专题46 动角问题专项训练（40 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了动角的综合问题的 所有类型！ 一．解答题（共40 小题） 1．（2022·吉林白山·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为 垂角，例如：∠1＝120°，| 1 2| ∠﹣∠ ＝90°，则∠1 和∠2 互为垂角．(本题中所有角都是指大 于0°且小于180°的角) (1)如图1 所示，为直线B 上一点，∠＝90°，则∠D 垂角为 和 ； (2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的2 3 ，求这个角的度数； (3)如图2 所示，为直线B 上一点，∠＝90°，∠BD＝30°，且射线绕点以9°/s 的速度逆时针旋 转，射线D 绕点以6°/s 的速度顺时针旋转，两条射线、D 同时运动，运动时间为ts(0＜t＜ 同时运动，运动时间为ts(0＜t＜ 20)，试求当t 为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角． 【答】(1)∠D，∠E (2)18°或126° (3)2s 或14s 【分析】（1）根据互为垂角的定义即可求解； （2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的2 3”作为等量关系列方程求解； ( 3 )根据所有角都是指大于0 且小于180°的角，可分0＜t＜5，5＜t＜10，10＜t＜20 三种情 况讨论，并建立相应的方程求解后可得符合题意的t

专题46 动角问题专项训练（40 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了动角的综合问题的 所有类型！ 一．解答题（共40 小题） 1．（2022·吉林白山·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为 垂角，例如：∠1＝120°，| 1 2| ∠﹣∠ ＝90°，则∠1 和∠2 互为垂角．(本题中所有角都是指大 于0°且小于180°的角) (1)如图1 所示，为直线B 上一点，∠＝90°，则∠D 垂角为 和 ； (2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的2 3 ，求这个角的度数； (3)如图2 所示，为直线B 上一点，∠＝90°，∠BD＝30°，且射线绕点以9°/s 的速度逆时针旋 转，射线D 绕点以6°/s 的速度顺时针旋转，两条射线、D 同时运动，运动时间为ts(0＜t＜ 同时运动，运动时间为ts(0＜t＜ 20)，试求当t 为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角． 2．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点D、、共线且∠D＝20°，∠B＝80°，射线M， 分别平分∠B 和∠BD． 如图2，将射线D 以每秒6°的速度绕点顺时针旋转一周，同时将∠B 以每秒4°的速度绕点顺 时针旋转，当射线与射线重合时，∠B 停止运动．设射线D 的运动时间为t． (1)运动开始前，如图1，∠M＝

11 因动点产生的相似三角形问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年武汉市中考第24 题 抛物线1：y＝x2－2x－8 交x 轴于、B 两点（点在点B 的左侧），交y 轴于点． （1）直接写出、B、三点的坐标； （2）如图1，作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x 轴、线段B、抛物线1于点D、E、 F，连结F．若△BDE 与△EF 的坐标及抛物线的解析式； （2）点P 是抛物线位于第一象限图像上的一点，连结P、P，当S△P＝S△M时，求点P 的坐标； （3）点D 是线段B（包括点B、）上的动点，过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点 Q，交直线M 于点，若以点Q、、为顶点的三角形与△M 相似，请直接写出点Q 的坐标； （4）将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点的对应点为′，点的对应点为′， 在抛物线平移过程中，当M′＋ 和(0, 2)，连结B，点P(m, )（m＞0）为抛物线上一动点，过点P 作P⊥x 轴交直线B 于点 M，交x 轴于点． （1）直接写出抛物线和直线B 的解析式； （2）如图2，连结M，当△M 为等腰三角形时，求m 的值； （3）当点P 在运动过程中，在y 轴上是否存在点Q，使得以、P、Q 为顶点的三角形 与以B、、为顶点的三角形相似（其中点P 与点相对应），若存在，直接写出点P 和点Q

因动点产生的相似三角形问题 例1：如图，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2 都经过点(2, m)． （1）求k 与m 的值； （2）此双曲线又经过点B(, 2)，过点B 的直线B 与直线y＝x＋2 平行交y 轴于点，联结 B、，求△B 的面积； （3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2 与y 轴交于点D，在射线B 上有一点E，如果 以点、、E 所组成的三角形与△D 第（2）题我们在计算△B 的面积时，恰好△B 是直角三角形． 一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法． 如图，作△B 的外接矩形M，M//y 轴． 由S 矩形M＝24，S△＝6，S△MB＝2，S△B＝8，得S△B＝8． 例2：如图，抛物线经过点(4，0)、B（1，0)、（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以、 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以、 P、M 为顶点的三角形与△相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说 明理由； （3）在直线上方的抛物线是有一点D，使得△D 的面积最大，求出点D 的坐标． , 思路点拨 1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．

专题09 几何中动角问题的两种考法 类型一、判断角的数量之间的关系 例．如图所示，是直线 上的一点， 是直角， 平分 ． (1)如图①，若 ，求 的度数； (2)在图①，若 ，直接写出 的度数_________(用含的代数式表示)； (3)将图①中的 绕顶点顺时针旋转至图②的位置． ①探究 和 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在 的内部有一条射线 ，满足 ，试确定 与 的图的下面) 【变式训练2】如图，以直线B 上一点为端点作射线，使 ，将一个直角三角形的直角顶点放在 点处．(注： ) (1)如图①，若直角三角板DE 的一边D 放在射线B 上，则 ________ ； (2)如图②，将直角三角板DE 转到如图位置，当恰好平分 时，求 的度数； (3)如图③，将直角三角板DE 绕点转动，如果D 始终在 的内部，直接写出 和 的数量关 系_________． 【变式训练4】如图，已知 ，将一个直角三角形纸片( )的一个顶点放在点 处，现将 三角形纸片绕点 任意转动， 平分斜边 与 的夹角， 平分 (1)将三角形纸片绕点 转动(三角形纸片始终保持在 的内部)，若 ，则 _______； (2)将三角形纸片绕点 转动(三角形纸片始终保持在 的内部)，若射线 恰好平分 ，若 ，求 的度数; (3)将三角形纸片绕点 从 与 重合位置逆时针转到 与 重合的位置，猜想在转动过程中

12 因动点产生的等腰三角形问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年广州市中考第25 题 如图1，在正方形BD 中，E 是边D 上一动点（不与点、D 重合），边B 关于BE 对称 的线段为BF，连结F． （1）若∠BE＝15°，求证：△BF 是等边三角形； （2）延长F，交射线BE 于点G． ①△BGF 能否成为等腰三角形？如果能，求 图1 例 2023 年广安市中考第26 题 如图1，抛物线y＝x2＋bx＋的图像交x 轴于点、B，交y 轴于点，点B 的坐标为 (1, 0)，对称轴是直线x＝－1，点P 是x 轴上一动点，PM⊥x 轴，交直线于点M，交抛物线 于点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点P 在线段上运动（点P 与点、不重合）， 求四边形B 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）若点P 于点G． （1）如图1，如果G＝DG，求证：四边形EGD 是平行四边形； （2）如图2，联结E，如果∠B＝90°，∠FE＝∠DE，＝4，求边B 的长； （3）联结BG，如果△BG 是以B 为腰的等腰三角形，且＝F，求 的值． 图1 图2 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》强化训练篇（黄皮书）中 （23 成都25）如图，在平面直角坐标系xy

13 因动点产生的直角三角形问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年黑龙江省龙东地区中考第28 题 如图1，在平面直角坐标系中，菱形B 的边在x 轴上，∠＝60°，的长是一元二次方程 x2－4x－12＝0 的根，过点作x 轴的垂线，交对角线B 于点D，直线D 分别交x 轴和y 轴于 点F 和点E，动点M 从点以每秒1 个单位长度的速度沿D 个单位长度的速度沿D 向终点D 运动，动点从点F 以每 秒2 个单位长度的速度沿FE 向终点E 运动，两点同时出发，设运动时间为t 秒． （1）求直线D 的解析式； （2）连结M，求△MD 的面积S 与时间t 的函 数关系式； （3）点在运动过程中，在坐标平面内是否存 在一点Q，使得以、、、Q 为顶点的四边形是矩 形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 交于点D，与x 轴交于点E． （1）求直线D 及抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点M，使得△DM 是以D 为直角边的直角三角形？若存在， 求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）以点B 为圆心，画半径为2 的圆，点P 为⊙B 上一个动点，请求出 的 最小值． 图1 图2 下面的题目收录在2024 版《挑

专题09 几何中动角问题的两种考法 类型一、判断角的数量之间的关系 例．如图所示，是直线 上的一点， 是直角， 平分 ． (1)如图①，若 ，求 的度数； (2)在图①，若 ，直接写出 的度数_________(用含的代数式表示)； (3)将图①中的 绕顶点顺时针旋转至图②的位置． ①探究 和 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在 的内部有一条射线 ，满足 ，试确定 与 或∠+2∠DE=450°或∠-2∠DE=90°． 【变式训练2】如图，以直线B 上一点为端点作射线，使 ，将一个直角三角形的直角顶点放在 点处．(注： ) (1)如图①，若直角三角板DE 的一边D 放在射线B 上，则 ________ ； (2)如图②，将直角三角板DE 转到如图位置，当恰好平分 时，求 的度数； (3)如图③，将直角三角板DE 绕点转动，如果D 始终在 的内部，直接写出 和 的数量关 系_________． 【变式训练4】如图，已知 ，将一个直角三角形纸片( )的一个顶点放在点 处，现将 三角形纸片绕点 任意转动， 平分斜边 与 的夹角， 平分 (1)将三角形纸片绕点 转动(三角形纸片始终保持在 的内部)，若 ，则 _______； (2)将三角形纸片绕点 转动(三角形纸片始终保持在 的内部)，若射线 恰好平分 ，若 ，求 的度数; (3)将三角形纸片绕点 从 与 重合位置逆时针转到 与 重合的位置，猜想在转动过程中

专题10 几何图形中动角问题的三种考法 类型一、定值问题 例．如图1，把一副三角板拼在一起，边 与直线 重合，其中 ， ．此时易得 ． (1)如图2，三角板 固定不动，将三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针开始旋转， 在转动过程中，三角板 一直在 的内部，设三角尺 运动时间为秒． ①当 时， ； ②求当为何值时，使得 ； (2)如图3，在（1）的条件下，若 平分 ， 平分 ． ①当 ①当 时， ； ②请问在三角板 的旋转过程中， 的度数是否会发生变化？如果发生变化，请 叙述理由；如果不发生变化，请求出 的度数． 【答】(1)① ；② (2)① ；②不变化， 【分析】（1）①根据题意和角的和差进行求解即可； ②由 ，结合题意可得 ，从而得出 ， ，进而求出时间； （2）①根据 平分 ， 平分 ，可得 ，则可以将 整理为 ，进而得出答； ②根据 平分 ， 平分 ， 故答为： ； ② 的度数不发生变化， 理由： 平分 ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ． 【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相 应角的数量关系是解本题的关键． 【变式训练1】已知 与 互补，将 绕点逆时针旋转． (1)若 ①如图1，当 时， ； ②将 绕点逆时针旋转至 ，求 与 的度数； (2)将

专题10 几何图形中动角问题的三种考法 类型一、定值问题 例．如图1，把一副三角板拼在一起，边 与直线 重合，其中 ， ．此时易得 ． (1)如图2，三角板 固定不动，将三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针开始旋转， 在转动过程中，三角板 一直在 的内部，设三角尺 运动时间为秒． ①当 时， ； ②求当为何值时，使得 ； (2)如图3，在（1）的条件下，若 平分 ， 平分 ． ①当 ①当 时， ； ②请问在三角板 的旋转过程中， 的度数是否会发生变化？如果发生变化，请 叙述理由；如果不发生变化，请求出 的度数． 【变式训练1】已知 与 互补，将 绕点逆时针旋转． (1)若 ①如图1，当 时， ； ②将 绕点逆时针旋转至 ，求 与 的度数； (2)将 绕点逆时针旋转 ，在旋转过程中， 的度数是否随 之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． ． 【变式训练2】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点 放置于直线 上，直角边 与直线 重合，其中 ，然后将三角板 绕点 顺时针旋转，设 ，从点 引射线 和 ， 平分 ， ． (1)如图2，填空：当 时， ______ ． (2)如图2，当 时，求 的度数（用含 的代数式表示）； (3)如图3，当 时，请判断 的值是否为定值，若为定值，求 出该定值，若不是定值，请说明理由． 类型二、数量关系问题