模型23 勾股定理——赵爽弦图模型-解析版

第六讲 勾股定理 模型（二十三）——赵爽弦图模型 ◎结论1：在正方形BD 的四边B，B，D，D 上分别取点E，F，G，，使得BE＝F＝ GD＝，则四边形EGF 是正方形 【证明】在正方形中，BE=F=GD=，∴E=BF=G=D, 又∵∠=∠B=∠=∠D=90°， ∴Rt△BEF≌Rt△FG≌Rt△DG≌Rt△E， ∴EF＝FG＝G＝E,∠E＝∠BEF， ∵∠E＋∠E＝90° ∴∠E 十∠BEF＝90° ∴∠FE＝90° ∴四边形 EGF 是正方形 ◎结论2：如图所示，在正方形BD 的四边B，B，D，D 上分别取点E，F，G，,使得 BE=F=GD=,此外EQ∥B，P∥D，G∥D，FR∥B， 则四边形RQP 是正方形 【证明】∵EQ∥B，P∥D，G∥D，FR∥B，且∠=∠B=∠=∠D=90°, ∴四边形 PE、四边形 EBFQ、四边形 FGP、四边形 GD 均为长方形， ∴△E≌△PE≌△BFE≌△QEF≌△GF≌△RFG≌△DG≌△G, ∴P=EQ=FR=G,EP=FQ=GR=, ∴P=PQ=QR=R，且∠RP=180°-∠G＝90°， ∴四边形 RQP 为正方形 ◎结论3：如图所示，在正方形BD 的四边B，B，D，D 上分别取点E，F，G，，使 得BE=F=GD=，此外EQ∥B，P∥D，G∥D，FR∥B， 则（1）S 正方形 =4S 十S 正方形 ; （2）S 正方形 =4S 十S 正方形 ; （3）S 正方形 －S 正方形 ＝S 正方形 －S 正方形 （4）2S 正方形 =S 正方形 十S 正方形 注：常见的勾股数组合 3,4,5 ① ； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15; 1．（2022·福建·厦门双十中学思明分校八年级期中）如图是用4 个全等的直角三角形与1 个小正方形镶嵌而成的 正方形图，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y 表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结 论：① ；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ） ．①② B．②④ ．①②③ D．①③ 【答】 【分析】由题意知 ，①﹣②可得2xy＝45 记为③，①+③得到 ，由此即可判断． 【详解】解：由题意知 ， ①﹣②可得2xy＝45 记为③， + ①③得到 ， ∴ ， ∴ ． ∵x＞y，由②可得x-y=2 由③得2xy+4＝49 ∴结论①②③正确，④错误． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的 关系是解题的关键． 2．（2022·辽宁·丹东市第五中学七年级期末）如图是“赵爽弦图”，由 个全等的直角三角形拼成的图形，若大 正方形的面积是 ，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为 ，较短直角边为 ，则 的值是 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据勾股定理可以求得 等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到b 的值， 然后根据 即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是 ，小正方形的面积是， 所以一个小三角形的面积是 ，三角形的斜边为 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 ． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得 和b 的值是关键． 3．（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接， 彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如图是由四个完全相同的直角三角形和一个小正 方形进行的镶嵌，其中直角三角形的一个角等于 ，若小正方形 的边长为，则大正方形 的边长为 ( ) ． B． ． D． 【答】 【分析】设BF=x，利用含30°角的直角三角形的三边关系可得B=2x，F= x，再根据EF=1，列出方程，从而解决 问题． 【详解】解：设 ， ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，勾股定理，含30°角的直角三角形的三边关系等知识，熟练掌握含 30°角的直角三角形的三边关系是解题的关键． 1．（2022·北京十一晋元中学八年级期中）用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的 面积为49，小正方形的面积为4，若x，y 表示直角三角形的两直角边长（x＞y），给出下列四个结论正确的是 __ ___．（填序号即可） ①x﹣y＝2；② ；③2xy＝45；④x+y＝9． 【答】①②③ 【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答． 【详解】解：如图， ∴ ，故①正确， ∵△B 为直角三角形， ∴根据勾股定理： ， 故②正确， 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 可得：4× ×xy+4=49， 即2xy=45； 故③正确； 由2xy=45①， 又∵ ②， 小试牛刀 + ∴①②得， ， 整理得， ， x+y= ≠9， 故④错误， ∴正确结论有①②③． 故答为：①②③． 【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，完全平方公式，算术平方根的应用，熟悉勾股定理 并认清图中的关系是解题的关键． 2．（2022·河南南阳·八年级期末）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分 别拼成如图②，③所示的正方形（图②中大正方形边长为5，图③中中间小正方形边长为1），则图①中菱形的面 积为________． 【答】12 【分析】设菱形较长对角线长为2，较短对角线长为2b，根据两种拼图得到 ，计算，b 的值，后根据菱形 的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． 【详解】设菱形较长对角线长为2，较短对角线长为2b， 根据两种拼图得到 ， 解得 ， 所以菱形的面积为： =12， 故答为：12． 【点睛】本题考查了菱形的性质，方程组，熟练掌握菱形的性质，方程组是解题的关键． 3．（2022·山西吕梁·八年级期末）如图是一幅赵爽弦图，利用此图可以证明勾股定理．现连接BE，发现B＝BE， 若DE＝1，则正方形BD 的面积为________． 【答】5 【分析】根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图：由题意得， ， ， ， ， ， 正方形 的面积 ， 故答为：5． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟 练掌握勾股定理． 4．（2022·河南安阳·八年级期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡 献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3 世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 图，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方 形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 的值是____________． 【答】49 【分析】根据题意和图形，可以得到 ， ， 然后变形即可得到b 的值，再将 展开， 将2 + b2和b 的值代入计算即可． 【详解】解：由图可得， ， ， ∴ ， ∵小正方形的面积是1， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ = = = 25+ 24 =49； 故答为：49． 【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，解答本题的关键是求出b 的值，利用数形结合的思想解答． 1．（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个 小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为4 9，则大正方形的面积为______． 【答】289 【分析】设直角三角形的三边分别为 ，较长的直角边为 较短的直角边为 为斜边，由切线长定理可得， 直角三角形的内切圆的半径等于 ，即 ，根据小正方的面积为49，可得 ，进而计算 即 即可求解． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为 ，较长的直角边为 较短的直角边为 为斜边， 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49， ， ①， ②， ， ③， ， 解得 或 （舍去）， 大正方形的面积为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半 径等于 是解题的关键． 2．（2020·湖南娄底·中考真题）由4 个直角边长分别为，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正 方形的面积 等于小正方形的面积 与4 个直角三角形的面积 的和证明了勾股定理 ，还可以 用来证明结论：若 、 且 为定值，则当 _______ 时， 取得最大值． 【答】= 【分析】设 为定值 ，则 ，先根据“张爽弦图”得出 ，再利用平方数的非负 性即可得． 【详解】设 为定值 ，则 由“张爽弦图”可知， 即 要使 的值最大，则 需最小 又 当 时， 取得最小值，最小值为0 则当 时， 取得最大值，最大值为 故答为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．