专题09 几何中种动角问题的两种考法（教师版）

专题09 几何中动角问题的两种考法 类型一、判断角的数量之间的关系 例．如图所示，是直线 上的一点， 是直角， 平分 ． (1)如图①，若 ，求 的度数； (2)在图①，若 ，直接写出 的度数_________(用含的代数式表示)； (3)将图①中的 绕顶点顺时针旋转至图②的位置． ①探究 和 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在 的内部有一条射线 ，满足 ，试确定 与 的 度数之间的关系，说明理由． 【答】(1)14°；(2) ；(3)①∠＝2∠DE；(2)2∠DE− ∠F＝90° 【详解】解：(1)∵∠D 是直角，E 平分∠B，∠＝28°， ∴∠B＝180°−∠＝152°，∠E＝ ∠B，∠D＝90°． ∴∠E＝76°，∠DE＝∠D−∠E＝90°−76°＝14°．即∠DE＝14°； (2)∵∠D 是直角，E 平分∠B，∠＝， ∴∠DE＝90°− ＝ ．故答是： ； (3)①∠＝2∠DE． 理由：∵E 平分∠B， ∴∠B＝2∠E． ∵∠D 是直角，∠＋∠B＝180°， ∴∠DE＋∠E＝90°，∠＋2∠E＝180°． ∴∠＋2(90°−∠DE)＝180°． 化简，得∠＝2∠DE； ②2∠DE− ∠F＝90°． 理由：∵ ， 2 ∴∠F＋∠BE＝ ( − ∠∠F)， 2 ∴∠F＋∠BE＝ ∠− ∠F． 又∵∠＝2∠DE， ∴ ∠F＝∠DE−∠BE， ∴ ∠F＝∠DB． ∵∠DB＋∠B＝90°，∠＋∠B＝180°，∠＝2∠DE． ∴ ∠F＋180°−∠＝90°． ∴ ∠F＋180°−2∠DE＝90°． 化简，得2∠DE− ∠F＝90°． 【变式训练1】已知∠B＝∠D＝90°，E 平分∠B． (1)如图，若∠＝30°，则∠DE 的度数是______；(直接写出答) (2)将(1)中的条件“∠＝30°”改为“∠是锐角”，猜想∠DE 与∠的关系，并说明理由； (3)若∠是钝角，请先画出图形，再探索∠DE 与∠之间的数量关系．(不用写探索过程，将结论直接写在你画 的图的下面) 【答】(1)60°；(2) ，理由见解析 (3) +2 ∠ ∠DE=270°或2∠DE- =90° ∠ 或∠+2∠DE=450°或∠-2∠DE=90° 【解析】(1)解：∵∠B=90°，∠=30°，∴∠B=∠B- =60° ∠ ， ∵E 平分∠B，∴∠E=∠BE=30°， ∵∠D=90°，∴∠DE=∠D-∠E=60°，故答为：60° (2)解： ，理由如下： ∵∠B=90°，∴∠B=∠B- =90°- ∠ ∠ ∵E 平分∠B，∴ ∵∠D=90°，∴ (3)：如图3-1 所示，当D 在∠B 内部时， ∵E 平分∠B，∴∠B=2∠BE=2∠E， ∵∠B=∠D=90°， = ∴∠∠B+∠B=90°+2∠E，∠DE=∠D-∠E=90°-∠E， +2 ∴∠ ∠DE=90°+2∠E+180°-2∠E=270°； 如图3-2 所示，当D 在∠B 外部时， 同理可以求出∠=∠B+∠B=90°+2∠E，∠DE=∠D+∠E=90°+∠E， 2 ∴∠DE- = 180°+2 ∠ ∠E-90°-2∠E =90°； 如图3-3 所示，当D 在∠B 外部时， 同理可以求出∠=360°-∠B-∠B=270°-2∠E，∠DE=90°+∠E， +2 ∴∠ ∠DE=270°-2∠E+180°+2∠E=450°； 如图3-4 所示，当D 在△B 外部时， 同理可以求出∠=270°-2∠E，∠DE=90°-∠E，∴∠-2∠DE=90°； 综上所述，∠+2∠DE=270°或2∠DE- =90° ∠ 或∠+2∠DE=450°或∠-2∠DE=90°． 【变式训练2】如图，以直线B 上一点为端点作射线，使 ，将一个直角三角形的直角顶点放在 点处．(注： ) (1)如图①，若直角三角板DE 的一边D 放在射线B 上，则 ________ ； (2)如图②，将直角三角板DE 转到如图位置，当恰好平分 时，求 的度数； (3)如图③，将直角三角板DE 绕点转动，如果D 始终在 的内部，直接写出 和 的数量关 系_________． 【答】(1)20；(2)25°；(3) E- BD=20° ∠∠ 【详解】解：(1)如图①，∠E= DE- B=90°-70°=20° ∠ ∠ ，故答为：20； (2)如图②，∵平分∠ED，∠DE=90°，∴∠D= DE=45° ∠ ， B=70° ∵∠ ，∴∠BD= B- D=25° ∠ ∠ ； (3) E- BD=20° ∠∠ ， 理由是：如图③，∵∠BD+ D= B=70° ∠ ∠ ，∠E+ D= DE=90° ∠ ∠ ， ( E+ D)-( BD+ D)= E+ D- BD- D= E- BD=90°-70°=20° ∴∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠∠ ， 即∠E- BD=20° ∠ ． 【变式训练3】已知 ， ， ， 分别平分 ， ． (1)如图1，当 ， 重合时， 度； (2)若将 的从图1 的位置绕点 顺时针旋转，旋转角 ，满足 且 ． ①如图2，用等式表示 与 之间的数量关系，并说明理由； ②在 旋转过程中，请用等式表示 与 之间的数量关系，并直接写出答． 【答】(1) ；(2)① ；② 时， ； 时， 【解析】(1) ， 重合， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ； (2)① ；理由如下： 平分 ， 平分 ， ， ， ， ； ②由①得： ， ， 当 时，如图2 所示： ， ， ，∴ 当 时，如图3 所示： ， ， ； ∴ 综上所述， 时， ； 时， 【变式训练4】如图，已知 ，将一个直角三角形纸片( )的一个顶点放在点 处，现将 三角形纸片绕点 任意转动， 平分斜边 与 的夹角， 平分 (1)将三角形纸片绕点 转动(三角形纸片始终保持在 的内部)，若 ，则 _______； (2)将三角形纸片绕点 转动(三角形纸片始终保持在 的内部)，若射线 恰好平分 ，若 ，求 的度数; (3)将三角形纸片绕点 从 与 重合位置逆时针转到 与 重合的位置，猜想在转动过程中 和 的数量关系？并说明理由 【答】(1) ；(2) ；(3) ，证明见解析 【详解】解：(1)∵ 平分斜边 与 的夹角， 平分 ． M ∴ 平分∠, 平分∠BD ∴设 ∴ ， ∵ ∴ ，∴ ，故答为: (2)∵ ，∴设 ∵射线 恰好平方 ，∴ ∴ ∵ 平分斜边 与 的夹角， 平分 ．∴M 平分∠, 平分∠BD ∴ ，∴ ∵ ，∴ ，∴ (3) ,证明如下： 当与重合时，设∠D=x,则 ∵平分∠BD ∴ ∴ ，∴ 当在的左侧时 设∠D=，∠=b，则∠BD= B- D=150°- ∠ ∠ ，∠D= D+ =+b ∠ ∠ ∵平分∠BD，∴ M ∵ 平分∠，∴ M= M+ D+ D ∴∠ ∠ ∠ ∠ 当D 与重合时，∵平分∠B，∴ M ∵ 平分∠，∴ ，∴ 综上所述 类型二、定值问题 例．已知将一副三角尺(直角三角尺 和 )的两个顶点重合于点 ， ， (1)如图1，将三角尺 绕点 逆时针方向转动，当 恰好平分 时，求 的度数； (2)如图2，当三角尺 摆放在 内部时，作射线 平分 ，射线 平分 ，如果三角 尺 在 内绕点 任意转动， 的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明 理由． 【答】(1) ；(2)不变． 【详解】解：(1) 平分 ， ， ； 图1 图2 (2)不变． 平分 ， 平分 ， 【变式训练1】如图，两条直线B、D 相交于点，且∠=90°，射线M 从B 开始绕点逆时针方向旋转，速度为 15°/s，射线同时从D 开始绕点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线M、同时运动，运动时间为t 秒． (本题出现的角均小于平角) (1)当t=2 时，∠M 的度数为 ，∠B 的度数为 ；∠M 的度数为 (2)当0＜t＜12 时，若∠M=3 -60° ∠ ，试求出t 的值； (3)当0＜t＜6 时，探究 的值，问：t 满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？ 【答】(1)144°，114°，60°；(2)t 的值为 秒或10 秒；(3)当0＜t＜ 时， 的值不是定 值；当 ＜t＜6 时， 的值是3． 【详解】(1)由题意得：∠M= BM+ BD+ D=2×15°+90°+2×12°=144° ∠ ∠ ∠ ， B= BD+ D=90°+24°=114° ∠ ∠ ∠ ，∠M= B- BM=90°-2×15°=60° ∠ ∠ ， 故答为：144°，114°，60°； (2)当与重合时，t=90÷12=75(s)，当M 与重合时，t=180°÷15=12(s) ①如图所示，当0＜t≤75 时，∠=90°-12t°，∠M=180°-15t° 由∠M=3 -60° ∠ ，可得180-15t=3(90-12t)-60， 解得t= ， ②如图所示，当75＜t＜12 时，∠=12t°-90°，∠M=180°-15t°， 由∠M=3 -60° ∠ ，可得180-15t=3(12t-90)-60，解得t=10，综上，t 的值为 秒或10 秒； (3)当∠M=180°时，∠BM+ BD+ D=180° ∠ ∠ ，∴15t+90+12t=180，解得t= ， ①如图所示，当0＜t＜ 时，∠M=90°-15t°，∠B=90°+12t°， M= BM+ BD+ D=15t°+90°+12t° ∠ ∠ ∠ ∠ ， ∴ (不是定值)， ②如图所示，当 ＜t＜6 时，∠M=90°-15t°，∠B=90°+12t°， M=360°-( BM+ BD+ D)=360°-(15t°+90°+12t°)=270°-27t° ∠ ∠ ∠ ∠ ， ∴ =3(定值)， 综上所述，当0＜t＜ 时， 的值不是定值；当 ＜t＜6 时， 的值 是3． 【变式训练2】已知将一副三角板( )如图1 摆放，点、、在一条直线上．将直角三 角板 绕点逆时针方向转动，变化摆放如图位置． (1)如图1，当点、、在同一条直线上时， _______度；如图2，若要 恰好平分 ，则 _______度； (2)如图3，当三角板 摆放在 内部时，作射线 平分 ，射线 平分 ，如果三角 板 在 内绕点任意转动， 的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理 由． (3)当三角板 从图1 的位置开始，绕点逆时针方向旋转一周，保持射线 平分 、射线 平分 ( )，在旋转过程中，(2)中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明 理由；如果变化，请说明变化的情况和结果(即旋转角度在什么范围内时 的度数是多少)． 【答】(1)60，75；(2) ，理由见详解；(3)①当 时， ；②当 时， 或120°，③当 时， ；④当 时， 或60°； ⑤当 时， 【详解】解：(1)由题意得： ，∴ ， ∵ 恰好平分 ，∴ ，∴ ；故答为60，75； (2) 的度数不发生变化，理由如下： ∵射线 平分 ，射线 平分 ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ； (3)设旋转角度为 ，根据题意可得： ， ∵射线 平分 ，射线 平分 ，∴ ， ①当 时，如图所示： ∴ ， ②当 时，即 为平角，可分为： 当点M 在B 上，如图所示： ∴ ， ∴ ； 当点M 在B 的延长线时，如图所示： ∴ ； ③当 时，如图所示： ∴ ， ∴ ，解得： ， ∴ ； ④当 时，则 ，如图所示： ∴当平分在∠BD 的左边时，则 ，当平分在∠BD 的右边时，则 ； ⑤当 时，如图所示： ∴ ， ∴ ． 类型三、求值问题 例如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将一直角三角板( )的直 角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方．(注：本题旋转角度 最多 ．) (1)将图1 中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后， ______度 (用含的式子表示)，若 恰好平分 ，则 ______秒(直接写结果)． (2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，如 图3，经过秒后， ______度(用含的式子表示)若 平分 ，求为多少秒？ (3)若(2)问的条件不变，那么经过秒 平分 ？(直接写结果) 【答】(1) ，5；(2) ， ；(3)经过 秒 平分 【解析】(1) ，∵ ，∴ ∵ 平分 ， ，∴ ，∴ ∴ ，解得： 秒 (2) 度，∵ ， 平分 ，∴ ∴ ，∴ 解得： 秒 (3)如图： ∵ ， 由题可设 为 ， 为 ， ∴ ∵ ， ， 解得： 秒 答：经过 秒 平分 ． 【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起． (1)若∠DE＝35°，∠B＝ ；若∠B＝140°，则∠DE＝ ； (2)猜想∠B 与∠DE 的大小有何特殊关系，并说明理由； (3)若保持三角尺BE 不动，三角尺D 的D 边与B 边重合，然后将三角尺D 绕点按逆时针方向任意转动一个 角度∠BD．设∠BD＝α(0°＜α＜90°) ①∠B 能否是∠DE 的4 倍？若能求出α 的值；若不能说明理由． ②三角尺D 转动中，∠BD 每秒转动3°，当∠DE＝21°时，转动了多少秒？ 【答】(1)∠B＝145°；∠DE＝40°；(2)∠B+∠DE＝180°或互补，理由见解析；(3)①能；理由见解析，α＝ 54°；②23 秒 【详解】解：(1)∵∠D＝∠EB＝90°，∠DE＝35°，∴∠B＝180° 35° ﹣ ＝145°． ∵∠D＝∠EB＝90°，∠B＝140°，∴∠DE＝180° 140° ﹣ ＝40°． 故答为：145°，40°； (2)∠B+∠DE＝180°或互补，理由：∵∠E+∠ED+∠DB+∠ED＝180． ∵∠E+∠ED+∠DB＝∠B，∴∠B+∠DE＝180°，即∠B 与∠DE 互补． (3)①当∠B 是∠DE 的4 倍，∴设∠B＝4x，∠DE＝x， ∵∠B+∠DE＝180°，∴4x+x＝180°解得：x＝36°，∴α＝90° 36° ﹣ ＝54°； ②设当∠DE＝21°时，转动了t 秒，∵∠BD+∠DE＝90°，∴3t+21＝90，t＝23°， 答：当∠DE＝21°时，转动了23 秒． 【变式训练2】如图(1)，∠B 和∠B 都是锐角，射线B 在∠内部， ， ．(本题所涉及的 角都是小于180°的角) (1)如图(2)，M 平分∠B，平分∠，填空： ①当 ， 时， ______， ______， ______； ② ______(用含有 或 的代数式表示)． (2)如图(3)，P 为∠B 内任意一点，直线PQ 过点，点Q 在∠B 外部： ①当M 平分∠PB，平分∠P，∠M 的度数为______； ②当M 平分∠QB，平分∠Q，∠M 的度数为______； (∠M 的度数用含有 或 的代数式表示) (3)如图(4)，当 ， 时，射线P 从处以5°/分的速度绕点开始逆时针旋转一周，同时射线Q 从B 处以相同的速度绕点逆时针也旋转一周，M 平分∠PQ，平分∠P，那么多少分钟时，∠M 的度数是40°？ 【答】(1) ；(2) ， ；(3) 分钟时，∠M 的度数是40° 【解析】(1)① M 平分∠B，平分∠， 当 ， 时， ， ， ② ，故答为： (2)① M 平分∠PB，平分∠P， ② M 平分∠QB，平分∠Q， 故答为： ， (3)根据题意 M 平分∠PQ， ，如图，当 在 的外部时， M 的度数是40° 平分∠P， ， ，则 旋转了 分，即 分钟时，∠M 的度数是40° 如图， 在 的内部时， ，即 ， 此情况不存在，综上所述， 分钟时，∠M 的度数是40° 【变式训练3】如图1，点、、B 依次在直线 上，现将射线 绕点沿顺时针方向以每秒 的速度旋 转，同时射线 绕点沿逆时针方向以每秒 的速度旋转，如图2，设旋转时间为 ． (1)用含t 的代数式表示： _______ ， _______ ． (2)在运动过程中，当 时，求t 的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得直线 平分由射线 、射线 、射线 中的任意两条射 线组成的角(大于 而小于 )？ 【答】(1) ， ；(2)当 时， 或40 或80；(3)存在，当直线 平分由射线 、射线 、射线 中的任意两条射线组成的角时， 或36 或54 或72． 【解析】(1)由题意得：射线 的运动路程为 ，射线 的运动路程为 ，∴ ， 当 时， ，当 时， ， ∴ ；故答为 ， ； (2)由题意可得射线 与射线 相遇的时间为： ，解得： ， ∴当射线 与射线 相遇前， 时，如图所示： ∴ ，解得： ， 当射线 与射线 相遇后，且射线 还没有过直线 时， ，如图所示： ，解得： ， 当射线 过了直线 时， ，如图所示： ，解得： ， 综上所述：当 时， 或40 或80； (3)存在，理由如下： 由 ， ， ，则可分： ①若直线 平分 时，如图所示： ∴ ， ，∴ ，解得： ； 若直线 平分 时，如图所示： ∴ ，∴ ，解得： ； ②若直线 平分 时，如图所示： ∴ ，∴ ，解得： ； 若直线 平分 时，如图所示： ∴ ， ， ∴ ，解得： ； 综上所述：当直线 平分由射线 、射线 、射线 中的任意两条射线组成的角时， 或36 或54 或72． 课后训练 1．如图1，点为直线B 上一点，过点作射线，使 ．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一 直角边M 在射线B 上，另一直角边在直线B 的下方． (1)将图1 中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使边M 在 的内部，且恰好平分 ．问：此时直线 是否平分 ？请说明理由． (2)将图1 中的三角板绕点以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第秒时，直线恰好平分 ，则的值为______(点接写结果) (3)若图1 中的三角板绕点旋转至图3，使在 的内部时， 的度数是多少？ 【答】(1)平分，理由见解析；(2)10 或40；(3)30° 【解析】(1)解：(1)直线平分∠．理由： 设的反向延长线为D， ∵M 平分∠B，∴∠M＝∠MB， 又∵M⊥，∴∠MD＝∠M＝90°，∴∠D＝∠B， 又∵∠D＝∠B(对顶角相等)， ∴∠D＝∠D，∴D 平分∠， 即直线平分∠； (2)解：由(1)得，∠BM＝60°时，直线恰好平分 ， 即旋转60°时，平分∠， 再旋转180°即旋转240°时，平分∠， 由题意得，6＝60°或6＝240°， ∴＝10 或40； 故答为：10 或40； (3)解：∵∠M＝90°，∠＝60°， ∴∠M＝90°﹣∠，∠＝60°﹣∠， ∴∠M﹣∠＝(90° ) (60° ) ﹣∠﹣ ﹣∠＝30°． 2．如图所示，