专题10 几何图形中动角问题的三种考法（解析版）

专题10 几何图形中动角问题的三种考法 类型一、定值问题 例．如图1，把一副三角板拼在一起，边 与直线 重合，其中 ， ．此时易得 ． (1)如图2，三角板 固定不动，将三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针开始旋转， 在转动过程中，三角板 一直在 的内部，设三角尺 运动时间为秒． ①当 时， ； ②求当为何值时，使得 ； (2)如图3，在（1）的条件下，若 平分 ， 平分 ． ①当 时， ； ②请问在三角板 的旋转过程中， 的度数是否会发生变化？如果发生变化，请 叙述理由；如果不发生变化，请求出 的度数． 【答】(1)① ；② (2)① ；②不变化， 【分析】（1）①根据题意和角的和差进行求解即可； ②由 ，结合题意可得 ，从而得出 ， ，进而求出时间； （2）①根据 平分 ， 平分 ，可得 ，则可以将 整理为 ，进而得出答； ②根据 平分 ， 平分 ，可得 ， ，进而推导出 ，继而 得出答． 【详解】（1）解：①当 时， ， ∴ ， 故答为： ； ②∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 秒， ∴当为 秒时， ； （2）①∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ； ② 的度数不发生变化， 理由： 平分 ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ． 【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相 应角的数量关系是解本题的关键． 【变式训练1】已知 与 互补，将 绕点逆时针旋转． (1)若 ①如图1，当 时， ； ②将 绕点逆时针旋转至 ，求 与 的度数； (2)将 绕点逆时针旋转 ，在旋转过程中， 的度数是否随 之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 【答】(1)①150；② ， 或 ， (2)不改变，其度数为 【分析】（1）①先根据 求出 ，再根据 计算即可； ②设 ，分两种情况：( ) Ⅰ 在 内部，( ) Ⅱ 在 内部，分别讨 论即可； （2）设 ，求出所有情况后判断即可． 【详解】（1）①∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 故答为150； ②( ) Ⅰ当 在 内部时（如图1）， 设 ，则 ， ， 由 得， ， 解得 ， ∴ ， ∴ ； ( ) Ⅱ当 在 内部时（如图2）， 设 ，则 ， 由 得， ， 解得 ， ， ， ∴ ； （2）不改变，其度数为 ． 设 ，由条件知 ， 分四种情况： ) ⅰ当 在 内部时（如图3）， ， ， ， ∴ ； ) ⅱ当 在 内部时（如图4）， ， ， ∴ ； ) ⅲ当 在 内部时（如图5）， ， ， ∴ ； ) ⅳ当 在 外部时（如图6）， ； 综上所述，在旋转过程中， 的度数不改变，其度数为 ． 【点睛】本题考查了角的和差，关键是运用角的和差正确表示所需要的角． 【变式训练2】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点 放置于直线 上，直角边 与直线 重合，其中 ，然后将三角板 绕点 顺时针旋转，设 ，从点 引射线 和 ， 平分 ， ． (1)如图2，填空：当 时， ______ ． (2)如图2，当 时，求 的度数（用含 的代数式表示）； (3)如图3，当 时，请判断 的值是否为定值，若为定值，求 出该定值，若不是定值，请说明理由． 【答】(1)30 (2) (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，可得 ，再结合角平分线的定义即可获得答； （2）当 时，由题意可得 ，结合角平分线的定义易得 ，再由 ， 可知 ， 然后根据 即可获得答； （3）当 时，由题意可得 ， ，结合角平分线 的定义易得 ，再由 ， ，可推导 ，然后根据 ，进而确定 ． 【详解】（1）解：当 时，由题意可知 ， 是平角， ∴ ， 又∵ 平分 ， ∴ ． 故答为：30； （2）当 时，如图2， ∵ 是平角， ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ； （3）当 时（如图3）， 为定值． 理由如下： ∵ 是平角， ， ， ∴ ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为定值，定值为 ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合 图形分析清楚各角之间的关系． 类型二、数量关系问题 例．已知 ，保持 不动， 的 边与 边重合，然后将 绕点按顺时针方向任意转动一个角度 ，（本题中研究的其它角的度 数均小于 ） (1)[特例分析]如图1，若 ，则 _______°， ____ ___° (2)[一般化研究]如图2，若 ，随着 的变化，探索 与 的数量关系， 并说明理由． (3)[继续一般化]随着 的变化，直接写出 与 的数量关系、（结果用含 的代数式表示）． 【答】(1)30；180 (2) ，理由见解析 (3)当 时， ；当 时， ； 当 时， ；当 时， ；当 时， ． 【分析】（1）由转动角度 可知， ，进而利用已知角的和差关系可求 的度数； （2）分 在 内部， 在 外部时， 在 外部时， 在 外部时， 在 外部时， 在 外部时，作出图形进行讨论即可； （3）根据在转动的过程中 的度数，分五种情况，当 时；当 时；当 时；当 时；当 时，作出图形进行讨论即可． 【详解】（1）由转动角度 可知， ， ∵ ，即： ， ∴ ， 故答为：30；180． （2） ，理由如下： 如图， 在 内部， 在 外部时， ∵ ； ∴ ， 如图， 在 外部时， 在 外部时， 如图， 在 外部时， 在 内部时， ∵ ； ∴ ， 综上， ； （3）、、D 线 B、、线 ①当 时， ，则 ， ∴ ； ②当 时， ， ∴ ③当 时， ，∴ ④当 时， ， ∴ ⑤当 时， ， ∴ 综上，当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． 【点睛】本题考查了角的有关计算，根据题目要求作出图形，利用角度的和差关系是解决 问题的关键问题． 【变式训练1】已知 ， 平分 ． (1)如图①，若 ，求 的度数； (2)将 绕顶点按逆时针方向旋转至如图②的位置， 和 有怎样的数量关系？ 请说明理由； (3)将 绕顶点按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理 由． 【答】(1) (2) ，理由见解析 (3)不成立，理由见解析 【分析】（1）先求出 的度数，根据 ，求出 ，角平分线 得到 ，再利用 ，即可得解； （2）设 ，易得： ，求出 ，即可得出结论； （3）设 ，则 ， ，求出 ，进而得到 和 的数量关系， 即可得出结论． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ； （2）解： ；理由如下： 设 ，则 ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）不成立，理由如下： 设 ，则 ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∴（2）中的关系不成立． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握角 平分线平分角，是解题的关键． 【变式训练2】如图， ， ，射线 平分 ，射线 平分 （本题中的角均为大于 且小于 的角）． (1)如图，当 ， 重合时，求 的度数； (2)当 从图中所示位置绕点顺时针旋转度 时， 的值是否为 定值？若是定值，求出 的值，若不是，请说明理由． (3)当 从图中所示位置绕点顺时针旋转度 时， 与 具有怎样 的数量关系？ 【答】(1) (2)为定值，理由见解析 (3)当 时， ；当 时， ；当 时， 【分析】(1)根据角平分线的定义知 、 ，再根据 可得答； (2)由题意知 、 ，根据 角平分线的定义得 、 ，代入计算可 得答； (3)分情况计算，利用表示出 ， ，再根据角之间的关系即可求解． 【详解】（1）解： ， ，射线 平分 ，射线 平分 ， 、 ， ； （2）解： 的值为定值， 理由如下：如图： 从图中所示位置绕点顺时针旋转度 ， ，点、D 在直线 的右侧， 射线 平分 ，射线 平分 ， ， ， ， 的值为定值； （3）解：当 时，如图2：由(2)知， ； 当 时，如图3 所示， ， ， 射线 平分 ，射线 平分 ， ， ， ； 当 时，如图4 所示， ， ， 射线 平分 ，射线 平分 ， ， ， ； 综上， 与 具有的数量关系为：当 时， ；当 时， ；当 时， ． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分 类讨论的思想是解决本题的关键． 类型三、求运动时间问题 例1．已知 ，射线 均为 内的射线． (1)如图1，若 为 的三等分线，则 ＝ ； (2)如图2，若 ， 平分 平分 ，求 的大小 (3)射线 以每秒 的速度顺时针方向旋转，射线 以每秒 的速度顺时针方向旋转， 射线 始终平分 ，两条射线同时从图1 的位置出发，当其中一条射线到达 的 位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t 秒，当t 为何值时， 【答】(1) (2) (3) 或 或 【分析】（1）根据三等分角的定义求解即可； （2）设 ，根据角平分线性质表示出 ， ，根据 求解即可； （3）根据运动时间分类讨论，表示出 ，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ 为 的三等分线， ， ∴ ， ； 故答为： ． （2）解：设 ，则 ， ， ， ∵ 平分 平分 ， ∴ ， ， ． （3）解：如图所示，当 时， ， ， ， ∵射线 平分 ， ∴ ， ， ， 解得， ； 如图所示，当 时， ， ， ， ∵射线 平分 ， ∴ ， ， ， 解得， （舍去）； 如图所示，当 时， ， ， ， ∵射线 平分 ， ∴ ， ， ， 解得， 如图所示，当 时， ， ， ， ∵射线 平分 ， ∴ ， ， ， 解得， 【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，解题关键是熟练运用角平分线的性质表示出 角的度数，利用角的和差关系求解． 例2．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角 等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角． 如图1，若射线 ， 在 的内部，且 ，则 是 的内半 角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1， ， ，若 是 的内半角，则 ； (2)如图2，已知 ，将 绕点 按顺时针方向旋转一个角度 （ ）至 ．若 是 的内半角，求 的值； (3)把一块含有 角的三角板 按图3 方式放置．使 边与 边重合， 边与 边重合．如图4，将三角板 绕顶点 以3 度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时 间为秒，当射线 、 、 、 构成内半角时，直接写出的值． 【答】(1) (2) (3) 的值为 或30 或90 或 【分析】（1）根据题意算出 的度数，利用 即可算 出 的度数； （2）根据旋转性质可推出 和 ，然后可用含有 的 式子表示 和 的度数，根据 是 的内半角，即可求出 的值； （3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应值即可． 【详解】（1）解：∵ 是 的内半角， ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ； （2）解：由旋转性质可知： ， ， ∴ ， ， ∵ 是 的内半角， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴ 的值为 ； （3）解：①如图4 所示，此时 是 的内半角， 由旋转性质可知 ， ， ∴ ， ， ∵ 是 的内半角， ∴ ，即 ， 解得 ； ②如图所示，此时 是 的半角， 由旋转性质可得 ， ， ∴ ， ， ∵ 是 的内半角， ∴ ，即 ， 解得 ； ③如图所示，此时 是 的内半角， 由旋转性质可知 ， ， ∴ ， ， ∵ 是 的内半角， ∴ ，即 ， 解得 ； ④如图所示，此时 是 的内半角， 由旋转性质可知 ， ， ∴ ， ， ∵ 是 的内半角， ∴ ，即 ， 解得 ． 综上所述，当射线 、 、 、 构成内半角时，的值为 或30 或90 或 ． 【点睛】本题主要考查了平面内角的相关计算，解题关键是理解内半角并根据旋转情况画 出图形． 【变式训练1】已知直线 过点， ， 是 的平分线． (1)操作发现：①如图 1，若 ，则 °． ②如图1，若 ，则 °． ③如图1，若 ，则 ．（用含α 的代数式表示） (2)操作探究：将图 1 中的 绕顶点顺时针旋转到图2 的位置，其他条件不变，③中的 结论是否成立？试说明理由． (3)如图3，已知 ，边 、边 分别绕着点以每秒 、每秒 的速度顺时 针旋转（当其中一边与 重合时都停止旋转），求：运动多少秒后， 【答】(1)① ；② ；③ (2)成立；理由见详解 (3) 或 【分析】（1）①②③如图1，根据平角的定义和角平分线的定义，求出 ， 利用角的差可得结论； （2）由 ，可得 ，则 ，根据 平分 ，可得 ；所以 ． （3）设t 秒后 ，可得 或 ，即可解得 或 ； 【详解】（1）∵ ， ∴ ， ∵E 平分 ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ； ②∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ； ③ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ； ∴ ． 故答为 ． （2）成立，理由如下： 设 ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ； ∴ ． ③ ∴ 中所求出的结论还成立． （3）设t 秒后 ， 根据题意得：可得 或 ， 解得 或 ， 经检验， 或 均符合题意， 答：运动 或 秒后， ； 【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线， 把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），解决本题的关键是 由图形得到角度之间的关系． 【变式训练2】平面上顺时针排列射线 ， ， ，射 线 分别平分 ， （题目中所出现的角均小于 ）． (1)如图1，若 ，则 ___________， ___________； (2)如图2，探究 与 的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若 ，将 绕点以每秒 的速度顺时针旋转，同时将 绕点以每秒 逆时针旋转，若旋转时间为t 秒 ，当 时，直接 写出t 的值． 【答】(1) ， (2) (3)当 时， 或 【分析】（1）先根据 ，射线 平分 求出 ，进而得到 ，即可求出 ，再根据 射线 平分 求出 ，最后计算 即可； （2）先由 ，射线 平分 求出 ，再由射线 分别平分 求出 ，最后根据 计算即可． （3）先根据题意得到 ， ，进而求出旋转前 ，再由“将 绕点以每秒 的速度顺时针旋转”得到 恒定，然后分类讨论即可． 【详解】（1）∵ ，射线 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵射线 平分 ， ∴ ， ∴ ， 故答为 ， ； （2）∵ ，射线 平分 ， ∴ ， ∵射线 分别平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ； （3）∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵将 绕点以每秒 的速度顺时针旋转， ∴ 度数恒定，即 恒定， 在 和 相遇前， ∵ ，射线 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，解得 ； 在 和 相遇后， 此时 ， ∵射线 平分 ，∴ ∵ ， ， ∴ ， 即 ，解得 ；即当 时， 或 ． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，难度较大，需要有良好的空间想象能力．因 为题干要求题目中所出现的角均小于 ，所以第三问无需考虑 后再次出现 的情况． 课后训练 1．已知 ，以射线 为起始边，按顺时针方向依次作射线 、 ，使得 ，设 ， (1)如图1，当 时，若 ，求 的度数； (2)备用图①，当 时，试探索 与 的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当 时，分别在 内部和 内部作射线 ， ，使 ， ，求 的度数 【答】(1) ； (2) ；理由见解析； (3) 【分析】（1）根据图形可知 ，继而根据 ， 即可求解； （2）根据图形得出 ，计算 ，即可得 出结论； （3）分两种情况讨论，①当 时，射线 与 重合，射线 与 互为反向延 长线，②当 时，如图4，射线 、 在 的外部，结合图形分析即 可求解． 【详解】（1）如图1， ， 在 内部， ， ， ， ， ； （2） ；理由如下：如图2， ， 射线 、 分别在 内、外部， ， ， ， ； （3）①当 时，射线 与 重合，射线 与 互为反向延长线， 则 ， ，如图3， ， ， ， ， ； ②当 时，如图4，射线 、 在 的外部，如图4， 则 ， ， ， ， ， ， ， 综合①②得 ． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 2．点为直线 上一点，在直线B 同侧任作射线，D，使得 ． (1)如图1，过点作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平分 ，则 的度数是___________°； (2)如图2，过点作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，求出 与 的 数量关系； (3)过点作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平分 ，若 ，求出 的度数． 【答】(1)45 (2) (3) 为 或 【分析】（1）直接通过角平分线的定义直接求解即可． （2）用同一个角度表示不同的角，直接求解即可． （3）分类讨论，K 的位置关系直接求解即可． 【详解】（1） 平分 ， 平分 ， ， （2） 平分 ， ， 根据图形有： ， ， ， ， ， （3）当在K 左侧时 平分 平分 当K 在左侧时 平分 平分 综上所述： 为 或 【点睛】此题考查角度的计算，解题关键是分类讨论和K 的位置． 3．已知 ， 是过点的射线，射线 分别平分 和 ． (1)如图1，若 是 的三等分线，则 _________ ； (2)如图2，在 内，若 ，则 _________；（用含 的代数式表 示） (3)如图3，若 ，将 绕着点逆时针旋转到 的外部 ，请直接写出此时 的度数． 【答】(1)100 (2) (3) 或 【分析】（1）根据角平分线的定义得到 ， ， ，则 ； （2） ， ， ， ，则 ； （3）反向延长 、 得到 、 ，然后分类讨论：当 在 内部，当 、 在 内部，当 在 内部三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解： 、 是 的三等分线， ， 射线 、 分别平分 和 ， ， ， ； （2） 射线 、 分别平分 和 ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答为： ； （3）反向延长 、 得到 、 ，如图， 当 在 内部， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ； 当 、 在 内部，