专题21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】（原卷版）

专题213 一元二次方程根的判别式【八大题型】 【人版】 【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】..............................................................................1 【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】..................................................................................2 【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】......................................................................................2 【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】.................................................................................................. 3 【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】.........................................................................................................4 【题型6 根的判别式与新定义的综合】................................................................................................................. 4 【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】.................................................................................................. 5 【题型8 根的判别式与三角形的综合】................................................................................................................. 5 【知识点 一元二次方程根的判别式】 一元二次方程根的判别式：∆=b 2−4 ac． ①当∆=b 2−4 ac>0时，原方程有两个不等的实数根； ②当∆=b 2−4 ac=0时，原方程有两个相等的实数根； ③当∆=b 2−4 ac<0时，原方程没有实数根 【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】 【例1】（2022•滨州）一元二次方程2x2 5 ﹣x+6＝0 的根的情况为（ ） ．无实数根 B．有两个不等的实数根 ．有两个相等的实数根 D．不能判定 【变式1-1】（2022•梧州）一元二次方程x2 3 ﹣x+1＝0 的根的情况（ ） ．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 ．没有实数根 D．无法确定 【变式1-2】（2022 春•长沙期末）关于x 的一元二次方程x 2−4 ❑ √2 x+9=0的根的情况， 下列说法正确的是（ ） ．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ．无实数根 D．不能确定 【变式1-3】（2022•保定一模）方程（x+3）（x 1 ﹣）＝x 4 ﹣的根的情况是（ ） ．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ．只有一个实数根 D．没有实数根 1 【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】 【例2】（2022 春•钱塘区期末）已知关于x 的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确 的是（ ） ．不存在k 的值，使得方程有两个相等的实数解 B．至少存在一个k 的值，使得方程没有实数解 ．无论k 为何值，方程总有一个固定不变的实数根 D．无论k 为何值，方程有两个不相等的实数根 【变式2-1】（2022•南召县模拟）已知关于x 的方程（x 1 ﹣）（x+2）＝p，则下列分析正 确的是（ ） ．当p＝0 时，方程有两个相等的实数根 B．当p＞0 时，方程有两个不相等的实数根 ．当p＜0 时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p 的值无关 【变式2-2 】（2022• 环翠区一模）对于任意的实数k ，关于x 的方程 1 4 x 2−(k+2)x+2k 2+5k+5=0的根的情况为（ ） ．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 ．没有实数根 D．无法判定 【变式2-3】（2022 春•平潭县期末）对于任意实数k，关于x 的方程x2 2 ﹣（k+5） x+2k2+4k+50＝0 的根的情况为（ ） ．有两个相等的实数根 B．无实数根 ．有两个不相等的实数根 D．无法判定 【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】 【例3】（2022•桥西区校级模拟）探讨关于x 的一元二次方程x2+bx 1 ﹣＝0 总有实数根的 条件，下面三名同学给出建议：甲：，b 同号；乙：﹣b 1 ﹣＝0；丙：+b 1 ﹣＝0．其中 符合条件的是（ ） ．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 ．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确 【变式3-1】（2022•肥西县模拟）已知三个实数，b，满足+b﹣＝0，3+b﹣＞0，则关于x 的方程x2﹣x+b＝0 的根的情况是（ ） ．无实数根 B．有且只有一个实数根 ．两个实数根 D．无数个实数根 【变式3-2】（2022 春•德阳月考）函数y＝kx﹣b 的图象如图所示，则关于x 的一元二次方 程x2+bx+k 1 ﹣＝0 的根的情况是（ ） 1 ．没有实数根 B．有两个相等的实数根 ．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式3-3】（2022•咸安区模拟）已知不等式组{ x−a＞0 1 2 x−3＜1有3 个整数解，则关于x 的方 程x2+（2 1 ﹣）x+＝0 根的情况为（ ） ．无法判断 B．有两个不相等的实数根 ．有两个相等的实数根 D．无实数根 【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】 【例4】（2022 春•长丰县期末）关于x 的一元二次方程（m 1 ﹣）x2+2x 1 ﹣＝0 有两个不相 等的实数根，则m 的取值范围是（ ） ．m＜﹣1 B．m＞0 ．m＜1 且m≠0 D．m＞0 且m≠1 【变式4-1】（2022•西平县模拟）若关于x 的一元二次方程x2﹣（2k 1 ﹣）x+k2 2 ﹣＝0 有实 数根，则k 的取值范围是（ ） ．k ≤9 4 B．k ≥9 4 ．k ＞9 4 D．k ＜9 4 【变式4-2】（2022•滑县模拟）若关于x 的一元二次方程2kx2 3 ﹣❑ √k+1x+1＝0 有两个不相 等的实数根，则k 的取值范围是（ ） ．k＞﹣9 B．k＞﹣9 且k≠0 ．k≥ 1 ﹣且k≠0 D．k＞﹣1 且k≠0 【变式4-3】（2022•定海区一模）直线y＝x﹣不经过第二象限，且关于x 的方程x2 2 ﹣x+1 ＝0 有实数解，则的取值范围是（ ） ．0≤≤1 B．≤＜1 ．0＜≤1 D．0＜＜1 【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】 【例5】（2022•合肥模拟）若关于x 的一元二次方程x（x 2 ﹣）＝2mx 有两个相等的实数根， 则实数m 的值为（ ） ．﹣1 B．0 ．﹣1 或0 D．4 或1 【变式5-1】（2022•高新区校级二模）已知一元二次方程a x 2+❑ √b x+1=0有两个相等的实 1 数根，则，b 的值可能是（ ） ．＝﹣1，b＝﹣4 B．＝0，b＝0 ．＝1，b＝2 D．＝1，b＝4 【变式5-2】（2022•江夏区模拟）已知关于x 的一元二次方程（3 1 ﹣）x2﹣x+1 4 =¿0 有两 个相等的实数根，则代数式2 2+1 ﹣ +1 a 的值（ ） ．﹣3 B．3 ．2 D．﹣2 【变式5-3】（2022 春•余杭区月考）若关于x 的一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）有两个相 等的实数根，且满足4 2 ﹣b+＝0，则（ ） ．b＝ B．＝2 ．（x+2）2＝0 D．﹣（x 2 ﹣）2＝0 【题型6 根的判别式与新定义的综合】 【例6】（2022•烟台一模）定义新运算⋆b，对于任意实数，b 满足⋆b﹣（+b）（﹣b）﹣ 2．例如3 2 ⋆＝（3+2）（3 2 ﹣）﹣2＝5 2 ﹣＝1，若x⋆（2x 1 ﹣）＝﹣3 是关于x 的方程， 则它的根的情况是（ ） ．有一个实根 B．没有实数根 ．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式6-1】（2022•青县二模）定义运算：m※＝m2 2 ﹣m 1 ﹣，例如：4 2 ※ ＝4×22 2×4×2 ﹣ ﹣ 1＝﹣1．若关于x 的方程※x＝0 有实数根，则的取值范围为（ ） ．﹣1≤≤0 B．﹣1≤＜0 ．≥0 或≤﹣1 D．＞0 或≤﹣1 【变式6-2】（2022•宁远县模拟）定义新运算“※”：对于实数m，，p，q 有[m， p] [ ※ q，]＝m+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3] [4 ※ ，5]＝ 2×5+3×4＝22，若关于x 的方程（x2+1，x] [5 2 ※ ﹣k，k]＝0 有两个实数根，则k 的取值范 围是（ ） ．k≤5 4 且k≠0 B．k≤5 4 ．k＜5 4 且k≠0 D．k≥5 4 【变式6-3】（2022•郑州模拟）定义新运算“*b”：对于任意实数，b，都有*b＝2+b2 2 ﹣b 2 ﹣，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62 2×5×6 2 ﹣ ﹣＝ ﹣1．若方程x*k＝xk（k 为实数）是关于x 的方程，则方程的根的情况为（ ） ．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 ．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】 【例7】（2021 秋•瓦房店市期末）已知关于x 的一元二次方程2x2+2mx+m 1 ﹣＝0，求证： 不论m 为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根． 1 【变式7-1】（2021 秋•惠来县月考）已知一元二次方程x2+px+q+1＝0 的一个根为2． （1）求q 关于p 的关系式； （2）求证：方程x2+px+q＝0 有两个不等的实数根． 【变式7-2】（2021 秋•方城县期末）已知关于x 的一元二次方程（x 1 ﹣）（x 4 ﹣）＝p2， 其中p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）试写出三个p 的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由． 【变式7-3】（2022•东城区校级模拟）已知关于x 的方程mx2+x 2 ﹣＝0（m≠0）． （1）求证：当＝m 2 ﹣时，方程总有两个实数根； （2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，的值，并求此时方 程的根． 【题型8 根的判别式与三角形的综合】 【例8】（2022•莲池区二模）若等腰三角形三边的长分别是，b，3，且，b 是关于x 的一 元二次方程x2 4 ﹣x+m＝0 的两个根，则满足上述条件的m 的值有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．3 个以上 【变式8-1】（2022 春•温州期中）等腰三角形B 的三条边长分别为4，，b，若关于x 的一 元二次方程x2+（+2）x+6﹣＝0 有两个相等的实数根，则△B 的周长是 ． 【变式8-2】（2022 春•宁波期中）已知：关于x 的一元二次方程x2 2 ﹣mx+m2 1 ﹣＝0． （1）判断方程的根的情况； （2）若△B 为等腰三角形，B＝5m，另外两条边长是该方程的根，求△B 的周长． 【变式8-3】（2021 秋•揭西县期末）等腰三角形的三边长分别为、b、，若＝6，b 与是方 程x2﹣（3m+1）x+2m2+2m＝0 的两根，求此三角形的周长． 1