专题10 几何图形中动角问题的三种考法（原卷版）

专题10 几何图形中动角问题的三种考法 类型一、定值问题 例．如图1，把一副三角板拼在一起，边 与直线 重合，其中 ， ．此时易得 ． (1)如图2，三角板 固定不动，将三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针开始旋转， 在转动过程中，三角板 一直在 的内部，设三角尺 运动时间为秒． ①当 时， ； ②求当为何值时，使得 ； (2)如图3，在（1）的条件下，若 平分 ， 平分 ． ①当 时， ； ②请问在三角板 的旋转过程中， 的度数是否会发生变化？如果发生变化，请 叙述理由；如果不发生变化，请求出 的度数． 【变式训练1】已知 与 互补，将 绕点逆时针旋转． (1)若 ①如图1，当 时， ； ②将 绕点逆时针旋转至 ，求 与 的度数； (2)将 绕点逆时针旋转 ，在旋转过程中， 的度数是否随 之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 【变式训练2】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点 放置于直线 上，直角边 与直线 重合，其中 ，然后将三角板 绕点 顺时针旋转，设 ，从点 引射线 和 ， 平分 ， ． (1)如图2，填空：当 时， ______ ． (2)如图2，当 时，求 的度数（用含 的代数式表示）； (3)如图3，当 时，请判断 的值是否为定值，若为定值，求 出该定值，若不是定值，请说明理由． 类型二、数量关系问题 例．已知 ，保持 不动， 的 边与 边重合，然后将 绕点按顺时针方向任意转动一个角度 ，（本题中研究的其它角的度 数均小于 ） (1)[特例分析]如图1，若 ，则 _______°， ____ ___° (2)[一般化研究]如图2，若 ，随着 的变化，探索 与 的数量关系， 并说明理由． (3)[继续一般化]随着 的变化，直接写出 与 的数量关系、（结果用含 的代数式表示）． 【变式训练1】已知 ， 平分 ． (1)如图①，若 ，求 的度数； (2)将 绕顶点按逆时针方向旋转至如图②的位置， 和 有怎样的数量关系？ 请说明理由； (3)将 绕顶点按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理 由． 【变式训练2】如图， ， ，射线 平分 ，射线 平分 （本题中的角均为大于 且小于 的角）． (1)如图，当 ， 重合时，求 的度数； (2)当 从图中所示位置绕点顺时针旋转度 时， 的值是否为 定值？若是定值，求出 的值，若不是，请说明理由． (3)当 从图中所示位置绕点顺时针旋转度 时， 与 具有怎样 的数量关系？ 类型三、求运动时间问题 例1．已知 ，射线 均为 内的射线． (1)如图1，若 为 的三等分线，则 ＝ ； (2)如图2，若 ， 平分 平分 ，求 的大小 (3)射线 以每秒 的速度顺时针方向旋转，射线 以每秒 的速度顺时针方向旋转， 射线 始终平分 ，两条射线同时从图1 的位置出发，当其中一条射线到达 的 位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t 秒，当t 为何值时， 例2．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角 等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角． 如图1，若射线 ， 在 的内部，且 ，则 是 的内半 角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1， ， ，若 是 的内半角，则 ； (2)如图2，已知 ，将 绕点 按顺时针方向旋转一个角度 （ ）至 ．若 是 的内半角，求 的值； (3)把一块含有 角的三角板 按图3 方式放置．使 边与 边重合， 边与 边重合．如图4，将三角板 绕顶点 以3 度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时 间为秒，当射线 、 、 、 构成内半角时，直接写出的值． 【变式训练1】已知直线 过点， ， 是 的平分线． (1)操作发现：①如图 1，若 ，则 °． ②如图1，若 ，则 °． ③如图1，若 ，则 ．（用含α 的代数式表示） (2)操作探究：将图 1 中的 绕顶点顺时针旋转到图2 的位置，其他条件不变，③中的 结论是否成立？试说明理由． (3)如图3，已知 ，边 、边 分别绕着点以每秒 、每秒 的速度顺时 针旋转（当其中一边与 重合时都停止旋转），求：运动多少秒后， 【变式训练2】平面上顺时针排列射线 ， ， ，射 线 分别平分 ， （题目中所出现的角均小于 ）． (1)如图1，若 ，则 ___________， ___________； (2)如图2，探究 与 的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若 ，将 绕点以每秒 的速度顺时针旋转，同时将 绕点以每秒 逆时针旋转，若旋转时间为t 秒 ，当 时，直接 写出t 的值． 课后训练 1．已知 ，以射线 为起始边，按顺时针方向依次作射线 、 ，使得 ，设 ， (1)如图1，当 时，若 ，求 的度数； (2)备用图①，当 时，试探索 与 的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当 时，分别在 内部和 内部作射线 ， ，使 ， ，求 的度数 2．点为直线 上一点，在直线B 同侧任作射线，D，使得 ． (1)如图1，过点作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平分 ，则 的度数是___________°； (2)如图2，过点作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，求出 与 的 数量关系； (3)过点作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平分 ，若 ，求出 的度数． 3．已知 ， 是过点的射线，射线 分别平分 和 ． (1)如图1，若 是 的三等分线，则 _________ ； (2)如图2，在 内，若 ，则 _________；（用含 的代数式表 示） (3)如图3，若 ，将 绕着点逆时针旋转到 的外部 ，请直接写出此时 的度数． 4．问题情境： 是一条射线， 分别是 和 的角平分线． 当 是直角， ，射线 在 的内部时，我们可以发现 的度数是_____； 当 是直角， ，射线 在 的内部时， 的 度数是____°． 探索发现： 分别是 和 的角平分线，当射线 在 的外面时． 若 是直角， ，求出 的大小； 若 是直角， ，写出 的度数； 数学思考： 分别是 和 的角平分线，若 的度数是 ， ，直接写出 的度数．（用含 的代数式表示） 5．已知 ，过顶点作射线 ，且 平分 ． (1)如图1，若 平分 ，则 的度数为___________； (2)若 ，求 的度数； (3)嘉嘉说：“如图2，若 在 内， 平分 ，则 的度数不变．”请 你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由； (4)若 在 外，设 平分 ，当 时，直接写出 的度数． 6．在 内部作射线 ， ， 在 的右侧，且 ． (1)如图1，若 ， 平分 ， 平分 ，求 的度数； (2)如图2， 平分 ，猜想 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请过点 作射线 ，使 平分 ，再作 的角平分线 ．若 ， ，请直接写出 的度数（用含 的式子表示）． 7．（1）【特例感知】如图1，已知线段 ， ，点和点D 分别是 ， 的中点．若 ，则 ________m； （2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠B 在∠M 内部转动， 射线和射线D 分别平分∠M 和∠B； ①若 ， ，求∠D 的度数； ②请你猜想∠B，∠D 和∠M 三个角有怎样的数量关系？请说明理由． （3）【类比探究】如图3，∠B 在∠M 内部转动，若 ， ， ， ，求∠D 的度数．（用含有k 的式子表示计算结果）．