专题05 与根的判别式有关的两种考法 类型一、参数位置的问题 例1（二次项含参）关于x 的方程 ，只有一个实数解，则m 的值等于（ ） ．0，2 B．1，2 ．0， ，1 D．0，2，1 【答】D 【分析】方程 ，只有一个实数解，则有两种情况，二次项系数为0，一次项系数不 为0；二次项系数不为0 时，二次方程有两个相等的实数根． 【详解】方程 ，只有一个实数解，有两种情况： ①当 的值等于0，2，1 时，方程 ，只有一个实数解． 故选：D． 【点睛】本题考查了方程根的判别式，解题的关键是分一次方程与二次方程两种情况讨论． 例2（二次项不含参）关于x 的方程 根的情况是（ ） ．没有实数根 B．有两个不相等实数根 ．有两个相等实数根 D．只有一个实数根 【答】B 【分析】利用判别式和一元二次方程的根的关系进行判断即可． 【详解】解：根据题意得， ， 则关于x 的方程 的方程 有两个不相等实数根，故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握 ，一元二次方程有两个不相等的实 数根； ，一元二次方程有一个实数根； ，一元二次方程无实数根是解题的关键． 【变式训练1】若关于x 的方程 有实数根，则k 的取值范围是（ ） ． B． 且 ． D． 且 【答】 【详解】解：当k=0 时，方程化为-x-1=0，解得x=-1； 当k≠0

专题05 与根的判别式有关的两种考法 类型一、参数位置的问题 例1（二次项含参）关于x 的方程 ，只有一个实数解，则m 的值等于（ ） ．0，2 B．1，2 ．0， ，1 D．0，2，1 例2（二次项不含参）关于x 的方程 根的情况是（ ） ．没有实数根 B．有两个不相等实数根 ．有两个相等实数根 D．只有一个实数根 【变式训练1】若关于x 的方程 有实数根，则k 的取值范围是（

专题213 一元二次方程根的判别式【八大题型】 【人版】 【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】..............................................................................1 【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】................................. .................................................2 【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】......................................................................................4 【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】............ .....................8 【题型6 根的判别式与新定义的综合】............................................................................................................... 10 【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】....................

专题213 一元二次方程根的判别式【八大题型】 【人版】 【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】..............................................................................1 【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】................................ ..................................................2 【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】......................................................................................2 【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】........... ....................4 【题型6 根的判别式与新定义的综合】................................................................................................................. 4 【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】....................

2025 年六升七数学衔接期一元二次方程根的判别式入门试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 一元二次方程\(x^2 - 3x + 2 = 0\) 的根的判别式\(\Delta\) 的 值是（） A. 1 \quad B. -1 \quad C. 9 \quad D. -7 2. 若方程\(x^2 - 4x + k = 0\) 有两个相等的实数根，则\(k\) \leq 4\) 7. 方程\(3x^2 - 2x + 1 = 0\) 的判别式\(\Delta\) 的值为（） A. 16 \quad B. -8 \quad C. 8 \quad D. -16 8. 若方程\(ax^2 + bx + c = 0\) 的判别式\(\Delta = 0\)，则根为 （） A. \(x = \frac{b}{2a}\) \(x^2 + x + 1 = 0\) 2. 若方程\(ax^2 + bx + c = 0\) 的判别式\(\Delta > 0\)，则可能 （） A. \(a > 0\) \quad B. \(a 0\) \quad D. 有两个相等的实数根 3. 关于判别式\(\Delta = b^2 - 4ac\) ，下列说法正确的是（） A. 当\(\Delta

题型13 应用根的判别式证明方程根的情况 题型14 与根的判别式有关的新定义问题 题型15 由根与系数的关系直接求代数式的值 题型16 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值 题型17 由方程两根满足关系求字母或代数式的值 题型18 与根与系数有关的新定义问题 题型19 构造一元二次方程求代数式的值 题型20 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 题型21 实数根． (1)求m 的取值范围； (2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根． 【答】(1)m＞−1 4 且m≠0 (2)另一个根为3 2 【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可． （2）将x=0 代入原方程，求出m，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵m x 2−(2m−1)x+m−2=0是一元二次方程， ∴m≠0 ， ∵一元二次方程m 解得：x1=0, x2=3 2 ， ∴方程的另一个根为3 2 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：Δ＞0⇔方程有两个 不相等的实数根 ， Δ=0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根，Δ≥0⇔方程有实数根． 熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0 是易错点． 4．（2022·北京海淀·校考一模）关于x 的一元二次方程x

判断不含字母的一元二次方程 的根的情况 题型10 判断含字母的一元二次方程根 的情况 题型11 由方程根的情况确定字母的值 或取值范围 题型12 应用根的判别式证明方程根的 情况 题型13 应用根的判别式求代数式的取 值范围 题型14 与根的判别式有关的新定义问 题 考点三 一元二次方程根与系数的关系 题型01 由根与系数的关系直接求代数 式的值 题型02 由根与系数的关系和方程的解 通过代换求代数式的值 不解方程由根与系数的关系判 断根的正负 题型06 由方程两根的不等关系确定字 母系数的取值范围 题型07 与根与系数有关的新定义问题 题型08 构造一元二次方程求代数式的 值 题型09 根与系数的关系和根的判别式 的综合应用 考点四 一元二次方程的应用 题型01 分裂（传播）问题 题型02 碰面（循环）问题 题型03 增长率问题 题型04 营销问题 题型05 工程问题 题型06 行程问题 题型07 与图形有有关的问题 与图形有有关的问题 考点要求 新课标要求 命题预测 一元二次方程的相 关概念  理解一元二次方程的相关概念 本考点内容以考查一元二 次方程的相关概念、解一元二次 方程、根的判别式、韦达定理 （根与系数的关系）、一元二次 方程的应用题为主，既有单独考 查，也有和二次函数结合考察最 值问题，年年考查，分值为15 分 左右 预计2024 年各地中考还将 继续考查上述的几个题型，复习

所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题 关键． 16．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x 的一元二次方程 有两个不相 等的实数根，则m 的取值范围是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 有两个不相等的实数根， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若 ，则方程没有实数根． 17．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 方程是（ ） 【分析】根据题意，求得 ，根据一元二次方程根的判别式的意义， 即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程 中， ， ∴ ， ∴一元二次方程 有两个不相等的实数根， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别 式的意义是解题的关键． 20．（2023·全国·统考中考真题）一元二次方程 根的判别式的值是（ ） ．33 B．23 ．17 D．

【详解】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． ， 即 ； （2）解：由根与系数的关系可知： ， ， ， ， 解得 或 ， 而 ， 的值为 ． 【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意 方程有两个不相等的 实数根，若二次项系数为1，常用以下关系： ， 是方程 的两根时， ， ． 【变式训练2】已知 ， 是方程 的两个根，则代数 的值为 ． 【答】 解得 （不合题意，舍去）， ∴ 故答为：3 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的 判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 【变式训练1】已知关于x 的一元二次方程 的实数根 ，满足 ，则m 的取值范围是 ． 【答】 【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m 的不等式组，通过解该不等式 组，求得m 的取值范围． 的取值范围． 【详解】解：由题意得： ， 所以 ， 依题意得： ， 解得4＜m≤5． 故答是：4＜m≤5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m 的不 等式，注意：一元二次方程x2+bx+=0（、b、为常数，≠0）①当b2-4＞0 时，一元二次方程 有两个不相等的实数根，②当b2-4=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4＜0 时，一元二次方程没有实数根．

1 \) 或\( x = -2 \) D. \( x = -1 \) 或\( x = 2 \) 8. 用公式法解方程\( x^2 + 2x - 3 = 0 \) ，判别式\( D \) 的值是： A. 16 B. 8 C. 4 D. -8 9. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的解的情况是： A. 有两个不相等的实数根 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 E. 图像法 4. 对于方程\( ax^2 + bx + c = 0 \)（\( a \neq 0 \) ），若判别式 \( D = b^2 - 4ac > 0 \)，则： A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 求根公式中的被开方数大于零 ，再两边加\( \frac{9}{4} \) 配方 9. 关于方程\( x^2 + 2x + 1 = 0 \) 的说法正确的有： A. 它是一个一元二次方程 B. 它的判别式\( D = 0 \) C. 它有两个相等的实数根\( x = -1 \) D. 它可以用因式分解法解：\( (x+1)^2 = 0 \) E. 它没有实数根 10.