． 16．如图，已知反比例函数y1＝ 与一次函数y2＝k2x+b 的图象交于点（1，8），B（﹣ 4，m）两点． （1）求k1，k2，b 的值； （2）求△B 的面积； （3）请直接写出不等式 x+b 的解． 解：（1）∵反比例函数y1＝ 与一次函数y2＝k2x+b 的图象交于点（1，8）、B（﹣ 4，m）， ∴k1＝8，B（﹣4，﹣2）， 解方程组 ，解得 ； （2）由（1）知一次函数y＝k2x+b 的图象与y 轴的交点坐标为（0，6）， ∴S△B＝ ×6×4+ ×6×1＝15； （3）﹣4≤x＜0 或x≥1． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（，6），B⊥x 轴于点B，s∠B＝ ，反比例 函数y＝ 的图象的一支分别交、B 于点、D．延长交反比例函数的图象的另一支于点 E．已知点D 的纵坐标为 ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求直线EB 的解析式； （3）求S△EB． 解：（1）∵点的坐标为（，6），B⊥x 轴， ∴B＝6， s ∵∠B＝ ＝ ， ∴ ， ∴＝10， 由勾股定理得：B＝8， ∴（8，6）， ∴D（8， ）， ∵点D 在反比例函数的图象上， ∴k＝8× ＝12， ∴反比例函数的解析式为：y＝ ； （2）设直线的解析式为：y＝bx， ∵（8，6）， 8 ∴b＝6，b＝ ， ∴直线的解析式为：y＝ x， 则 ， x＝±4， ∴E（﹣4，﹣3）， 设直线BE 的解式为：y＝mx+， 把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得： ， 解得： ， ∴直线BE 的解式为：y＝ x 2 ﹣； （3）S△EB＝ B•|yE|＝ ×8×3＝12． 18．如图，直线y＝ x 与反比例函数的图象交于点（3，），第一象限内的点B 在这个反 比例函数图象上，B 与x 轴正半轴的夹角为α，且tα＝ ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点B 的坐标； （3）求S△B． 解：（1）∵直线y＝ x 与反比例函数的图象交于点（3，）， ∴＝ ×3＝4， ∴点的坐标为（3，4）， ∴k＝3×4＝12， ∴反比例函数解析式y＝ ． （2）∵点B 在这个反比例函数图象上，设点B 坐标为（x， ）， t ∵α＝ ， ∴ ＝ ，解得：x＝±6， ∵点B 在第一象限， ∴x＝6， ∴点B 的坐标为（6，2）． （3）设直线B 为y＝kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：2＝6k， 解得：k＝ ， ∴B 直线解析式为：y＝ x． 过点做⊥x 轴，交B 于点，如图所示： 则点坐标为（3，1）， ∴＝3． S△B 的面积＝S△的面积+S△B 的面积＝ ×||×6＝9． ∴△B 的面积为9． 19．已知：如图，在平面直角坐标系xy 中，直线B 与x 轴交于点（﹣2，0），与反比例函 数在第一象限内的图象的交于点B（2，），连接B，若S△B＝4． （1）求该反比例函数的解析式和直线B 的解析式； （2）若直线B 与双曲线的另一交点为D 点，求△DB 的面积． 解：（1）由题意得：S△B＝ •|x|•yB， 即 ×2×yB＝4， yB＝4， ∴B（2，4）， 设反比例函数的解析式为：y＝ ， 把点B 的坐标代入得：k＝2×4＝8， ∴y＝ ， 设直线B 的解析式为：y＝x+b， 把（﹣2，0）、B（2，4）代入得： ， 解得： ， ∴y＝x+2； （2）由题意得：x+2＝ ， 解得：x1＝﹣4，x2＝2， ∴D（﹣4，﹣2）， ∴S△DB＝S△D+S△B＝ ×2×2+4＝6． 20．如图，在平行四边形B 中， ，点在x 轴上，点D 是B 的中点， 反比例函数 的图象经过，D 两点． （1）求k 的值； （2）求四边形B 的面积． 解：（1）过点作E⊥x 轴于E， ∵∠＝45°， ∴E＝E， ∴E2+E2＝2 ∵＝2 ， ∴E＝E＝2， ∴（2，2）， ∵反比例函数 的图象经过点点， ∴k＝2×2＝4； （2）过点D 作DF⊥x 轴于F， ∵四边形B 是平行四边形， ∴B＝＝2 ，∠DF＝∠＝45°， 又∵点D 是B 的中点， ∴D＝ ，F＝DF， ∴F2+DF2＝D2， ∴F＝DF＝1， ∴D 点的纵坐标为1， ∵反比例函数 的图象过点D 点， ∴D（4，1）， ∴F＝4，＝F﹣F＝4 1 ﹣＝3， ∴平行四边形B 的面积S＝•E＝3×2＝6． 21．如图，直线y＝6x 与双曲线y＝ （k≠0，且x＞0）交于点，点的横坐标为2． （1）求点的坐标及双曲线的解析式； （2）点B 是双曲线上的点，且点B 的纵坐标是6，连接B，B，求△B 的面积． 解：（1）将x＝2 代入y＝6x，得：y＝12， ∴点的坐标为（2，12）， 将（2，12）代入y＝ ，得：k＝24， ∴反比例函数的解析式为y＝ ； （2）在y＝ 中y＝6 时，x＝4， ∴点B（4