模型24 勾股定理——风吹树折模型-解析版

勾股定理 模型（二十四）——风吹树折模型 “风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹 高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何?”（1 丈=10 尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角 边长三尺，其余两边长度之和为 10 尺 【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为455 尺 【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x）尺 由勾股定理得 x2＋32=（10—x）2，解得 x= 455 答∶折断后竹子的高度是 455 尺 方法技巧： 此模型主要考查勾股定理的运用在此模型中，已知三角形一条直角 边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x，通 过勾股定理建立方程，求出答 1．（2022·福建·平潭第一中学八年级期末）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m 的B 处撕裂折断， 旗杆顶部落在离旗杆底部12m 的处，则旗杆折断部分B 的高度是（ ） ．5m B．12m ．13m D．18m 【答】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】由题意得： 则 （m） 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股勾股定理求解直角三角形的边长，熟练掌握在直角三角形中，两直角边的平 方和等于斜边的平方是解题的关键． 2．（2022·广西柳州·八年级期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2m 处折断，树尖 B 恰好碰到地面，经测量B＝4m，则树高为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】在Rt△B 中，根据勾股定理可求得B 的长，而树的高度为+B，的长已知，由此得解． 【详解】据题意，=2m,∠B=90°，B＝4m， 由勾股定理得 + ∴B= 即树高为 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键． 3．（2021·河南信阳·八年级阶段练习）如图，在一块平地上，张大爷家屋前9m 远处有一棵大树，在一次 强风中，这棵大树从离地面6m 处折断倒下，量得倒下部分的长是10m，大树倒下时能砸到张大爷的房子 吗？（ ） ．一定不会 B．可能会 ．一定会 D．以上答都不对 【答】 【分析】直接将房子看作一个点，利用勾股定理分析得出答． 【详解】解：如图， , 由勾股定理知： （米）． 由于8＜9， 所以，大树倒下时不能砸到张大爷的房子． 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 4．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问： 折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离 原竹子根部3 尺远．问：原处还有多高的竹子？（1 丈=10 尺）答：原处的竹子还有多少尺高．则高为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股 定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理得： ， 解得x= ． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解 题． 1．（2021·新疆·乌鲁木齐市第十三中学八年级期中）由于台风的影响，一棵树在离地面6m 处折断，树顶 落在离树干底部8m 处，则这棵树在折断前的长度是__________________ 【答】16m##16 米 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，在Rt△B 中，=6m，B=8m，∠=90°，且D=B， ∴由勾股定理得 ， ∴D=B=10m， ∴D=+D=16m， ∴大树在折断前的长度是16m， 故答为：16m． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确画出图形利用勾股定理求解是解题的关键． 2．（2022·湖南·双牌县第一中学八年级期中）如图，一棵大树在离地面3 米处折断倒下，倒下树尖部分与 树根距离为4 米，这棵大树原来的高度为__________米． 【答】8 【分析】运用勾股定理即可求解． 【详解】如图，根据题意有：B=4，=3，∠=90°， 则在Rt△B 中，有 ， 则树的高度为：+B=3+5=8（米）， 故答为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将题意抽象概括为用勾股定理解Rt△B 是解答本题的关键． 3．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面， 发现风筝线多出1 米；把风筝线沿直线B 向后拉5 米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度 B． 【答】风筝距离地面的高度B 为12 米 【分析】设B＝x 米，则＝（x＋1）米，依据勾股定理即可得到方程 ，进而得出风筝距离地 面的高度B． 【详解】解：设B＝x 米，则＝（x＋1）米， 由图可得，∠B＝90°，B＝5 米， 在Rt△B 中， ， 即 ， 解得x＝12， 答：风筝距离地面的高度B 为12 米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解 决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 1．（2020·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国 传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵 地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1 丈（1 丈10 尺），中部有一处折 断，竹梢触地面处离竹根3 尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高． 【答】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股 定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2， 解得： ； 故答为： ． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解 题． 2．（2021·四川成都·二模）如图，一棵被大风吹折的大树在B 处断裂，树梢着地．经测量，折断部分B 与 地面的夹角∠B＝30°，树干B 在某一时刻阳光下的影长D＝6 米，而在同时刻身高15 米的人的影子长为2 米．求大树未折断前的高度． 【答】135 米 【分析】用比例式求得B 的长度，然后在 中求出B 的长，两者相加即可求出未折断前大树的高度． 【详解】解：依题意得 , 则B＝45（米）． 在Rt△B 中，B＝2B＝9（米） 所以 45+9＝135（米） 答：大树未折断前的高度约为135 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确构造直角三角形．