模型25 勾股定理——出水芙蓉模型-解析版

勾股定理 模型（二十五）——出水芙蓉模型 湖静浪平六月天，荷花半尺出水面; 忽来一阵狂风急，吹倒花水中偃。 湖面之上不复见，入秋渔翁始发现; 残花离根二尺遥，试问水深尽若干? ——印度数学家拜斯迦罗（公元 1114—1185 年） 【模型】读诗求解“ 出水3 尺一红莲，风吹花朵齐水面 ，水面移动有6 尺，求水深 几何请你算”。 【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深为 45 尺 【解析】设水深P＝x 尺， PB＝P＝（x＋3）尺， 根据勾股定理得：P²＋²＝P²，x²＋4²＝（x＋3）² 解得 x=45 答∶水深 45 尺 1．（2019·河北唐山·八年级期中）如图，小丽在荷塘边观看荷花，想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如 图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得 长 ，则荷花处水深 为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】由图可看出，三角形B 为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可通过30°角的特殊性质及勾股定理求 另两边． 【详解】解：∵∠B＝90°，∠B＝60°， ∴∠＝30°， ∴B＝2B＝2， ∴在Rt△B 中， ， 故选：D． 【点睛】本题是勾股定理的应用，主要考查了在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，比较简单． 2．（2022·黑龙江绥化·八年级期末）在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直 拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2 尺远，则这个湖的水深是______尺． 【答】375 【分析】设这个湖的水深是x 尺，则荷花的长为（x+05）尺，运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设这个湖的水深是x 尺，则荷花的长为（x+05）尺， 根据题意，得 ， 解得：x=375， ∴这个湖的水深是375 尺． 故答为：375． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，能从实际问题中抽象出数学模型是解答的关键． 1．（2022·四川·会东县参鱼中学八年级阶段练习）池塘中有一株荷花的茎长为，无风时露出水面部分＝04 米，如 果把这株荷花旁边拉至使它的顶端恰好到达池塘的水面B 处，此时荷花顶端离原来位置的距离B＝12 米，求这颗 荷花的茎长． 【答】这颗荷花的茎长为2m 【分析】根据题意直接得出三角形各边长，进而利用勾股定理求出答． 【详解】解：由题意可得：设＝xm，则＝（x 04 ﹣ ）m， 故2+B2＝B2， 则 ， 解得：x＝2， 答：这颗荷花的茎长为2m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的方程思想． 2．（2020·山东·济南市长清区实验中学八年级阶段练习）有一朵荷花，花朵高出水面1 尺，一阵大风把它吹歪， 使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3 尺，此水池的水深有多少尺？ 【答】4 尺 【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、荷花移动的水平距离及花朵的高度构成一直角三角形，解此 直角三角形即可 【详解】解： 设水深x 尺，那么荷花径的长为（x+1）尺，如图 由匀股定理得： ' 解得：x=4 答：水池的水深有4 尺 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息画图是解题的关键． 3．（2022·山东·聊城市东昌府区水城双语学校八年级期中）古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的 湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 m,忽见 它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地 40 m(如图)请部：水深多少？ 【答】水深为75m 【详解】试题分析：设水深为，则荷花的高 因风吹花朵齐及水面，且水平距离为40m，那么水深与水平 40 组成一个以 为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答． 试题解析：设水深为，则荷花的高+10，且水平距离为40m， 则 解得=75 答：水深75m 1．（2019·安徽·定远县第一初级中学二模）印度数学家什迦罗在其著作中提出过“荷花问题”：“平平湖水清可 鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题， 湖水如何知深浅？” 此题的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被风一吹，荷花倾斜，正好与湖面持平，且荷花与原来位置 的水平距离为二尺，问湖水有多深． 【答】湖水深375 尺． 【分析】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形），再根据已知条件求解． 【详解】设水深x 尺，则荷花茎的长度为x+05， 根据勾股定理得： 解得：x=375． 答：湖水深375 尺． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于结合题意列出方程．