勾股定理 模型（二十七）——蚂蚁爬行模型 ◎结论1：蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从M 到的最短路径： MN min＝❑ √最长边 2+( 最短边＋较短边) 2 长方体表面走最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 示意图 展平面 用勾股 M²=（＋b）²＋²＝²＋ b²＋²＋2b M²＝（＋）²＋b²＝²＋b² ＋²＋2 M²＝（＋b）²＋²＝²＋b² 高为20，点 离点 的 距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ） ．35 B． ．25 D． 【答】 【分析】先把长方体展开，然后根据最短路径及勾股定理可求解． 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示： 由题意得： BD=20，D=B+10=15，∠BD=90°， 在 中， ， ②把长方体的右 在直角三角形BD 中，根据勾股定理得： ； ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示： 长方体的宽为10，高为20，点B 到点的距离是5， =D+D=20+10=30， 在直角三角形B 中，根据勾股定理得： 蚂蚁沿着长方形的表面从点爬到点B 的最短路径为25； 故选． 【点睛】本题主要考查最短路径问题，关键是根据题意得到最短路径，然后利用勾股定理求解即可． 2

勾股定理 模型（二十二）——矩形翻折模型 一、折在外 ◎结论1：如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，则重叠部分 的面积为多少？ 结论： ， 【证明】矩形 ，沿 折叠， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， 设 ，则 ，在 中， ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ， ∴ ． 【结论2】如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝4，将矩形BD 结论：F＝F 【证明】由折叠可知D＝ ＝4，∠D＝ ∵四边形BD 是矩形， ∴D B， ∠ ∴ D＝∠F， ∠ ∴ F＝∠F， ∴F＝F， 设F＝x，则F＝x，FB＝8﹣x， 在 中，由勾股定理得， ， 即 ， 解得x＝5， 即F＝5， 二、折在里 【结论3】如图，矩形BD，将△FD 沿F 折叠，使点D 的落点（E）在对角线上， 则E=－D，F=D－EF 3，若将矩形沿直线 D 折叠，则顶点 恰好落在边 B 上的 E 处，那么图中阴影部分的面积为( ) ．30 B．32 ．34 D．36 【答】 【分析】根据、D 的纵坐标即可求得D 的长，根据勾股定理即可求得BE 的长，然后在直角△E 中，利用勾 股定理即可得到方程求得的长，则根据 即可求解． 【详解】解：设=x，则=E=B=x， ∵点的坐标为（0，8）， = ∴B=8， ∵点D 的纵坐标为3，

勾股定理 模型（二十五）——出水芙蓉模型 湖静浪平六月天，荷花半尺出水面; 忽来一阵狂风急，吹倒花水中偃。 湖面之上不复见，入秋渔翁始发现; 残花离根二尺遥，试问水深尽若干? ——印度数学家拜斯迦罗（公元 1114—1185 年） 【模型】读诗求解“ 出水3 尺一红莲，风吹花朵齐水面 ，水面移动有6 尺，求水深 几何请你算”。 【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深为 【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深为 45 尺 【解析】设水深P＝x 尺， PB＝P＝（x＋3）尺， 根据勾股定理得：P²＋²＝P²，x²＋4²＝（x＋3）² 解得 x=45 答∶水深 45 尺 1．（2019·河北唐山·八年级期中）如图，小丽在荷塘边观看荷花，想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如 图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得 长 ，则荷花处水深 为（ ） ． B． ． D． D． 【答】D 【分析】由图可看出，三角形B 为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可通过30°角的特殊性质及勾股定理求 另两边． 【详解】解：∵∠B＝90°，∠B＝60°， ∴∠＝30°， ∴B＝2B＝2， ∴在Rt△B 中， ， 故选：D． 【点睛】本题是勾股定理的应用，主要考查了在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，比较简单． 2．（2022·黑龙江绥化·八年

勾股定理 模型（二十四）——风吹树折模型 “风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹 高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何?”（1 丈=10 尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角 边长三尺，其余两边长度之和为 10 尺 【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为455 【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x）尺 由勾股定理得 x2＋32=（10—x）2，解得 x= 455 答∶折断后竹子的高度是 455 尺 方法技巧： 此模型主要考查勾股定理的运用在此模型中，已知三角形一条直角 边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x，通 过勾股定理建立方程，求出答 1．（2022·福建·平潭第一中学八年级期末）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m 处撕裂折断， 旗杆顶部落在离旗杆底部12m 的处，则旗杆折断部分B 的高度是（ ） ．5m B．12m ．13m D．18m 【答】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】由题意得： 则 （m） 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股勾股定理求解直角三角形的边长，熟练掌握在直角三角形中，两直角边的平 方和等于斜边的平方是解题的关键． 2．（2022·广西柳州·八年级期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2m

勾股定理 模型（二十七）——蚂蚁爬行模型 ◎结论1：蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从M 到的最短路径： MN min＝❑ √最长边 2+( 最短边＋较短边) 2 长方体表面走最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 示意图 展平面 用勾股 M²=（＋b）²＋²＝²＋ b²＋²＋2b M²＝（＋）²＋b²＝²＋b² ＋²＋2 M²＝（＋b）²＋²＝²＋b²

勾股定理 模型（二十六）——378 和578 模型 当两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 时，我们对于这两组数字不敏感， 但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8 的等边三角形 ◎结论：当两个三角形的边长分别为3，7，8 和5，7，8 时， ①这两个三角形的面积6 ❑ √3、10 ❑ √3 【分析】过点作D⊥B 于D，设D＝x，则BD＝B−D＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出D＝4，则D＝ ，再证∠D＝30°，即可求解． 【详解】解：过点作D⊥B 于D，如图所示： 设D＝x， 则BD＝B−D＝5−x， 在Rt△BD 中，由勾股定理得：D2＝B2−BD2， 在Rt△D 中，由勾股定理得：D2＝2−D2， ∴B2−BD2＝2−D2， 即：72−（5−x）2＝82−x2， 即：72−（5−x）2＝82−x2， 解得：x＝4， ∴D＝4， ∴D＝ ， ∴∠D＝30°， ∴∠＝90°−30°＝60°， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证 出∠D＝30°是解题的关键． 2．（2022·江苏·八年级专题练习）边长为5，7，8 的三角形的最大角和最小角的和是（ ）． ．90° B．150°

第17 章 勾股定理章末题型过关卷 【人版】 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022 春•三门峡期末）在△B 中，∠，∠B，∠的对边分别记为，b，，下列结 论中不正确的是（ ） ．如果：b：＝1：1：❑ √2，那么△B 是直角三角形 B．如果∠＝∠B﹣∠，那么△B 是直角三角形 ．如果¿ 3 5，b¿ 4 5 ，那么△B 为直角三角形 为直角三角形 D．如果b2＝2﹣2，那么△B 是直角三角形且∠B＝90° 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：、∵：b：＝1：1：❑ √2， ∴设＝k，b＝k，¿ ❑ √2k， ∴2+b2＝k2+k2＝2k2，2＝（❑ √2k）2＝2k2， ∴2+b2＝2， ∴△B 是直角三角形， 故不符合题意； B、∵∠＝∠B﹣∠， + ∴∠∠＝∠B， 中，B＝B＝2，D＝3，D＝1，∠B ＝90°，∠D＝α．则∠BD 的大小为（ ） ．α B．90° α ﹣ ．45°+α D．135° α ﹣ 【分析】由于∠B＝90°，B＝B＝2，利用勾股定理可求，并可求∠B＝45°，而D＝3，D ＝1，易得2+D2＝D2，可证△D 是直角三角形，于是有∠D＝90°，从而易求∠BD，进而得 出∠BD． 【解答】解：连接， ∵∠B＝90°，B＝B＝2，

第六讲 勾股定理 模型（二十三）——赵爽弦图模型 ◎结论1：在正方形BD 的四边B，B，D，D 上分别取点E，F，G，，使得BE＝F＝ GD＝，则四边形EGF 是正方形 【证明】在正方形中，BE=F=GD=，∴E=BF=G=D, 又∵∠=∠B=∠=∠D=90°， ∴Rt△BEF≌Rt△FG≌Rt△DG≌Rt△E， ∴EF＝FG＝G＝E 【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的 关系是解题的关键． 2．（2022·辽宁·丹东市第五中学七年级期末）如图是“赵爽弦图”，由 个全等的直角三角形拼成的图形，若大 正方形的面积是 ，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为 ，较短直角边为 ，则 的值是 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据勾股定理可以求得 然后根据 即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是 ，小正方形的面积是， 所以一个小三角形的面积是 ，三角形的斜边为 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 ． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得 和b 的值是关键． 3．（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接， 彼此之间不留空隙、不

勾股定理 模型（二十二）——矩形翻折模型 一、折在外 ◎结论1：如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，则重叠部分 的面积为多少？ 结论： ， 【证明】矩形 ，沿 折叠， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， 设 ，则 ，在 中， ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ， ∴ ． 【结论2】如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝4，将矩形BD 结论：F＝F 【证明】由折叠可知D＝ ＝4，∠D＝ ∵四边形BD 是矩形， ∴D B， ∠ ∴ D＝∠F， ∠ ∴ F＝∠F， ∴F＝F， 设F＝x，则F＝x，FB＝8﹣x， 在 中，由勾股定理得， ， 即 ， 解得x＝5， 即F＝5， 二、折在里 【结论3】如图，矩形BD，将△FD 沿F 折叠，使点D 的落点（E）在对角线上， 则E=－D，F=D－EF

勾股定理 模型（二十五）——出水芙蓉模型 湖静浪平六月天，荷花半尺出水面; 忽来一阵狂风急，吹倒花水中偃。 湖面之上不复见，入秋渔翁始发现; 残花离根二尺遥，试问水深尽若干? ——印度数学家拜斯迦罗（公元 1114—1185 年） 【模型】读诗求解“ 出水3 尺一红莲，风吹花朵齐水面 ，水面移动有6 尺，求水深 几何请你算”。 【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深为 【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深为 45 尺 【解析】设水深P＝x 尺， PB＝P＝（x＋3）尺， 根据勾股定理得：P²＋²＝P²，x²＋4²＝（x＋3）² 解得 x=45 答∶水深 45 尺 1．（2019·河北唐山·八年级期中）如图，小丽在荷塘边观看荷花，想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如 图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得 长 ，则荷花处水深 为（ ） ． B． ． D．