模型27 勾股定理——蚂蚁爬行模型-解析版

勾股定理 模型（二十七）——蚂蚁爬行模型 ◎结论1：蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从M 到的最短路径： MN min＝❑ √最长边 2+( 最短边＋较短边) 2 长方体表面走最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 示意图 展平面 用勾股 M²=（＋b）²＋²＝²＋ b²＋²＋2b M²＝（＋）²＋b²＝²＋b² ＋²＋2 M²＝（＋b）²＋²＝²＋b² ＋²＋2b M 到的最短距 离： ❑ √（最短边＋较短边）²＋最长边² ◎结论2：蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从到B 的最短路径： ①同侧全周长＝ ❑ √(2πr ) 2+h 2 ②异侧半周长＝ ❑ √(πr ) 2+h 2 圆柱表面积最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 同侧全周长 底面圆的周长2πR 异侧半周长 底面圆的周长πR ◎结论3：蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B 的最短路径 【作法】如图，首先找到 关于杯子上沿的对称点′点，设′到B 的垂直距离为，则问题 转化为异侧半周长的问题 由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 ´B＝ ❑ √(πr ) 2+h 2 1．（2022·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点 离点 的 距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ） ．35 B． ．25 D． 【答】 【分析】先把长方体展开，然后根据最短路径及勾股定理可求解． 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示： 由题意得： BD=20，D=B+10=15，∠BD=90°， 在 中， ， ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示： 长方体的宽为10，高为20，点B 到点的距离是5， BD=D+B=20+5=25，D=10， 在直角三角形BD 中，根据勾股定理得： ； ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示： 长方体的宽为10，高为20，点B 到点的距离是5， =D+D=20+10=30， 在直角三角形B 中，根据勾股定理得： 蚂蚁沿着长方形的表面从点爬到点B 的最短路径为25； 故选． 【点睛】本题主要考查最短路径问题，关键是根据题意得到最短路径，然后利用勾股定理求解即可． 2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，有一个圆柱，底面圆的直径B＝ ，高B＝12m，P 为B 的中点，一只蚂 蚁从 点出发沿着圆柱的表面爬到 点的最短距离为 ．9m B．10m ．11m D．12m 【答】B 【分析】把圆柱的侧面展开，连接 ，利用勾股定理即可得出 的长，即蚂蚁从 点爬到 点的最短距离． 【详解】解：如图：展开后线段 的长度是圆柱中半圆 的周长， 圆柱底面直径 、高 ， 为 的中点， ， 在 中， ， 蚂蚁从 点爬到 点的最短距离为 ， 故选： ． 【点睛】本题考查的是平面展开 最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此 题的关键． 3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱的高为4m，底面半径为 m，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它 想吃到上底面B 处的食物，已知四边形DB 的边D、B 恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距 离是（ ）m． ．5 B．5π ．3+ D．3+ 【答】 【分析】如图，先把圆柱体沿着直线 剪开，得到矩形如图示：可得线段 的长度为所求的最短距离，再利用 勾股定理可得答 【详解】解：把圆柱体沿着直线 剪开，得到矩形如下： 则线段 的长度为所求的最短距离 由题意得圆柱的高为： 底面半径为 ， 所以蚂蚁至少要爬行 路程才能吃到食物 故选： 【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，弄懂圆柱展开图是长方形，根据两点之间线段最短是解题的关键． 1．（2021·山东临沂·八年级期中）如图，圆柱形玻璃板，高为12m，底面周长为18m，在杯内离杯底4m 的点处有 一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4m 与蜂蜜相对的处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ） ．15m B．16m ．17m D．18m 【答】 【分析】在侧面展开图中，过作Q⊥EF 于Q，作关于E 的对称点′，连接′交E 于P，连接P，则P＋P 就是蚂蚁到 达蜂蜜的最短距离，求出′Q，Q，根据勾股定理求出′即可． 【详解】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形EFG，过作Q⊥EF 于Q，作关于E 的对称点′，连接′交E 于P，连接 P，则P＋P 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ∵E＝′E，′P＝P， ∴P＋P＝′P＋P＝′， ∵Q＝ ×18m＝9m，′Q＝12m−4m＋4m＝12m， 在Rt△′Q 中，由勾股定理得：′＝ ＝15m， 故选：． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称 的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱形容器的高为09m，底面周长为12m，在容器内壁离容器底部03m 处的点B 处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿02m 与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的 最短距离为_____ m． 【答】1 【分析】画出容器侧面展开图（见详解），作点关于EF 的对称点′，根据两点之间线段最短可知′B 的长度即为所 求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点关于EF 的对称点′，连接′B， 则′B 为最短距离． 由题意知，′D＝06m，′E＝E=02m， ∴BD＝09-03+02=08m， ′ ∴B＝ ＝ ＝1（m）． 故答为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将圆柱的侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算 是解题的关键． 1．（2012·山东青岛·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯高为12m、底面周长为18m，在杯内离杯底4m 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4m 与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂 蜜的最短距离为_______m． 【答】15 【分析】过 作 于 ，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，则 就是蚂蚁 到达蜂蜜的最短距离，求出 ， ，根据勾股定理求出 即可． 【详解】解：沿过 的圆柱的高剪开，得出矩形 ， 过 作 于 ，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ， 则 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ， ， ， ， ， 在 △ 中，由勾股定理得： ， 故答为：15． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称 最短路线问题的应用，解题的关键是找出最短路线． 2．（2015·山东东营·中考真题）如图，一只蚂蚁沿着边长为2 的正方体表面从点出发，经过3 个面爬到点B，如果 它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为___________． 【答】 【详解】如图，将正方体的三个侧面展开，连结B，则B 最短， ． 【点睛】考点：1．最短距离2．正方体的展开图