第07讲 一元二次方程（讲义）（解析版）

第07 讲 一元二次方程 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 一元二次方程的相关概念 题型01 识别一元二次方程 题型02 由一元二次方程的概念求参数 的值 题型03 一元二次方程的一般式 题型04 由一元二次方程的解求参数的 值 题型05 由一元二次方程的解求代数式 的值 题型06 已知一元二次方程的一个根， 求另一个根 考点二 解一元二次方程 题型01 用直接开平方法解一元二次方 程 题型02 利用配方法解一元二次方程 题型03 利用因式分解法解一元二次方 程 题型04 利用公式法解一元二次方程 题型05 利用换元法解一元二次方程 题型06 选用合适的方法解一元二次方 程 题型07 错看或错解一元二次方程问题 题型08 配方法的应用 题型09 判断不含字母的一元二次方程 的根的情况 题型10 判断含字母的一元二次方程根 的情况 题型11 由方程根的情况确定字母的值 或取值范围 题型12 应用根的判别式证明方程根的 情况 题型13 应用根的判别式求代数式的取 值范围 题型14 与根的判别式有关的新定义问 题 考点三 一元二次方程根与系数的关系 题型01 由根与系数的关系直接求代数 式的值 题型02 由根与系数的关系和方程的解 通过代换求代数式的值 题型03 由根与系数的关系和方程的解 通过降次求代数式的值 题型04 由方程两根满足关系求字母或 代数式的值 题型05 不解方程由根与系数的关系判 断根的正负 题型06 由方程两根的不等关系确定字 母系数的取值范围 题型07 与根与系数有关的新定义问题 题型08 构造一元二次方程求代数式的 值 题型09 根与系数的关系和根的判别式 的综合应用 考点四 一元二次方程的应用 题型01 分裂（传播）问题 题型02 碰面（循环）问题 题型03 增长率问题 题型04 营销问题 题型05 工程问题 题型06 行程问题 题型07 与图形有有关的问题 考点要求 新课标要求 命题预测 一元二次方程的相 关概念  理解一元二次方程的相关概念 本考点内容以考查一元二 次方程的相关概念、解一元二次 方程、根的判别式、韦达定理 （根与系数的关系）、一元二次 方程的应用题为主，既有单独考 查，也有和二次函数结合考察最 值问题，年年考查，分值为15 分 左右 预计2024 年各地中考还将 继续考查上述的几个题型，复习 过程中要多注意各基础考点的巩 固，特别是解法中公式法的公 式，不要和后续二次函数顶点坐 标的纵坐标公式记混了． 一元二次方程的解 法  理解配方法，能用配方法、公式法、因式分 解法解数字系数的一元二次方程；  会用一元二次方程根的判别式判别方程是否 有实根及两个实根是否相等； 一元二次方程的根 与系数的关系  了解一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的应 用  能根据具体问题的实际意义，检验方程解的 合理性 考点一 一元二次方程的相关概念 一元二次方程 的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程，叫做一元二次方程 一般形式： a x 2+bx+c=0(a≠0)， 其中：是二次项系数，b 是一次项系数，是常数项 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解 题型01 识别一元二次方程 【例1】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ） ．x 2−1=0 B．2 x+ y=1 ．x+ 1 x =3 D．4 x+5=6 x 【答】 【提示】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2 的整式方程叫 一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：、是一元二次方程，故该选项符合题意； B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； 、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、未知数的最高次数是1，故是一元一次方程，该选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含 未知数的项的最高次数是2． 【变式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ） ．x 2+x−y=0 B．a x 2+2 x−3=0 ．x 2+2 x+5=x( x−1) D．x 2−1=0 【答】D 【提示】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2 的整式方程叫做一元 二次方程，逐项提示判断即可． 【详解】解：、x 2+x−y=0，二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、a x 2+2 x−3=0，当a=0时，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 、x 2+2 x+5=x( x−1)整理后得3 x+5=0，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 1 如果明确了a x 2+bx+c=0是一元二次方程,就隐含了≠0 这个条件（当=0 时，不含有二次项，即不是 一元二次方程） 2 一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2 3 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断 4 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的所以在确定一元二次方程各项的系数时, 应先将方程化为一般形式 5 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． D、x 2−1=0，是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式 方程叫一元二次方程”是解题的关键． 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值 【例2】（2023 南阳市一模）关于x 的方程(m+1) x|m|+1−mx+6=0是一元二次方程，则m 的值是（ ） ．−1 B．3 ．1 D．1 或−1 【答】 【提示】根据一元二次方程的定义，即可求解． 【详解】解：∵关于x 的方程(m+1) x|m|+1−mx+6=0是一元二次方程， ∴|m|+1=2且m+1≠0， 解得：m=1． 故选． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2 的整 式方程是一元二次方程是解题的关键． 【变式2-1】（2022 上·辽宁沈阳·九年级期中）方程(m−2)x m 2−2+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方 程，则m=¿ ． 【答】−2 【提示】根据一元二次方程的定义知，m 2−2=2，且m−2≠0，据此可以求得m的值． 【详解】解：∵方程(m−2)x m 2−2+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方程， ∴m 2−2=2，且m−2≠0， 解得m=−2； 故答是：−2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关 键． 题型03 一元二次方程的一般式 【例3】（2022 上·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考期中）将一元二次方程3 x 2=5 x−1写成一般形式， 下列等式正确的是（ ） ．3 x 2−5 x−1=0 B．3 x 2+5 x−1=0 ．3 x 2−5 x+1=0 D．3 x 2+5 x+1=0 【答】 【提示】把等号右边的式子移到等号左边即可解题． 【详解】解：3 x 2=5 x−1 移项得：3 x 2−5 x+1=0 故选． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握移项变号的基本步骤． 【变式3-1】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程4 x 2+8 x=25化成 a x 2+bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为（ ） ．4，8，25 B．4，2，−25 ．4，8，−25 D．1，2，25 【答】 【提示】将4 x 2+8 x=25移项化为一元二次方程的一般式即可求解． 【详解】解：将原方程化为一般形式得：4 x 2+8 x−25=0， ∴a=4，b=8，c=−25， 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程一般式是解决问题的关键． 【变式3-2】．（2021 上·山西晋中·九年级阶段练习）若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它 的一个根为2，则该方程为 ． 【答】x 2−2 x=0/-2x+x2=0 【提示】直接利用已知要求得出符合题意的方程． 【详解】解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2-2x=0． 故答为：x2-2x=0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键． 【变式3-3】（2023 集贤县·九年级期中）已知关于x的一元二次方程(a−1) x 2+x+a 2−1=0的常数项是 0，则a的值为（ ） ．1 B．−1 ．1 或−1 D．1 2 【答】B 【提示】根据一元二次方程的定义和题意列出满足的条件求解即可． 【详解】解：由题意，¿， 解得：a=−1， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 题型04 由一元二次方程的解求参数的值 【例4】（2022·广东·中考真题）若x=1是方程x 2−2 x+a=0的根，则a=¿ ． 【答】1 【提示】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1 代入方程得到的值． 【详解】把x=1 代入方程x 2−2 x+a=0，得1−2+=0， 解得=1， 故答为：1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解， 就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式4-1】（2021·湖南长沙·中考真题）若关于x的方程x 2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为 ． 【答】−1 【提示】将x=3代入方程可得一个关于k的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将x=3代入方程x 2−kx−12=0得：3 2−3k−12=0， 解得k=−1， 故答为：−1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 【例5】（2023·甘肃陇南·一模）关于x的一元二次方程2 x a−2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（ ） ．9 B．8 ．6 D．4 【答】 【提示】根据一元二次方程的概念可求出a的值，根据解为x=1可求出m的值，由此即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程2 x a−2+m=4， ∴a−2=2，解得，a=4， ∴一元二次方程2 x 2+m=4， ∵解为x=1， ∴2×1 2+m=4，解得，m=2， ∴a+m=4+2=6， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代数式求值 的方法是解题的关键． 【变式5-1】（2023·北京海淀·校考模拟预测）如果x=−1是方程x 2+mx+n=0的一个根，那么m、的大 小关系是（ ） ．m>n B．m=n ．m<n D．不确定的 【答】 利用方程根的概念将方程的根代入原方程再解方程就可以求出参数的值，同时还要注意限制参数 取值的其他隐含条件 【分析】把方程的解代入方程，得到m，的关系式，判断m，的大小． 【详解】解：把x=−1代入方程有：1−m+n=0 ∴m−n=1>0 ∴m>n． 故选：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到m，的关系式，是解题的关键． 【变式5-2】（2023 渭南市月考）若关于x 的方程a x 2+bx−1=0的一个解为x=1，则2023−a−b=¿ ． 【答】2022 【分析】先把方程的解代入方程，得到a+b=1，再求代数式的值． 【详解】解：把x=1代入方程a x 2+bx−1=0得a+b−1=0， 即a+b=1， 所以2023−a−b=2023−(a+b)=2023−1=2022． 故答为：2022． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，“知解必代”是解题的关键． 【变式5-3】（2023·广东佛山·校考一模）已知a是方程2 x 2−5 x−7=0的一个根，则代数式4 a 2−10a的 值是 ． 【答】14 【分析】根据方程的根的定义，把x=a代入方程求出2a 2−5a−7=0即可解答； 【详解】解：∵a是方程2 x 2−5 x−7=0的一个根， ∴2a 2−5a−7=0， 整理得，2a 2−5a=7， ∴4 a 2−10a=2(2a 2−5a)=14， 故答是：14． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的概 念是解题的关键． 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根 【例6】（2022·广西贵港·中考真题）若x=−2是一元二次方程x 2+2 x+m=0的一个根，则方程的另一个 根及m 的值分别是（ ） ．0，−2 B．0，0 ．−2，−2 D．−2，0 【答】B 【提示】直接把x=−2代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意， ∵x=−2是一元二次方程x 2+2 x+m=0的一个根， 把x=−2代入x 2+2 x+m=0，则 (−2) 2+2×(−2)+m=0， 解得：m=0； ∴x 2+2 x=0， ∴x( x+2)=0， ∴x1=−2，x=0， ∴方程的另一个根是x=0； 故选：B 【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算． 【变式6-1】（2023 宁德市一模）关于x 的一元二次方程x 2−2kx−5=0的一个根是1，则这个方程的另一 个根是 ． 【答】−5 【提示】根据方程的一个根1 代入方程求出k，得到一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∴关于x 的一元二次方程x 2−2kx−5=0的一个根是1， ∴1−2k−5=0， ∴k=−2， ∴x 2+4 x−5=0， 解得x1=1，x2=−5， ∴方程的另一个根是-5． 故答为：-5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键． 【变式6-2】（2023 遵义市第十一中三模）若关于x的一元二次方程x 2−kx−2=0的一个根为x=1，则这 个一元二次方程的另一个根为 ． 【答】-2 【提示】由题目已知x=1 是方程的根，代入方程后求出k 的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题． 【详解】解：将x=1 代入一元二次方程x 2−kx−2=0有：1−k−2=0，k=-1， 方程x 2+ x−2=0 ( x+2)( x−1)=0 即方程的另一个根为x=-2 故本题的答为-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其 中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键． 考点二 解一元二次方程 解 一 元 二 次 方 程 的 方 法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程， 得到的两个解就是原方程的解 特征 步骤 解 法 直接 开平 方法 形如x2=b （≠0）的一元 二次方程 1）方程两边同时除以，得x2=b a 2）两边分别开方得x1¿ ❑ √ b a=，x2= -❑ √ b a 配方 法 可配成 (mx+) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解 【注意】：①当b <0 时，方程无解 ②当b≥0 时，方程的根是x=−a± ❑ √b m 因式 分解 法 可化成 (x+b)(x+d)=0 形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解 公式 法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定、b、的值(若系数是分数通常将其化 为整数，方便计算)； 2）求出b2-4 的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4≥0, 将、b、的值代入求根公式：x=−b± ❑ √b 2−4 ac 2a ； 4）最后求出x1，x2。 一元二次方程x2+bx+=0（≠0）的解法选择： 1）当=1，b 为偶数，≠0 时，首选配方法； 2）当b=0 时，首选直接开平方法； 3）当=0 时，可选因式分解法或配方法； 4）当=1，b≠0，≠0 时，可选配方法或因式分解法； 5）当≠1，b≠0，≠0 时，可选公式法或因式分解法 根的判别式 一般地，式子b 2−4 ac叫做一元二次方程a x 2+bx+c=0(a≠0) 根的判别式， 通常用希腊字母Δ 表示，即Δ=b 2−4 ac 根的情况 与判别式 的关系 Δ＞0 方程a x 2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根:x=−b± ❑ √b 2−4 ac 2a Δ=0 方程a x 2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根：x1=x2=−b 2a Δ＜0 方程a x 2+bx+c=0(a≠0)无实根 题型01 用直接开平方法解一元二次方程 【例1】（2023·天津西青·二模）方程(x+6) 2−9=0的两个根是（ ） ．x1=3，x2=9 B．x1=−3，x2=9 ．x1=3，x2=−9 D．x1=−3，x2=−9 【答】D 【提示】根据直接开平方法求解即可． 【详解】解：(x+6) 2−9=0， (x+6) 2=9， 1 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且它 们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根 2 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含 有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0 3 求根公式的使用条件：≠0 且b2-4≥0 4 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定,b, 的值 5 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, Δ>0; 2）有两个相等的实数根时, Δ=0; 3）没有实