专题4.6 动角问题专项训练（40道）（原卷版）

专题46 动角问题专项训练（40 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了动角的综合问题的 所有类型！ 一．解答题（共40 小题） 1．（2022·吉林白山·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为 垂角，例如：∠1＝120°，| 1 2| ∠﹣∠ ＝90°，则∠1 和∠2 互为垂角．(本题中所有角都是指大 于0°且小于180°的角) (1)如图1 所示，为直线B 上一点，∠＝90°，则∠D 垂角为 和 ； (2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的2 3 ，求这个角的度数； (3)如图2 所示，为直线B 上一点，∠＝90°，∠BD＝30°，且射线绕点以9°/s 的速度逆时针旋 转，射线D 绕点以6°/s 的速度顺时针旋转，两条射线、D 同时运动，运动时间为ts(0＜t＜ 20)，试求当t 为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角． 2．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点D、、共线且∠D＝20°，∠B＝80°，射线M， 分别平分∠B 和∠BD． 如图2，将射线D 以每秒6°的速度绕点顺时针旋转一周，同时将∠B 以每秒4°的速度绕点顺 时针旋转，当射线与射线重合时，∠B 停止运动．设射线D 的运动时间为t． (1)运动开始前，如图1，∠M＝ °，∠D＝ °； 1 (2)旋转过程中，当t 为何值时，射线B 平分∠？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠M＝35°？若存在，请求出t 的值；若不存在，请 说明理由． 3．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线 OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外 一个角的3 倍，则称射线OC为∠AOB的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于0°而 小于180°的角．） (1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，求∠AOC的度数； (3)如图②，已知∠AOB=60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋 转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒 （0<t<9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的 “幸福线”，求出所有可能的t值． 4．（2022·四川成都·七年级期末）【阅读理解】 定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分 别与另外两条射线组成的角恰好满足2 倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双 倍和谐线”．如图1，点P 在直线l 上，射线PR，PS，PT 位于直线l 同侧，若PS 平分 ∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR 是射线PS，PT 的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 (1)如图1，射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT 的“双倍和谐线”；射线 PT （选填“是”或“不是”）射线PS，PR 的“双倍和谐线”； 1 (2)如图2，点在直线M 上，⊥M，∠B＝40°，射线从出发，绕点以每秒4°的速度逆时针旋 转，运动时间为t 秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线B，的“双倍和谐线”时，求t 的值； ②若在射线旋转的同时，∠B 绕点以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线D 平分∠B．当射线位于射线D 左侧且射线是射线M，D 的“双倍和谐线”时，求∠的度数． 5．（2022·浙江金华·七年级期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12 个大格，每个大格 分成5 个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过 的角度是05 度，分针每分针转过的角度是6 度． (1)解决问题：当时钟的时刻是8：30 时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数． (2)8：00 开始几分钟后分针第一次追上时针． (3)设在8：00 时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ． 问：在8：00~9：00 之间，从8：00 开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中 一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？ 6．（2022·贵州铜仁·七年级期末）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生 进行实践探究，用一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如图 所示摆放在量角器上，边PD 与量角器180°刻度线重合，边P 与量角器0°刻度线重合，将 三角尺BP 绕量角器中心点P 以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB 与180°刻度线重合时 停止运动，设三角尺BP 的运动时间为t 秒． 1 (1)当t=5时，∠BPD=¿__________°； (2)若在三角尺BP 开始旋转的同时，三角尺PD 也绕点P 以每秒2°的速度逆时针旋转，当 三角尺BP 停止旋转时，三角尺PD 也停止旋转． ①当t 为何值时，边PB 平分∠CPD； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请求出t 的值；若 不存在，请说明理由． 7．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图1, 已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发， 以每秒2°的速度按顺时针方向向射线OB旋转；与此同时， 射线OQ以每秒4°的速度，从 OB位置出发按逆时针方向向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度按顺时针方向 返回，当射线OP与射线OB 重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）． (1)当t=5时， 求∠POQ的度数； (2)当OP与OQ重合时，求t的值； (3)如图2，在旋转过程中， 若射线OC始终平分∠AOQ ，问：是否存在t的值， 使得 ∠POQ=∠COQ? 若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 8．（2022·福建·厦门市逸夫中学七年级期末）如图，两条直线B，D 相交于点，且∠=90°， 射线M 从B 开始绕点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线同时从D 开始绕点顺时针方向 旋转，速度为12°/s．两条射线M，同时运动，运动时间为t 秒．（本题出现的角均小于平 角） (1)当t=2 时，∠M=_______，∠=_______； (2)当0＜t＜12 时，若∠M=3 =60° ∠ ．试求出t 的值； (3)当0＜t＜6 时，探究∠BON−∠COM +∠AOC ∠MON 的值，问：t 满足怎样的条件是定值； 1 满足怎样的条件不是定值？ 9．（2022·福建·泉州七中七年级期末）如图1，为直线B 上一点，过点作射线，∠＝30°， 将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边M 与都在直线 B 的上方． （1）若将图1 中的三角尺绕点以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t 秒，当M 恰好平分 ∠B 时，如图2． ①求t 值； ②试说明此时平分∠； （2）将图1 中的三角尺绕点顺时针旋转，设∠＝α，∠M＝β，当在∠内部时，试求α 与β 的 数量关系； （3）如图3 若∠＝60°，将三角尺从图1 的位置开始绕点以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转． 当与重合时，射线开始绕点以每秒20°的速度沿顺时针方向旋转，三角尺按原来的速度和方 向继续旋转，当三角板运动到M 边与第一次重合时停止运动．当射线运动到与第一次重合 时停止运动．设三角形运动的时间为t．那么在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得， M 两条边所在的射线及射线，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线？若存在， 直接写出所有满足条件的t 的值，若不存在，请说明理由． 10．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】 射线是∠B 内部的一条射线，若∠＝1 2∠B，则称射线是射线在∠B 内的一条“友好线”．如 图1，∠B＝60°，∠＝20°，则∠＝1 2∠B，所以射线是射线在∠B 内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1 中，若作∠B 的平分线D，则射线D 射线B 在∠B 内的一条“友好线”； （填“是”或“不是”） （2）如图2，∠B 的度数为，射线M 是射线B 在∠B 内的一条“友好线”，平分∠B，则∠M 的度数为 ；（用含的代数式表示） （3）如图3，射线B 从与射线重合的位置出发，绕点以每秒3°的速度逆时针旋转；同时， 1 射线从与射线的反向延长线重合的位置出发，绕点以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线与 射线重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线、B、中恰好有一条射线是余 下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 11．（2022·湖北武汉·七年级期末）定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角， 若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线”． （1）如图1，∠B＝120°，射线为∠B 的“二倍角线”，则∠＝ ． （2）如图2，射线B 为∠D 的“二倍角线”，且∠DB＝2∠B．射线M、分别为∠、∠BD 的 平分线，问∠AOD+∠BOC ∠MON 的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由； （3）如图3．已知∠B＝120°，射线、D 为∠B 的“二倍角线”，且∠B＝2∠．∠D＝2∠BD， 将∠D 绕点以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t 秒（0≤t≤14），射线M、分别为∠、 ∠BD 的平分线．B、M、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的 “二倍角线”，直接写出t 所有可能的值 ． 12．（2022·天津南开·七年级期末）已知：如图1，点为直线B 上一点，过点作射线，使∠： ∠B＝1：5．将一等腰直角三角板的直角顶点放在点处，一直角边在射线B 上，另一直角边 M 在直线B 的下方． 1 （1）将图1 中的等腰直角三角板绕点以每秒3°的速度逆时针方向旋转一周，直角边旋转后 的对应边为'，直角边M 旋转后的对应边为M'．在此过程中，经过t 秒后，M'恰好平分 ∠B，求t 的值； （2）如图2，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒 4°的速度顺时针方向旋转，射线旋转后的对应射线为'．当射线'落在射线的反向延长线上时， 射线和等腰直角三角板同时停止运动．在此过程中，是否存在某一时刻t，使得'//M''．若 存在，请求出t 的值，若不存在，诮说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒 5°的速度顺针方向旋转，射线旋转后的对应射线为'．当等腰直角三角板停止运动时，射线 也停止运动．在整个运动过程中．经过l 秒后，∠M''的某一边恰好平分∠'，请直接写出所 有满足条件的t 的值． 13．（2022·山西晋中·七年级期末）综合与探究：射线OC是∠AOB内部的一条射线，若 ∠COA=1 2 ∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1， ∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，则∠AOC=1 2 ∠BOC，称射线 OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD=1 2 ∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随 线． 完成下列任务： （1）如图2，∠AOB=150°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM=¿ °，若 ∠AOB的度数是x，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则 ∠NOC的度数是 ．（用含x的代数式表示） （2）如图3，如∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒6°的速度逆时 针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当射线OD与 射线OA重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存 在，请说明理由； ②当t为多少秒时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．请 直接写出结果． 1 14．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图所示，，B，是以直线EF 上一 点为端点的三条射线，且∠F=20°，∠B=60°，∠B=10°，射线P 从F 处开始出发，绕点逆时针 匀速旋转，旋转速度为每秒5 度：射线Q 从处开始出发，绕点顺时针匀速旋转，两条射线 同时开始旋转（当射线Q 旋转至与射线F 重合时，P、Q 同时停止运动），旋转时间为t 秒 （旋转速度÷旋转角度：旋转时间） (1)当t＝ 秒，射线P 平分∠B 时； (2)若射线Q 的旋转速度为每秒4 度时，请求出当∠PQ=60°时，射线P 旋转的时间； (3)若射线Q 的旋转速度为每秒3 度时，是否存在某个时刻，使得射线Q，P，B 中的某一条 射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存 在，请说明理由． 15．（2022·浙江杭州·七年级期中）在同一平面内的三条射线OA、OB、OC，①当射线 OC在∠AOB内时，若满足∠AOC=2∠COB，则称射线OC是【OA ,OB】的好线； 若满足∠BOC=2∠AOC，则称射线OC是【OB,OA】的好线；②当射线OC在 ∠AOB外时，若满足∠AOC=2∠COB，称射线OC是【OA ,OB】的皮线． （1）如图1，∠AOD=∠DOC=∠COB=20°，则射线OC是【OA ,OB】的好线，又 是【OA ,OD】的皮线；射线______是【OB ,OA】的好线，又是____的皮线． （2）如图2，点在线段AB上，∠BOD=30° ,∠AOC=60°，求【OC ,OD】的好线与 OA的夹角（写出完整的解答过程）． （3）如图3，点在直线AB上，∠BOD=30° , ∠AOC=60°，射线OM从OC位置出发以 每秒10°的速度绕着点逆时针方向旋转，设旋转时间为t(0<t<12)）秒． ①求当t 为何值时，【OB ,OM】的皮线与OC垂直？ ②若有射线ON从OD位置与射线OM同时出发以每秒5°的速度绕着点顺时针方向旋转， 1 并与射线OM同时停止运动，求当t 为何值时，OM、OB、ON三条射线中恰好能使得其 中一条为其余两条的好线（直接写出答）． 16．（2022·广东汕头·七年级期末）已知∠AOB=150°，射线P 从B 出发，绕逆时针以 1°/秒的速度旋转，射线Q 从出发，绕顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动 时间为t 秒(0<t ≤60) （1）当t=12秒时，求∠POQ； （2）当OP⊥OQ，求t的值； （3）射线P，Q，B，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t 的值． 17．（2022·湖北武汉·七年级期末）问题背景 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关 联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用． (1)如图1，、B、三点在同一直线上，射线D 和射线E 分别平分∠和∠B，则∠DE 的度数为 （直接写出答）． (2)当x＝1 时，代数式x 3+bx+2021 的值为2020，当x＝﹣1 时，求代数式x 3+bx+2021 的值． 1 (3)①如图2，点是线段B 上一定点，点D 从点、点E 从点B 同时出发分别沿直线B 向左、 向右匀速运动，若点E 的运动速度是点D 运动速度的3 倍，且整个运动过程中始终满足E ＝3D，求AC AB 的值； ②如图3，在①的条件下，若点E 沿直线B 向左运动，其它条件均不变．在点D、E 运动 过程中，点P、Q 分别是E、E 的中点，若运动到某一时刻，恰好E＝4PQ，求此时AD AB 的 值． 18．（2022·四川·麓山师大一中七年级阶段练习）如图1，点为直线AB上一点，过点作射 线OC，使∠BOC=3∠AOC，将一直角三角板的直角顶点放在点处，边OM在射线OB 上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1 中的三角板绕点按逆时针方向旋转45°至图2 的位置，则∠MOC=¿______°． （2）将图1 中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3 的位置，使得ON在∠AOC的内部， 试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由． 1 （3）将图1 中的三角尺绕着点以每秒15°的速度按逆时针方向旋转；同时，射线OC也绕 着点以每秒5°的速度按逆时针方向旋转，当一方先完成旋转一周时停止，另一方同时也停 止转动，当射线OC恰好平分∠MON时，求此时三角板绕点的运动时间t 的值． 19．（2022·山东临沂·七年级期末）已知∠AOB=150°，为∠AOB内部的一条射线， ∠BOC=60°． （1）如图1，若E 平分∠AOB，D 为∠BOC内部的一条射线，∠COD=1 2 ∠BOD， 求∠DOE的度数； （2）如图2，若射线E 绕着点从开始以15 度/秒的速度顺时针旋转至B 结束、F 绕着点从 B 开始以5 度/秒的速度逆时针旋转至结束，运动时间t 秒，当∠EOC=∠FOC时，求t 的值． 20．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，平面内一定点在直线EF 的上方，点为直线EF 上一动点，作射线、P、'，当点在直线EF 上运动时，始终保持∠EP＝90°、∠P＝∠'P，将射 线绕点顺时针旋转60°得到射线B． （1）如图1，当点运动到使点在射线P 的左侧，若'平分∠PB，求∠BF 的度数； （2）当点运动到使点在射线P 的左侧，且∠E＝3 'B ∠ 时，求∠AOF ∠AOP 的值； （3）当点运动到某一时刻时，∠'B＝130°，请直接写出∠BP＝_______度． 1 21．（2022·福建·莆田华亭第一中学七年级期末） 直线M 与直线PQ 垂直相交于，点在射 线P 上运动，点B 在射线M 上运动． （1）如图1，已知E、BE 分别是∠B 和∠B 角的平分线，点、B 在运动的过程中，∠EB 的大 小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值； （2）如图2，延长B 至G，已知∠B、∠G 的角平分线与∠BQ 的角平分线及其延长线相交于 E、F，则∠EF=______°；在△EF 中，如果有一个角是另一个角的3 倍，试求∠B 的度数． 22．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC， 使∠AOC :∠BOC=2:1将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上， 另一边OM在直线AB的下方． （1）将图1 中的三角形板绕点O按照顺时针方向旋转至图2 的位置，使得OM落在射线 OA上，此时ON旋转的角度是____°； （2）继续将图2 中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3 的位置，使得OM在∠BOC 的内部，则∠BON−∠COM=¿_____________°； （3）在上述直角板从图1 旋转到图3 的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15 °的速 度旋转，当OM恰好为∠BOC的平分线时，此时，三角板绕点O运动时间为__秒，并说明 理由． 1 23．（2022·福建三明·七年级期末）一副