专题4.6 动角问题专项训练（40道）（解析版）

专题46 动角问题专项训练（40 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了动角的综合问题的 所有类型！ 一．解答题（共40 小题） 1．（2022·吉林白山·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为 垂角，例如：∠1＝120°，| 1 2| ∠﹣∠ ＝90°，则∠1 和∠2 互为垂角．(本题中所有角都是指大 于0°且小于180°的角) (1)如图1 所示，为直线B 上一点，∠＝90°，则∠D 垂角为 和 ； (2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的2 3 ，求这个角的度数； (3)如图2 所示，为直线B 上一点，∠＝90°，∠BD＝30°，且射线绕点以9°/s 的速度逆时针旋 转，射线D 绕点以6°/s 的速度顺时针旋转，两条射线、D 同时运动，运动时间为ts(0＜t＜ 20)，试求当t 为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角． 【答】(1)∠D，∠E (2)18°或126° (3)2s 或14s 【分析】（1）根据互为垂角的定义即可求解； （2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的2 3”作为等量关系列方程求解； ( 3 )根据所有角都是指大于0 且小于180°的角，可分0＜t＜5，5＜t＜10，10＜t＜20 三种情 况讨论，并建立相应的方程求解后可得符合题意的t 的值． (1) ∵∠＝90°，∠ED＝90°， ∴∠D﹣∠D＝90°，∠D﹣∠E＝90°， ∴D 的垂角是∠D 和∠E； 1 故答为：∠D，∠E； (2) 设这个角的度数为x 度，则 ①当0＜x＜90 时，它的垂角是(90+x)度，根据题意得： 90+x＝2 3( 180﹣x )， 解得：x＝18； ②当90＜x＜180 时，它的垂角是(x 90) ﹣ 度，根据题意得： x 90 ﹣ ＝2 3(180﹣x)， 解得：x＝126， ∴这个角的度数为18°或126°； (3) 分三种情况： ①当0＜t＜5 时，∠＝(90 9 ﹣t)°，∠D＝(150+6t)°， (150+6 ∴ t) (90 9 ﹣ ﹣t)＝90， 解得t＝2； ②当5＜t＜10 时，∠＝(90 9 ﹣t )°，∠D＝(210 6 ﹣t)°， (210 6 ∴ ﹣t) (90 9 ﹣ ﹣t)＝90， 解得t＝﹣10(舍去)； ③当10＜t＜20 时，∠＝(9t 90)° ﹣ ，∠D＝(210 6 ﹣t)°， ( 210 6 ∴ ﹣t) (9 ﹣ t 90) ﹣ ＝90， 解得：t＝14． 综上所述：t 的值为2s 或14s 时，∠和∠D 互为垂角． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和新定义以及角的有关计算等知识，解此题 的关键是理解题意，能准确从图中找出角之间的关系，并利用方程模型计算出结果． 2．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点D、、共线且∠D＝20°，∠B＝80°，射线M， 分别平分∠B 和∠BD． 如图2，将射线D 以每秒6°的速度绕点顺时针旋转一周，同时将∠B 以每秒4°的速度绕点顺 时针旋转，当射线与射线重合时，∠B 停止运动．设射线D 的运动时间为t． 1 (1)运动开始前，如图1，∠M＝ °，∠D＝ °； (2)旋转过程中，当t 为何值时，射线B 平分∠？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠M＝35°？若存在，请求出t 的值；若不存在，请 说明理由． 【答】(1)40°，50° (2)当t 为10 时，射线B 平分∠； (3)存在，符合条件的t 的值为55 3 或25． 【分析】（1）根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据∠B=∠B 列方程求解即可； （3）分情况根据∠M=35°列方程求解即可． (1) 解：∵∠D=20°，∠B=80°， ∴∠BD=20°+80°=100°， ∠B=180°-∠BD=180°-100°=80°， ∵射线M，分别平分∠B 和∠BD， ∴∠M=1 2∠B=40°，∠D=1 2∠BD=50°， 故答为：40，50； (2) 解：∵射线D 以每秒6°的速度绕点顺时针旋转，∠B 以每秒4°的速度绕点顺时针旋转， ∴∠BD=100°+4°t-6°t=100°-2°t， ∵∠B=180°-80°-20°-4°t=80°-4°t， ∴1 2×（100°-2°t）=80°-4°t， 解得：t=10， 1 ∴当t 为10 时，射线B 平分∠； (3) 解：存在某一时刻使得∠M=35°，分以下两种情况： ①M 在上方， 此时∠B+∠BM=35°， 即1 2×（100°-2°t）+1 2×（80°-4°t）=35°， 解得t=55 3 ， ②M 在下方， 即1 2×（100°-2°t）+1 2（4°t-80°）=35°， 解得t=25， 综上，符合条件的t 的值为55 3 或25． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据角的关系列方程求解是解题的关键． 3．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线 OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外 一个角的3 倍，则称射线OC为∠AOB的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于0°而 小于180°的角．） (1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，求∠AOC的度数； (3)如图②，已知∠AOB=60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋 转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒 （0<t<9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的 “幸福线”，求出所有可能的t值． 【答】(1)是； (2)15°，33.75°，11.25°，30°； 1 (3)t=36 13或t= 4 5 或t=6． 【分析】（1）若为∠B 的三等分线，则有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福线”的定义； （2）根据“幸福线”的定义可得当∠AOB=3∠AOC时，当∠AOC=3∠BOC时， 当∠BOC=3∠AOC时，当∠AOB=3∠BOC时，然后根据角的和差关系进行求解即 可； （3）由题意可分①当0<t<4时ON在与OA重合之前，则有∠MOA=20t， ∠AON=60−15t，由OA是∠MON的“幸福线”可进行分类求解；②当4<t<9时， ON在与OA重合之后，则有∠AON=15t−60，∠MON=5t+60，由ON是∠AOM 的“幸福线”可分类进行求解． （1） 解：若为∠B 的三等分线，则有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福线”的定义，所以角的 三等分线是这个角的“幸福线”； 故答为：是． （2） 解：由题意得： ∵∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”， ① ∴ 当∠AOB=3∠AOC时，则有：∠AOC=15°； ②当∠AOC=3∠BOC时，则有∠AOC= 3 4 ∠AOB=33.75°； ③当∠BOC=3∠AOC时，则有∠AOC= 1 4 ∠AOB=11.25°； ④当∠AOB=3∠BOC时，则有：∠BOC=15°；∠AOC=30°； 综上所述：当射线OC为∠AOB的“幸福线”时，∠的度数为15°，33.75°，11.25°， 30°； （3） 解：∵∠AOB=60°， ∴射线与重合的时间为60°÷15°=4（秒）， ∴当0<t ≤4时ON在与OA重合之前，如图所示： 1 ∴∠MOA=20t°，∠AON=（60−15t ）°， OA是∠MON的“幸福线”，则有以下三类情况： ①∠MOA=3∠MON，即20t=3 (20t+60−15t )，t=36（舍去）， ②∠MOA=3∠AON，即20t=3 (60−15t )，t=36 13 ， ③∠AON=3∠MOA，即60−15t=3×20t，t= 4 5 ； ④∠AON=3∠MON，即60−15t=3× (60+5t )，t=−4（舍去）； 当4<t<9时，ON在与OA重合之后，如图所示： ∴∠MON=（5t+60）°，∠AON=（15t−60）°， ON是∠AOM的“幸福线”，则有以下三类情况： ①∠MON=3∠MOA，即5t+60=3×20t，t=12 11（不符合题意，舍去）， ②∠NOA=3∠MOA，即15t−60=3×20t，t=−4 3 （不符合题意，舍去）； ③∠MON=3∠NOA，即5t+60=3 (15t−60)，t=6； ④∠NOA=3∠MON，即15t−60=3 (5t+60)，t不存在； 综上：t=36 13或t= 4 5 或t=6． 【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，熟练掌握角的三等分点的计 算及角之间的和差关系是解题的关键． 4．（2022·四川成都·七年级期末）【阅读理解】 定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分 别与另外两条射线组成的角恰好满足2 倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双 倍和谐线”．如图1，点P 在直线l 上，射线PR，PS，PT 位于直线l 同侧，若PS 平分 ∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR 是射线PS，PT 的“双倍和谐线”． 1 【迁移运用】 (1)如图1，射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT 的“双倍和谐线”；射线 PT （选填“是”或“不是”）射线PS，PR 的“双倍和谐线”； (2)如图2，点在直线M 上，⊥M，∠B＝40°，射线从出发，绕点以每秒4°的速度逆时针旋 转，运动时间为t 秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线B，的“双倍和谐线”时，求t 的值； ②若在射线旋转的同时，∠B 绕点以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线D 平分∠B．当射线位于射线D 左侧且射线是射线M，D 的“双倍和谐线”时，求∠的度数． 【答】(1)不是；是 (2)①5 2或35 2 ；②160°或172° 【分析】（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可； （2）①由题意得：∠=90°-4°t，∠B=40°，利用分类讨论的思想方法分∠=2∠B 或∠B=2∠两种 情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论； ②由题意得：∠=4°t，∠=90°+2°t，∠D=20°，∠D= - ∠∠D=70°+2°t，利用分类讨论的思想方法 分∠M=2∠D 或∠D=2∠M 两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论． （1）解：∵PS 平分∠RPT，∴∠RPS=∠TPS，∴射线PS 不是射线PR，PT 的“双倍和谐线”； ∵PS 平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS．∴射线PT 是射线PS，PR 的“双倍和谐线”．故答为： 不是；是； （2）①由题意得：∠=90°-4°t，∠B=40°．∵射线是射线B，的“双倍和谐线”，∴∠=2∠B 或 ∠B=2∠．当∠=2∠B 时，如图， 则：90-4t=2×40．解得：t= 1 5 2 ，当∠B=2∠时，如图， 则：40=2（90-4t）．解得： t=35 2 ，综上，当射线是射线B，的“双倍和谐线”时，t 的值为5 2或35 2 ；②由题意得： ∠=4°t，∠=90°+2°t，∠D=20°，∠D= - ∠∠D=70°+2°t．∵当射线与射线重合时，运动停止，∴此 时∠=∠．∴90+2t=4t．∴t=45．∴当t=45 秒时，运动停止，此时∠=180°．∵射线位于射线D 左 侧且射线是射线M，D 的“双倍和谐线”，∴∠M=2∠D 或∠D=2∠M．当∠M=2∠D 时，如图， 即：180°- =2 ∠ （∠-∠D），则：180-4t=2（4t-70-2t）．解得： t=40．∴∠=4°×40=160°．当∠D=2∠M 时，如图， 即：∠- ∠D=2（180°-∠）．则：4t-（70+2t）=2（180-4t）．解得：t=43．∴∠=4°×43=172°．综上， 当射线位于射线D 左侧且射线是射线M，D 的“双倍和谐线”时，∠的度数为160°或 172°． 【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用 新定义是解题的关键． 5．（2022·浙江金华·七年级期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12 个大格，每个大格 分成5 个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过 的角度是05 度，分针每分针转过的角度是6 度． 1 (1)解决问题：当时钟的时刻是8：30 时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数． (2)8：00 开始几分钟后分针第一次追上时针． (3)设在8：00 时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ． 问：在8：00~9：00 之间，从8：00 开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中 一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？ 【答】(1)75° (2)480 11 分钟 (3)480 13 分钟或960 23 分钟或48 分钟 【分析】（1）根据8：30 时，时针与分针的夹角是25 个大格，可得所夹的锐角的度数； （2）计算出8：00 时时针与分针所夹钝角的度数，设x 分钟后分针第一次追上时针，利用 追击问题列方程，即可求解； （3）分OB平分∠QOP，OP平分∠QOB，OQ平分∠POB三种情况，利用角的和、差、 倍数关系列方程，即可求解． （1）解：8：30 时，时针与分针的夹角是25 个大格，2.5×30°=75°，即分针与时针所 夹的锐角的度数是75°． （2）解：设x 分钟后分针第一次追上时针．8：00 时，时针与分针所夹钝角是8 个大格， 8×30°=240°，由题意，6 x−0.5 x=240，解得x= 480 11 ，即8：00 开始480 11 分钟后分针 第一次追上时针． （3）解：设运动m 分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所 夹的角的平分线．分三种情况： 1 如图①，当 OB 平 分∠QOP时，∠QOB=∠POB，∴0.5m=240−6m，解得m= 480 13 ；如图②，当OP 平分∠QOB时，∠QOB=2∠POB，∴0.5m=2 (6m−240)，解得m=960 23 ；如图③， 当OQ平分∠POB时，∠POB=2∠QOB，∴6m−240=2×0.5m，解得m=48；综上， 运动480 13 分钟或960 23 分钟或48 分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外 两条射线所夹的角的平分线． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，以及角平分线的定义，能够计算出任一时刻时针 与分针之间的角度是解题的关键． 6．（2022·贵州铜仁·七年级期末）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生 进行实践探究，用一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如图 所示摆放在量角器上，边PD 与量角器180°刻度线重合，边P 与量角器0°刻度线重合，将 三角尺BP 绕量角器中心点P 以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB 与180°刻度线重合时 停止运动，设三角尺BP 的运动时间为t 秒． (1)当t=5时，∠BPD=¿__________°； (2)若在三角尺BP 开始旋转的同时，三角尺PD 也绕点P 以每秒2°的速度逆时针旋转，当 三角尺BP 停止旋转时，三角尺PD 也停止旋转． ①当t 为何值时，边PB 平分∠CPD； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请求出t 的值；若 1 不存在，请说明理由． 【答】(1)85 (2)①当t=35 4 时，边PB 平分∠PD；②当t=125 12 或t=35 4 时，∠BPD=2∠P． 【分析】（1）当t=5 秒时，计算出边BP 旋转的角度的大小即可得出结论； （2）①如图1，根据PB 平分∠PD，利用角平分线的定义可得∠PB=∠BPD=1 2∠PD=30°，利 用含t 的代数式分别表示出∠MPB 和∠BPD 的度数，列出关于t 的方程，解方程即可求解； ②设时间为t 秒，则∠PM=10°t，∠DP=2°t，分两种情况说明：Ⅰ）当P 在P 左侧时，如图 2 所示：Ⅱ）当P 在P 右侧时，如图3，根据旋转过程得出的角度的大小列出方程即可求得 结论． （1） 解：当t=5 秒时，由旋转知，边BP 旋转的角度为：10°×5=50°， ∴∠BPD= 180°-（45°+50°）=85°， 故答为：85； （2） 解：①如图1 所示： 由题意得：∠MPB=10°t+45°，∠DP=2°t． ∵PB 平分∠PD； ∴∠PB=∠BPD=1 2∠PD=30°， 由∠MP=∠MPB+∠BPD+∠DP=180°得： 10°t+45°+30°+2°t=180°， 解得，t=35 4 ， ∴当t=35 4 时，边PB 平分∠PD； ②在旋转过程中，存在某一时刻使∠BPD=2∠P． 1 ∵运动时间为t 秒，则∠PM=10°t，∠DP=2°t， Ⅰ）当P 在P 左侧时，如图2 所示： 此时，∠P=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t， ∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t， ∵∠BPD=2∠P， 135°-12° ∴ t=2（120°-12°t）， 解得：t=35 4 ， 因为当t=35 4 时，运动的情况刚好同解答图的图1， 此时∠BPD=30°，∠P=15°，∠BPD=2∠P．是成立的； Ⅱ）当P 在P 右侧时，如图3 所示： 此时，∠P=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°， ∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t， ∵∠BPD=2∠P， 135°-12° ∴ t=2（12°t-120°）， 解得：t=125 12 ． 当PB 在PD 的右侧时，∠P=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°， 则12°t-135°=2（12°t-120°）， 解得：t=35 4 ， 此时PB 在PD 的左侧，所以和假设情况矛盾，不符合题意，舍去． 1 综上所述，当t=125 12 或t=35 4 时，∠BPD=2∠P． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，量角器的识别，角平分线的定 义，角的计算，一元一次方程的应用，设运动的时间为t，用含t 的代数式表示出∠P 与 ∠BPD 的值是解本题的关键． 7．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图1, 已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发， 以每秒2°的速度按顺时针方向向射线OB旋转；与此同时， 射线OQ以每秒4°的速度，从 OB位置出发按逆时针方向向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度按顺时针方向 返回，当射线OP与射线OB 重合时，两条射线同时停止运