专题21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】（解析版）

专题213 一元二次方程根的判别式【八大题型】 【人版】 【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】..............................................................................1 【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】..................................................................................2 【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】......................................................................................4 【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】.................................................................................................. 7 【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】.........................................................................................................8 【题型6 根的判别式与新定义的综合】............................................................................................................... 10 【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】................................................................................................12 【题型8 根的判别式与三角形的综合】............................................................................................................... 14 【知识点 一元二次方程根的判别式】 一元二次方程根的判别式：∆=b 2−4 ac． ①当∆=b 2−4 ac>0时，原方程有两个不等的实数根； ②当∆=b 2−4 ac=0时，原方程有两个相等的实数根； ③当∆=b 2−4 ac<0时，原方程没有实数根 【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】 【例1】（2022•滨州）一元二次方程2x2 5 ﹣x+6＝0 的根的情况为（ ） ．无实数根 B．有两个不等的实数根 ．有两个相等的实数根 D．不能判定 【分析】求出判别式Δ＝b2 4 ﹣，判断其的符号就即可得出结论． 【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2 4×2×6 ﹣ ＝25 48 ﹣ ＝﹣23＜0， 2 ∴x2 5 ﹣x+6＝0 无实数根， 故选：． 【变式1-1】（2022•梧州）一元二次方程x2 3 ﹣x+1＝0 的根的情况（ ） ．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 ．没有实数根 D．无法确定 【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行 判断． 【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2 4×1×1 ﹣ ＝5＞0， 1 ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式1-2】（2022 春•长沙期末）关于x 的一元二次方程x 2−4 ❑ √2 x+9=0的根的情况， 下列说法正确的是（ ） ．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ．无实数根 D．不能确定 【分析】求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果． 【解答】解：方程x2 4 ﹣❑ √2x+9＝0， Δ ∵＝（﹣4❑ √2）2 4×1×9 ﹣ ＝32 36 ﹣ ＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根． 故选：． 【变式1-3】（2022•保定一模）方程（x+3）（x 1 ﹣）＝x 4 ﹣的根的情况是（ ） ．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】先把方程化为一般式，再应用根的判别式进行计算即可得出答． 【解答】解：（x+3）（x 1 ﹣）＝x 4 ﹣， x2+x+1＝0， ＝1，b＝1，＝1， Δ＝b2 4 ﹣＝12 4×1×1 ﹣ ＝﹣3＜0， 所以原方程无实数根． 故选：D． 【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】 【例2】（2022 春•钱塘区期末）已知关于x 的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确 的是（ ） ．不存在k 的值，使得方程有两个相等的实数解 B．至少存在一个k 的值，使得方程没有实数解 ．无论k 为何值，方程总有一个固定不变的实数根 D．无论k 为何值，方程有两个不相等的实数根 【分析】先计算Δ 的值，利用k 的值，可作判断． 【解答】解：关于x 的方程x2+（k+3）x+k+2＝0， Δ＝（k+3）2 4×1× ﹣ （k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0， 、当k＝﹣1 时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误； B、因为Δ≥0，所以不存在k 的值，使得使得方程没有实数解．故此选项错误； 1 、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k 2 ﹣，所以无论k 为何值，方程总有一个固定不变的实数 根﹣1，故此选项正确； D、当k≠ 1 ﹣时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误； 故选：． 【变式2-1】（2022•南召县模拟）已知关于x 的方程（x 1 ﹣）（x+2）＝p，则下列分析正 确的是（ ） ．当p＝0 时，方程有两个相等的实数根 B．当p＞0 时，方程有两个不相等的实数根 ．当p＜0 时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p 的值无关 【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正 确与否即可． 【解答】解：方程（x 1 ﹣）（x+2）＝p 可整理为x2+x 2 ﹣﹣p＝0， Δ ∴＝12 4×1× ﹣ （﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9． 当p＝0 时，Δ＝4p+9＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选项不符合题意； 当p＞0 时，Δ＝4p+9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选项B 符合题意； 当p＜0 时，Δ 的正负无法确定， ∴无法判断该方程实数根的情况， 故选项不符合题意； ∵方程的根的情况和p 的值有关， 故选项D 不符合题意． 故选B． 【变式2-2 】（2022• 环翠区一模）对于任意的实数k ，关于x 的方程 1 4 x 2−(k+2)x+2k 2+5k+5=0的根的情况为（ ） ．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 ．没有实数根 D．无法判定 【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝﹣（k+1 2 ）2−3 4 ＜0，然后根据根的判别式的 意义判断方程根的情况． 1 【解答】解：∵Δ＝[﹣（k+2）]2 4 ﹣× 1 4 （2k2+5k+5） ＝﹣（k+1 2 ）2−3 4 ＜0， ∴方程无实数根． 故选：． 【变式2-3】（2022 春•平潭县期末）对于任意实数k，关于x 的方程x2 2 ﹣（k+5） x+2k2+4k+50＝0 的根的情况为（ ） ．有两个相等的实数根 B．无实数根 ．有两个不相等的实数根 D．无法判定 【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝﹣4（k 3 ﹣）2 64 ﹣ ＜0，然后根据根的判别式的 意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵Δ＝4（k+5）2 4 ﹣（2k2+4k+50） ＝﹣4（k 3 ﹣）2 64 ﹣ ＜0， ∴方程无实数根． 故选：B． 【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】 【例3】（2022•桥西区校级模拟）探讨关于x 的一元二次方程x2+bx 1 ﹣＝0 总有实数根的 条件，下面三名同学给出建议：甲：，b 同号；乙：﹣b 1 ﹣＝0；丙：+b 1 ﹣＝0．其中 符合条件的是（ ） ．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 ．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确 【分析】根据根的判别式的定义得到Δ＝b2+4，根据特例可根的判别式的意义可对甲的 条件进行判断；若＝b+1，则Δ＝（b+2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对乙的条件 进行判断；若＝﹣b+1，Δ＝（b 2 ﹣）2≥0，则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行 判断． 【解答】解：Δ＝b2+4， 若、b 同号，＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1 4 ﹣＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以甲的条件 不满足方程总有实数根； 若﹣b 1 ﹣＝0，即＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以乙的条 件满足方程总有实数根； 若+b 1 ﹣＝0，即＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b 2 ﹣）2≥0，方程总有实数根，所以丙 的条件满足方程总有实数根； 故选：B． 1 【变式3-1】（2022•肥西县模拟）已知三个实数，b，满足+b﹣＝0，3+b﹣＞0，则关于x 的方程x2﹣x+b＝0 的根的情况是（ ） ．无实数根 B．有且只有一个实数根 ．两个实数根 D．无数个实数根 【分析】根据条件得到+b＝，＞0，关于x 的方程x2﹣x+b＝0 是一元二次方程，根据判 别式求根的情况即可． 【解答】解：∵+b﹣＝0，3+b﹣＞0， + ∴b＝，3+b﹣（+b）＞0， 3+ ∴ b﹣﹣b＞0， 2 ∴＞0， ∴＞0， ∴关于x 的方程x2﹣x+b＝0 是一元二次方程， Δ ∵＝（﹣）2 4 ﹣b ＝2 4 ﹣b ＝（+b）2 4 ﹣b ＝（﹣b）2≥0， ∴方程有两个实数根， 故选：． 【变式3-2】（2022 春•德阳月考）函数y＝kx﹣b 的图象如图所示，则关于x 的一元二次方 程x2+bx+k 1 ﹣＝0 的根的情况是（ ） ．没有实数根 B．有两个相等的实数根 ．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】利用一次函数的性质得k＜0，再计算判别式的值得到Δ＝b2 4 ﹣k+4，然后判断 △的符合，从而得到方程根的情况． 【解答】解：由图象可得k＜0， Δ ∵＝b2 4 ﹣（k 1 ﹣）＝b2 4 ﹣k+4， ∵b2≥0， 1 ∴b2+4＞0， 4 ∵﹣k＞0， Δ ∴＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【变式3-3】（2022•咸安区模拟）已知不等式组{ x−a＞0 1 2 x−3＜1有3 个整数解，则关于x 的方 程x2+（2 1 ﹣）x+＝0 根的情况为（ ） ．无法判断 B．有两个不相等的实数根 ．有两个相等的实数根 D．无实数根 【分析】先解不等式组得到＜x＜8，再利用不等式组有3 个整数解得到4≤＜8，对于一 元二次方程x2+（2 1 ﹣）x+＝0，计算根的判别式的值得到Δ＝﹣4+1，利用的范围可判 断Δ＜0，然后根据根的判别式的意义可判断方程根的情况． 【解答】解：{ x−a＞0 ① 1 2 x−3＜1 ② ， 解①得x＞， 解②得x＜8， ∵不等式组有解， ∴＜x＜8， ∵不等式组有3 个整数解， 4≤ ∴ ＜8， ≠0 ∵ ， ∴方程x2+（2 1 ﹣）x+＝0 为一元二次方程， Δ ∵＝（2 1 ﹣）2 4 ﹣2＝﹣4+1， 而4≤＜8， Δ ∴＜0， ∴方程没有实数根． 故选：D． 【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】 【例4】（2022 春•长丰县期末）关于x 的一元二次方程（m 1 ﹣）x2+2x 1 ﹣＝0 有两个不相 等的实数根，则m 的取值范围是（ ） ．m＜﹣1 B．m＞0 ．m＜1 且m≠0 D．m＞0 且m≠1 1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m 1≠0 ﹣ 且Δ＝22 4× ﹣ （m 1 ﹣） ×2＞0，然后求出两不等式解集的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得m 1≠0 ﹣ 且Δ＝22 4 ﹣（m 1 ﹣）（﹣1）＞0， 解得m＞0 且m≠1． 故选：D． 【变式4-1】（2022•西平县模拟）若关于x 的一元二次方程x2﹣（2k 1 ﹣）x+k2 2 ﹣＝0 有实 数根，则k 的取值范围是（ ） ．k ≤9 4 B．k ≥9 4 ．k ＞9 4 D．k ＜9 4 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（2k 1 ﹣）2 4 ﹣（k2 2 ﹣）≥0，然后解不等式即 可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（2k 1 ﹣）2 4 ﹣（k2 2 ﹣）≥0， 解得k≤9 4 ． 故选：． 【变式4-2】（2022•滑县模拟）若关于x 的一元二次方程2kx2 3 ﹣❑ √k+1x+1＝0 有两个不相 等的实数根，则k 的取值范围是（ ） ．k＞﹣9 B．k＞﹣9 且k≠0 ．k≥ 1 ﹣且k≠0 D．k＞﹣1 且k≠0 【分析】利用一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到 { 2k ≠0 k+1≥0 Δ=(3 ❑ √k+1) 2−4×2k ＞0 ，然后解不等式组即可． 【解答】解：根据题意得{ 2k ≠0 k+1≥0 Δ=(3 ❑ √k+1) 2−4×2k ＞0 ， 解得k≥ 1 ﹣且k≠0， 即k 的取值范围为k≥ 1 ﹣且k≠0． 故选：． 【变式4-3】（2022•定海区一模）直线y＝x﹣不经过第二象限，且关于x 的方程x2 2 ﹣x+1 ＝0 有实数解，则的取值范围是（ ） ．0≤≤1 B．≤＜1 ．0＜≤1 D．0＜＜1 【分析】利用一次函数的性质得到≥0，再判断Δ＝（﹣2）2 4≥0 ﹣ ，从而得到的取值范 围． 【解答】解：∵直线y＝x﹣不经过第二象限， ≤0 ∴﹣ ， 1 ≥0 ∴ ， 当＝0 时，关于x 的方程x2 2 ﹣x+1＝0 是一元一次方程，解为x¿ 1 2， 当＞0 时，关于x 的方程x2 2 ﹣x+1＝0 是一元二次方程， Δ ∵＝（﹣2）2 4≥0 ﹣ ， ≤1 ∴ ． 0≤≤1 ∴ ， 故选：． 【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】 【例5】（2022•合肥模拟）若关于x 的一元二次方程x（x 2 ﹣）＝2mx 有两个相等的实数根， 则实数m 的值为（ ） ．﹣1 B．0 ．﹣1 或0 D．4 或1 【分析】先把方程化为一般式为x2 2 ﹣（m+1）x＝0，根据根的判别式的意义得到Δ＝4 （m+1）2 4×0 ﹣ ＝0，然后解关于m 的方程即可． 【解答】解：方程化为一般式为x2 2 ﹣（m+1）x＝0， 根据题意得Δ＝4（m+1）2 4×0 ﹣ ＝0， 解得m＝﹣1． 故选：． 【变式5-1】（2022•高新区校级二模）已知一元二次方程a x 2+❑ √b x+1=0有两个相等的实 数根，则，b 的值可能是（ ） ．＝﹣1，b＝﹣4 B．＝0，b＝0 ．＝1，b＝2 D．＝1，b＝4 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ＝b 4 ﹣＝0，一元二次方程二 次项系数不为0，可得≠0，二次根式有意义可得b≥0，即可进行判断． 【解答】解：根据题意，得Δ＝b 4 ﹣＝0，≠0，b≥0， ∵b＝﹣4＜0， 故选项不符合题意； ∵＝0， 故B 选项不符合题意； 当＝1 时，b 4 ﹣＝0， 解得b＝4， 故选项不符合题意，D 选项符合题意， 故选：D． 【变式5-2】（2022•江夏区模拟）已知关于x 的一元二次方程（3 1 ﹣）x2﹣x+1 4 =¿0 有两 1 个相等的实数根，则代数式2 2+1 ﹣ +1 a 的值（ ） ．﹣3 B．3 ．2 D．﹣2 【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到3 1≠0 ﹣ 且Δ＝2 4× ﹣ （3 1 ﹣） × 1 4 =¿0，则2 3+1 ﹣ ＝0，再将2＝3 1 ﹣代入代数式得到+1 a ，通分后得到a 2+1 a ，再代入 2+1＝3 计算即可． 【解答】解：根据题意得3 1≠0 ﹣ 且Δ＝2 4× ﹣ （3 1 ﹣）× 1 4 =¿0，即2 3+1 ﹣ ＝0， ∴2＝3 1 ﹣， 所以原式＝3 1 2+1 ﹣﹣ +1 a =¿+1 a =a 2+1 a =3a a =¿3． 故选：B． 【变式5-3】（2022 春•余杭区月考）若关于x 的一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）有两个相 等的实数根，且满足4 2 ﹣b+＝0，则（ ） ．b＝ B．＝2 ．（x+2）2＝0 D．﹣（x 2 ﹣）2＝0 【分析】由一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）满足4 2 ﹣b+＝0 可得出x＝﹣2 是方程 x2+bx+＝0 的解，进而可得出（x+2）2＝0（≠0），此题得解． 【解答】解：∵一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）满足4 2 ﹣b+＝0， ∴x＝﹣2 是方程x2+bx+＝0 的解， 又∵有两个相等的实数根， ∴（x+2）2＝0（≠0）． 故选：． 【题型6 根的判别式与新定义的综合】 【例6】（2022•烟台一模）定义新运算⋆b，对于任意实数，b 满足⋆b﹣（+b）（﹣b）﹣ 2．例如3 2 ⋆＝（3+2）（3 2 ﹣）﹣2＝5 2 ﹣＝1，若x⋆（2x 1 ﹣）＝﹣3 是关于x 的方程， 则它的根的情况是（ ） ．有一个实根 B．没有实数根 ．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【分析】先根据新运算得到[x+（2x 1 ﹣）][x﹣（2x 1 ﹣）] 2 ﹣＝﹣3，再把方程化为一般 式得到3x2 4 ﹣x＝0，接着计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根 的情况． 【解答】解：∵x⋆（2x 1 ﹣）＝﹣3， [ ∴x+（2x 1 ﹣）][x﹣（2x 1 ﹣）] 2 ﹣＝﹣3， 1 整理得3x2 4 ﹣x＝0， Δ ∵＝（﹣4）2 4×3×0 ﹣ ＝16＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【变式6-1】（2022•青县二模）定义运算：m※＝m2 2 ﹣m 1 ﹣，例如：4 2 ※ ＝4×22 2×4×2 ﹣ ﹣ 1＝﹣1．若关于x 的方程※x＝0 有实数根，则的取值范围为（ ） ．﹣1≤≤0 B．﹣1≤＜0 ．≥0 或≤﹣1 D．＞0 或≤﹣1 【分析】根据新定义运算法则列出关于x 的方程，根据根的判别式进行判断即可． 【解答】解：由题意可知：※x＝x2 2 ﹣x 1 ﹣＝0， 当＝0 时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解； 当≠0 时， ∵关于x 的方程※x＝0 有实数根， Δ ∴＝42+4＝4（+1）≥0， 解得≤﹣1 或＞0． 故选：D． 【变式6-2】（2022•宁远县模拟）定义新运算“※”：对于实数m，，p，q 有[m， p] [ ※ q，]＝m+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3] [4 ※ ，5]＝ 2×5+3×4＝22，若