专题09 几何中种动角问题的两种考法（学生版）

专题09 几何中动角问题的两种考法 类型一、判断角的数量之间的关系 例．如图所示，是直线 上的一点， 是直角， 平分 ． (1)如图①，若 ，求 的度数； (2)在图①，若 ，直接写出 的度数_________(用含的代数式表示)； (3)将图①中的 绕顶点顺时针旋转至图②的位置． ①探究 和 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在 的内部有一条射线 ，满足 ，试确定 与 的 度数之间的关系，说明理由． 【变式训练1】已知∠B＝∠D＝90°，E 平分∠B． (1)如图，若∠＝30°，则∠DE 的度数是______；(直接写出答) (2)将(1)中的条件“∠＝30°”改为“∠是锐角”，猜想∠DE 与∠的关系，并说明理由； (3)若∠是钝角，请先画出图形，再探索∠DE 与∠之间的数量关系．(不用写探索过程，将结论直接写在你画 的图的下面) 【变式训练2】如图，以直线B 上一点为端点作射线，使 ，将一个直角三角形的直角顶点放在 点处．(注： ) (1)如图①，若直角三角板DE 的一边D 放在射线B 上，则 ________ ； (2)如图②，将直角三角板DE 转到如图位置，当恰好平分 时，求 的度数； (3)如图③，将直角三角板DE 绕点转动，如果D 始终在 的内部，直接写出 和 的数量关 系_________． 【变式训练3】已知 ， ， ， 分别平分 ， ． (1)如图1，当 ， 重合时， 度； (2)若将 的从图1 的位置绕点 顺时针旋转，旋转角 ，满足 且 ． ①如图2，用等式表示 与 之间的数量关系，并说明理由； ②在 旋转过程中，请用等式表示 与 之间的数量关系，并直接写出答． 【变式训练4】如图，已知 ，将一个直角三角形纸片( )的一个顶点放在点 处，现将 三角形纸片绕点 任意转动， 平分斜边 与 的夹角， 平分 (1)将三角形纸片绕点 转动(三角形纸片始终保持在 的内部)，若 ，则 _______； (2)将三角形纸片绕点 转动(三角形纸片始终保持在 的内部)，若射线 恰好平分 ，若 ，求 的度数; (3)将三角形纸片绕点 从 与 重合位置逆时针转到 与 重合的位置，猜想在转动过程中 和 的数量关系？并说明理由 类型二、定值问题 例．已知将一副三角尺(直角三角尺 和 )的两个顶点重合于点 ， ， (1)如图1，将三角尺 绕点 逆时针方向转动，当 恰好平分 时，求 的度数； (2)如图2，当三角尺 摆放在 内部时，作射线 平分 ，射线 平分 ，如果三角 尺 在 内绕点 任意转动， 的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明 理由． 【变式训练1】如图，两条直线B、D 相交于点，且∠=90°，射线M 从B 开始绕点逆时针方向旋转，速度为 15°/s，射线同时从D 开始绕点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线M、同时运动，运动时间为t 秒． (本题出现的角均小于平角) (1)当t=2 时，∠M 的度数为 ，∠B 的度数为 ；∠M 的度数为 (2)当0＜t＜12 时，若∠M=3 -60° ∠ ，试求出t 的值； (3)当0＜t＜6 时，探究 的值，问：t 满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？ 【变式训练2】已知将一副三角板( )如图1 摆放，点、、在一条直线上．将直角三 角板 绕点逆时针方向转动，变化摆放如图位置． (1)如图1，当点、、在同一条直线上时， _______度；如图2，若要 恰好平分 ，则 _______度； (2)如图3，当三角板 摆放在 内部时，作射线 平分 ，射线 平分 ，如果三角 板 在 内绕点任意转动， 的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理 由． (3)当三角板 从图1 的位置开始，绕点逆时针方向旋转一周，保持射线 平分 、射线 平分 ( )，在旋转过程中，(2)中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明 理由；如果变化，请说明变化的情况和结果(即旋转角度在什么范围内时 的度数是多少)． 类型三、求值问题 例如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将一直角三角板( )的直 角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方．(注：本题旋转角度 最多 ．) (1)将图1 中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后， ______度 (用含的式子表示)，若 恰好平分 ，则 ______秒(直接写结果)． (2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，如 图3，经过秒后， ______度(用含的式子表示)若 平分 ，求为多少秒？ (3)若(2)问的条件不变，那么经过秒 平分 ？(直接写结果) 【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起． (1)若∠DE＝35°，∠B＝ ；若∠B＝140°，则∠DE＝ ； (2)猜想∠B 与∠DE 的大小有何特殊关系，并说明理由； (3)若保持三角尺BE 不动，三角尺D 的D 边与B 边重合，然后将三角尺D 绕点按逆时针方向任意转动一个 角度∠BD．设∠BD＝α(0°＜α＜90°) ①∠B 能否是∠DE 的4 倍？若能求出α 的值；若不能说明理由． ②三角尺D 转动中，∠BD 每秒转动3°，当∠DE＝21°时，转动了多少秒？ 【变式训练2】如图(1)，∠B 和∠B 都是锐角，射线B 在∠内部， ， ．(本题所涉及的 角都是小于180°的角) (1)如图(2)，M 平分∠B，平分∠，填空： ①当 ， 时， ______， ______， ______； ② ______(用含有 或 的代数式表示)． (2)如图(3)，P 为∠B 内任意一点，直线PQ 过点，点Q 在∠B 外部： ①当M 平分∠PB，平分∠P，∠M 的度数为______； ②当M 平分∠QB，平分∠Q，∠M 的度数为______； (∠M 的度数用含有 或 的代数式表示) (3)如图(4)，当 ， 时，射线P 从处以5°/分的速度绕点开始逆时针旋转一周，同时射线Q 从B 处以相同的速度绕点逆时针也旋转一周，M 平分∠PQ，平分∠P，那么多少分钟时，∠M 的度数是40°？ 【变式训练3】如图1，点、、B 依次在直线 上，现将射线 绕点沿顺时针方向以每秒 的速度旋 转，同时射线 绕点沿逆时针方向以每秒 的速度旋转，如图2，设旋转时间为 ． (1)用含t 的代数式表示： _______ ， _______ ． (2)在运动过程中，当 时，求t 的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得直线 平分由射线 、射线 、射线 中的任意两条射 线组成的角(大于 而小于 )？ 课后训练 1．如图1，点为直线B 上一点，过点作射线，使 ．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一 直角边M 在射线B 上，另一直角边在直线B 的下方． (1)将图1 中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使边M 在 的内部，且恰好平分 ．问：此时直线 是否平分 ？请说明理由． (2)将图1 中的三角板绕点以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第秒时，直线恰好平分 ，则的值为______(点接写结果) (3)若图1 中的三角板绕点旋转至图3，使在 的内部时， 的度数是多少？ 2．如图所示，，B，是以直线EF 上一点为端点的三条射线，且∠F＝20°，∠B＝60°，∠B＝10°，以为端点 作射线P，Q 分别与射线F，重合．射线P 从F 处开始绕点逆时针匀速旋转，转速为1 度/秒，射线Q 从处 开始绕点顺时针匀速旋转，(射线Q 旋转至与射线F 重合时停止，射线P 旋转至与射线E 重合时停止)，两 条射线同时开始旋转(旋转速度＝旋转角度÷旋转时间)． (1)直接写出射线P 停止运动时的时间． (2)当射线P 平分∠时，直接写山它的旋转时间． (3)若射线Q 的转速为3 度/秒，当∠PQ＝70°时，直接写出射线P 的旋转时间． (4)若∠P＝2∠PB 时，射线Q 旋转到的位置恰好将∠B 分成度数比为1：2 的两个角，直接写出射线Q 的旋转 速度． 3．已知是直线B 上的一点，∠D 是直角，E 平分∠B． (1)如图1，若∠=48°，求∠DE 的度数； (2)如图1，若∠=α，则∠DE 的度数为 (用含有α 的式子表示)； (3)将图1 中的∠D 绕顶点顺时针旋转至图2 的位置，试探究∠DE 和∠度数之间的关系，写出你的结论，并 说明理由． (4)将图1 中的∠D 绕顶点逆时针旋转至图3 的位置，其它条件不变，若∠=α，则∠DE 的度数为 (用含有α 的式子表示)，不必说明理由． 4．如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将一直角三角板( )的直角顶 点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方．(注：本题旋转角度最多 ．) (1)将图1 中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后， ______度 (用含的式子表示)，若 恰好平分 ，则 ______秒(直接写结果)． (2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，如图 3，经过秒后， ______度(用含的式子表示)若 平分 ，求为多少秒？ (3)若(2)问的条件不变，那么经过秒 平分 ？(直接写结果) 5．已知: 和 是直角． (1)如图，当射线 在 内部时，请探究 和 之间的关系； (2)如图2，当射线 射线 都在 外部时，过点 作射线 ，射线 ，满足 ， ，求 的度数． (3)如图3，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线 ，使得 ，若不存在，请说明理 由，若存在，求出 的度数． 6 已知为直线B 上的一点，∠E＝90°，射线F 平分∠E． (1)在图1 中，当∠F＝36°时，则∠BE＝ ，当∠F＝m°时，则∠BE＝ ；以此判断∠F 和∠BE 之间的数 量关系是 ； (2)若将∠E 绕点旋转至图2 的位置，试问(1)中∠F 和∠BE 之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请 你加以证明；若发生变化，请你说明理由； (3)若将∠E 绕点旋转至图3 的位置，继续探究∠F 和∠BE 之间的数量关系，并说明理由．