模型26 勾股定理——378和578模型-解析版

勾股定理 模型（二十六）——378 和578 模型 当两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 时，我们对于这两组数字不敏感， 但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8 的等边三角形 ◎结论：当两个三角形的边长分别为3，7，8 和5，7，8 时， ①这两个三角形的面积6 ❑ √3、10 ❑ √3 ②3、8 与5、8 夹角都是60° 【证明】 ①过作E B ⊥于E, B ∵△为等边三角形， 可求出E 的长为4 ❑ √3， BD ∴△ 的面积为1 2BD E ＝6❑ √3，△D 的面积为10❑ √3。 ②有上面△B 是等边三角形可知，∠B＝∠＝60°， 3 ∴、8 与5、8 夹角都是60° 1．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△B 中，B＝7，＝8，B＝5，则∠＝（ ）． ．45° B．37° ．60° D．90° 【答】 【分析】过点作D⊥B 于D，设D＝x，则BD＝B−D＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出D＝4，则D＝ ，再证∠D＝30°，即可求解． 【详解】解：过点作D⊥B 于D，如图所示： 设D＝x， 则BD＝B−D＝5−x， 在Rt△BD 中，由勾股定理得：D2＝B2−BD2， 在Rt△D 中，由勾股定理得：D2＝2−D2， ∴B2−BD2＝2−D2， 即：72−（5−x）2＝82−x2， 解得：x＝4， ∴D＝4， ∴D＝ ， ∴∠D＝30°， ∴∠＝90°−30°＝60°， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证 出∠D＝30°是解题的关键． 2．（2022·江苏·八年级专题练习）边长为5，7，8 的三角形的最大角和最小角的和是（ ）． ．90° B．150° ．135° D．120° 【答】D 【分析】设△B 的三边B=5，=7，B=8，过点作D⊥B 于点D，设BD=x，分别在Rt△DB 和Rt△D 中，利用勾股定理 求得D，从而可建立方程，求得x 的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和． 【详解】设△B 的三边B=5，=7，B=8，过点作D⊥B 于点D，如图 设BD=x，则D=8-x 在Rt△DB 中，由勾股定理得： ；在Rt△D 中，由勾股定理得： 则得方程： 解得： 即 ∵ ，D⊥B ∴∠BD=30゜ ∴∠BD=90゜-∠BD=60゜ ∴∠B+ =180 ∠ ゜-∠BD=120゜ ∵B>>B ∴∠B>∠BD>∠ 故最大角与最小角的和为120゜ 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理 的使用创造了条件． 1．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△B 中，B＝8，＝7，B＝3，则∠B＝（ ）． ．45° B．37° ．60° D．90° 【答】 【分析】过点作 交B 延长线于点D，设D=x，则B=3+x，在 和 中，利用勾股定理求出 ，可求出D 的长，从而得到BD 的长，然后利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作 交B 延长线于点D， ∵在△B 中，B＝8，＝7，B＝3， 可设D=x，则B=3+x， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ， 解得： ， ∴B=3+x=4， ∴在 中， ， ∴ ， ∴ ． 故选 ． 【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半， 则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键． 2．（2021·全国·八年级专题练习）在△B 中，B＝16，＝14，B＝6，则△B 的面积为（ ） ．24 B．56 ．48 D．112 【答】 【分析】如图，过 作 于 ，设 ，则 ，根据 中 ，利用勾 股定理建立方程，求得 ，继而用勾股定理求得 ，从而求得面积． 【详解】如图，过 作 于 ，设 ，则 ， 在 中 解得 故选 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，△B 的三边B，B，的长度分别为3，7，8，则△B 的内切圆 Ⅰ的半径为_________． 【答】 【分析】先过点B 作BD⊥，用勾股定理求出D 和BD，再用等面积求出E 即可． 【详解】解：如图，过点B 作BD⊥， ∵△B 的三边B，B，的长度分别为3，7，8， ∴设D＝x，则D＝8−x， 在△BD 与△BD 中，BD2＝B2−D2＝B2−D2， 3 ∴ 2−x2＝72−（8−x）2， 解得：x＝ ， ∴D＝ ， ∴BD＝ 过点作E 垂直B 于E， ∵为△B 的内心， ∴△B 的三边B，B，上的高都等于E， ∵S△B＝ •BD＝ (＋B＋B)•E， ∴ ， ∴E＝ ， ∴△B 的内切圆的半径为 ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理、等面积法，过点B 作BD⊥，用勾股定理求出D 和BD 是本 题的关键．