模型22 勾股定理——矩形翻折模型-解析版

勾股定理 模型（二十二）——矩形翻折模型 一、折在外 ◎结论1：如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，则重叠部分 的面积为多少？ 结论： ， 【证明】矩形 ，沿 折叠， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， 设 ，则 ，在 中， ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ， ∴ ． 【结论2】如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝4，将矩形BD 沿折叠，使点D 落 到点D’处， 交B 于点F，则F 的长为多少？ 结论：F＝F 【证明】由折叠可知D＝ ＝4，∠D＝ ∵四边形BD 是矩形， ∴D B， ∠ ∴ D＝∠F， ∠ ∴ F＝∠F， ∴F＝F， 设F＝x，则F＝x，FB＝8﹣x， 在 中，由勾股定理得， ， 即 ， 解得x＝5， 即F＝5， 二、折在里 【结论3】如图，矩形BD，将△FD 沿F 折叠，使点D 的落点（E）在对角线上， 则E=－D，F=D－EF 【证明】∵△FD 沿F 折叠得△FE，∴△FD △FE ≌ E ∴＝D，EF＝DF， E= ∴ －D＝－E，F=D－DF＝D－EF 1．（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级阶段练习）如图，长方形 B 中，点 的坐标为（0，8)，点 D 的纵 坐标为 3，若将矩形沿直线 D 折叠，则顶点 恰好落在边 B 上的 E 处，那么图中阴影部分的面积为( ) ．30 B．32 ．34 D．36 【答】 【分析】根据、D 的纵坐标即可求得D 的长，根据勾股定理即可求得BE 的长，然后在直角△E 中，利用勾 股定理即可得到方程求得的长，则根据 即可求解． 【详解】解：设=x，则=E=B=x， ∵点的坐标为（0，8）， = ∴B=8， ∵点D 的纵坐标为3， ∴D=DE=B-BD=8-3=5， 在直角△BDE 中，BE= =4， 则E=x-4， 在直角△E 中， ，即 ， 解得：x=10， 则 = •D= ×10×5=25， =10×8=80， 则 =80-25-25=30． 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，以及折叠的性质，勾股定理，正确求得的长是关键． 2．（2022·广西桂林·八年级期末）如图，正方形BD 的边长为4，将正方形折叠，使顶点D 落在B 边上的 点E 处，折痕为G，若 ，则线段的长是（ ） ．3 B． ．1 D．2 【答】B 【分析】根据折叠的性质，可得 ，设 ，则 ，根据 ，可得 ，在 中，根据勾股定理，列出方程，解出即可得出的长． 【详解】解：设 ，则 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 中， ∵ ， ∴ ， 解得： ， 即 ． 故选：B 【点睛】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．解题时，常常设要求 的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角 形，运用勾股定理列出方程求出答． 3．（2022·云南保山·八年级期末）如图，在矩形纸片 中， ， ，将其折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则 的长为（ ） ．4 B．5 ． D．35 【答】 【分析】由矩形的性质可得∠=90°，首先折叠的性质可得 、 、 =90°,设 = ，则BF=9-x，在Rt△ 中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形BD 是矩形， =90° ∴∠ ， 由翻折的性质可知， 、 、 =90° 设 = ，则BF=9-x， ∵在Rt△ 中， ∴ 解得 ， ∴F=4． 故选：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程 解决问题． 4．（2022·重庆永川·八年级期末）已知，如图所示，折叠长方形的一边D，使点D 落在B 边的点F 处，如 果B=16，D=20，则E 的长为（ ） ．6 B．5 ．4 D．3 【答】 【分析】首先根据折叠的性质求得：D=F=20，DE=EF，在Rt△BF 中利用勾股定理计算出BF 的长，进一 步求得F 的长，再设E=x,则DE=EF=（16-x），在Rt△EF 中利用勾股定理可得（16-x）2=82+x2，再解方程 即可． 【详解】解：∵四边形BD 是矩形， ∴B=D=16，D=B=20， 由折叠可知：D=F=20，DE=EF， 在Rt△BF 中： ， ∴ ∴F=20-12=8， 设E=x,则DE=EF=16-x, 在Rt△EF 中：EF2=F2+E2， （16-x）2=82+x2， 解得：x=6． 所以E=6． 故选：． 【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换和勾股定理，解题关键是掌握翻折的性质和利用勾股定理解直角 三角形． 1．（2022·河南商丘·八年级期末）在矩形BD 中，B＝4，B＝6，点E 是B 边的中点，点P 是B 边上的动点 （不与点、B 重合），沿直线PE 将△PBE 折叠后点B 落在了点B'处，连接B'D、DE，当∠DB'E＝90°时， PB 的长等于（ ） ． B．2 ．1 D． 【答】 【分析】设 ，利用L 证明 ，得到 的长度，再利用勾股定理表示出 的三边关系，列出关于x 的方程，求解即可． 【详解】设 ， 根据题意，得： ， ， ， ∵ ，∠DB'E＝90°， ∴在 与 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴在 中， ，即 ∴ ， 解得： ， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题关键是用含x 的式子表示出 的三边，再利用勾股定理． 2．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，点 在矩形 的边 上，将矩形 沿 折叠，使点 落在 边上的点 处．若 ， ，则 长为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】先根据矩形的性质得D=B=10，B=D=6，再根据折叠的性质得F=D=10，EF=DE，在Rt△BF 中， 利用勾股定理计算出BF=8，则F=B-BF=2，设E=x，则DE=EF=6-x，然后在Rt△EF 中根据勾股定理得到 ，解方程即可得到DE 的长． 【详解】解：∵四边形BD 为矩形， ∴D=B=10，B=D=6， ∵矩形BD 沿直线E 折叠，顶点D 恰好落在B 边上的F 处， ∴F=D=10，EF=DE， 在Rt△BF 中，BF= ， ∴F=B-BF=10-8=2， 设E=x，则DE=EF=6-x， 在Rt△EF 中， ， ∴ ， 解得x= ， ∴DE=6-x= ， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用．解题时，常常设要求的线段长为x， 然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定 理列出方程求出答． 3．（2022·福建·厦门市第五中学九年级阶段练习）如图，一张矩形纸片BD，其中 ， ， 先沿对角线BD 折叠，点落在点 的位置， 交D 于点G，则 的长______． 【答】 【分析】由矩形及翻折的性质，可证 ≌ ，设 ，则 ， ，在 中，运用勾股定理建立关于x 的方程 ，解方程即可． 【详解】解：∵矩形BD， ∴ ， ， ∵矩形纸片BD 沿对角线BD 折叠，点落在点 的位置， ∴ ， ， ∴ ， ， 在 与 中， ∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ， ． 设 ， ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴在 中， ， 即 ， 解得， ， ∴ ． 故答为： 【点睛】本题考查了运用翻折的性质以及勾股定理求相关线段长度，其中运用几何性质及勾股定理建立相 应的方程是解题的关键． 1．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片 沿 折叠，使 两点重合．点 落在点 处．已知 ， ． （1）求证： 是等腰三角形； （2）求线段 的长． 【答】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据矩形的性质可得 ,则 ,因为折叠， ，即可得证； （2）设 用含 的代数式表示 ，由折叠， ，再用勾股定理求解即可 【详解】（1） 四边形 是矩形 因为折叠，则 是等腰三角形 （2） 四边形 是矩形 , 设 ，则 因为折叠，则 ， , 在 中 即 解得： 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解 题的关键． 2．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓 展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片BD 折叠，使边B、D 都落在对角线上，展开得折痕E、F，连接EF，如图1． （1） _________ ，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1 中的 绕点旋转，使它的两边分别交边B、D 于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ 之间的数量关系为_________； （3）连接正方形对角线BD，若图2 中的 的边P、Q 分别交对角线BD 于点M、点．如图3，则 ________； 剪一剪：将图3 中的正方形纸片沿对角线BD 剪开，如图4． （4）求证： ． 【答】（1）45， ， ；（2） ；（3） ；（4）见解析 【分析】（1）由翻折的性质可知： ， ，根据正方形 的性质： , ，则 ， 为等腰三角形； （2）如图：将 顺时针旋转 ，证明 全等，即可得出结论； （3）证明 即可得出结论； （4）根据半角模型，将 顺时针旋转 ，连接 ，可得 ，通过 得出 ， 为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）由翻折的性质可知： 为正方形 ， 为等腰三角形 （2）如图：将 顺时针旋转 ， 由旋转的性质可得： ， 由（1）中结论可得 为正方形， 在 和 中 （3） 为正方形 对角线 ， ， （4）如图：将 顺时针旋转 ，连接 ， 由（2）中的结论可证 根据旋转的性质可得： ， 在 中有 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判 定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键．