2025年六升七数学衔接期一元二次方程解法综合试卷及答案

2025 年六升七数学衔接期一元二次方程解法综合试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是： A. \( x^3 - 2x + 1 = 0 \) B. \( 2x - 5 = 0 \) C. \( x^2 + 3x - 4 = 0 \) D. \( \frac{1}{x} + x = 2 \) 2. 方程\( x^2 - 4x + 4 = 0 \) 的解是： A. \( x = 2 \) B. \( x = -2 \) C. \( x = 4 \) D. \( x = 0 \) 3. 用配方法解方程\( x^2 - 6x + 5 = 0 \)，配方后正确的是： A. \( (x-3)^2 = 4 \) B. \( (x-3)^2 = 9 \) C. \( (x-6)^2 = 31 \) D. \( (x-3)^2 = 14 \) 4. 一元二次方程\( ax^2 + bx + c = 0 \)（\( a \neq 0 \)）的求根 公式是： A. \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) B. \( x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) C. \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a} \) D. \( x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a} \) 5. 方程\( 2x^2 - 8x = 0 \) 的解是： A. \( x = 0 \) B. \( x = 4 \) C. \( x = 0 \) 或\( x = 4 \) D. \( x = 0 \) 或\( x = -4 \) 6. 若方程\( x^2 - kx + 9 = 0 \) 有两个相等的实数根，则\( k \) 的 值是： A. 6 B. -6 C. 3 D. 6 或-6 7. 方程\( (x-1)(x+2) = 0 \) 的解是： A. \( x = 1 \) B. \( x = -2 \) C. \( x = 1 \) 或\( x = -2 \) D. \( x = -1 \) 或\( x = 2 \) 8. 用公式法解方程\( x^2 + 2x - 3 = 0 \) ，判别式\( D \) 的值是： A. 16 B. 8 C. 4 D. -8 9. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的解的情况是： A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 10. 解方程\( 3x^2 = 27 \) 的正确步骤是： A. 两边除以3：\( x^2 = 9 \)，开平方：\( x = 3 \) B. 两边除以3：\( x^2 = 9 \)，开平方：\( x = \pm 3 \) C. 移项：\( 3x^2 - 27 = 0 \)，因式分解：\( 3(x^2 - 9) = 0 \) ，得\( x = \pm 3 \) D. B 和C 都正确 二、多项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列方程中，是一元二次方程的有： A. \( x^2 + \frac{1}{x} = 2 \) B. \( 3y^2 - 2y + 1 = 0 \) C. \( t^2 = 5 \) D. \( (m-1)^2 = m^2 + 3 \) E. \( 2z - z^2 = 0 \) 2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的根可以是： A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 E. -1 3. 解方程\( x^2 - 4 = 0 \) 可以采用的方法有： A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 E. 图像法 4. 对于方程\( ax^2 + bx + c = 0 \)（\( a \neq 0 \) ），若判别式 \( D = b^2 - 4ac > 0 \)，则： A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 求根公式中的被开方数大于零 E. 方程一定有实数根 5. 下列配方过程正确的有： A. \( x^2 + 4x + 1 = 0 \) → \( (x+2)^2 - 4 + 1 = 0 \) → \ ( (x+2)^2 = 3 \) B. \( x^2 - 6x = 2 \) → \( (x-3)^2 - 9 = 2 \) → \( (x-3)^2 = 11 \) C. \( 2x^2 - 8x + 3 = 0 \) → 两边除以2：\( x^2 - 4x + \frac{3}{2} = 0 \) → \( (x-2)^2 - 4 + \frac{3}{2} = 0 \) → \ ( (x-2)^2 = \frac{5}{2} \) D. \( x^2 + x - 1 = 0 \) → \( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} - 1 = 0 \) → \( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{4} \) E. \( 3x^2 + 12x = 5 \) → 两边除以3：\( x^2 + 4x = \frac{5}{3} \) → \( (x+2)^2 - 4 = \frac{5}{3} \) → \ ( (x+2)^2 = \frac{17}{3} \) 6. 方程\( x(x-3) = 0 \) 的解是： A. \( x = 0 \) B. \( x = 3 \) C. \( x = -3 \) D. \( x = 1 \) E. \( x = 2 \) 7. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是： A. \( x^2 - 4x + 4 = 0 \) B. \( x^2 + 3x - 4 = 0 \) C. \( 2x^2 - x + 1 = 0 \) D. \( x^2 - 5x = 0 \) E. \( x^2 + x + \frac{1}{4} = 0 \) 8. 解方程\( x^2 - 3x - 4 = 0 \) 可以： A. 因式分解为\( (x-4)(x+1) = 0 \) B. 使用公式法，\( D = 25 \) C. 配方为\( \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \) D. 直接看出根为\( x = 4, x = -1 \) E. 移项得\( x^2 - 3x = 4 \) ，再两边加\( \frac{9}{4} \) 配方 9. 关于方程\( x^2 + 2x + 1 = 0 \) 的说法正确的有： A. 它是一个一元二次方程 B. 它的判别式\( D = 0 \) C. 它有两个相等的实数根\( x = -1 \) D. 它可以用因式分解法解：\( (x+1)^2 = 0 \) E. 它没有实数根 10. 解方程\( 2x^2 + 4x - 6 = 0 \) 的合理步骤包括： A. 两边除以2：\( x^2 + 2x - 3 = 0 \) B. 因式分解：\( (x+3)(x-1) = 0 \) C. 使用公式法：\( D = 4 + 12 = 16 \)，\( x = \frac{-2 \pm 4}{2} \) D. 配方：\( x^2 + 2x + 1 = 4 \)，\( (x+1)^2 = 4 \) E. 直接开平方 三、判断题（每题2 分，共10 题） 1. 方程\( 3x - 2 = x^2 \) 是一元二次方程。( ) 2. 方程\( x^2 = -1 \) 在实数范围内没有解。( ) 3. 方程\( ax^2 + bx + c = 0 \) 中，如果\( a = 0 \)，它就不是一 元二次方程。( ) 4. 配方法解\( x^2 - 8x + 15 = 0 \) 时，配方得到\( (x-4)^2 = 1 \) 。( ) 5. 公式法适用于所有的一元二次方程。( ) 6. 方程\( (x-2)^2 = 9 \) 的解是\( x = 5 \) 或\( x = -1 \) 。( ) 7. 方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个根都是负数。( ) 8. 如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么它的判别式一定大 于零。( ) 9. 解方程\( x^2 - 5x = 0 \) 时，两边同时除以\( x \) 得到\( x - 5 = 0 \) ，所以\( x = 5 \) 是唯一解。( ) 10. 方程\( 2x^2 + 3x + \frac{9}{8} = 0 \) 有两个相等的实数 根。( ) 四、简答题（每题5 分，共4 题） 1. 用因式分解法解方程：\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。 2. 用配方法解方程：\( x^2 + 4x - 5 = 0 \)。 3. 用公式法解方程：\( 2x^2 - 4x - 1 = 0 \)（结果保留根号）。 4. 一个矩形的长比宽多3 米，面积是40 平方米。设宽为\( x \) 米， 列出方程并求出矩形的长和宽。 答案 一、单项选择题 1. C 2. A 3. A 4. A 5. C 6. D 7. C 8. A 9. A 10. D 二、多项选择题 1. B, C, E 2. B, C 3. A, C, D 4. A, D 5. A, B, C, D 6. A, B 7. B, D 8. A, B, C, D 9. A, B, C, D 10. A, B, C, D 三、判断题 1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. √ 6. √ 7. √ 8. √ 9. × 10. √ 四、简答题 1. \( (x-2)(x-3)=0 \) ，解得\( x_1=2, \, x_2=3 \) 2. \( x^2 + 4x = 5 \)，配方：\( x^2 + 4x + 4 = 9 \)，\ ( (x+2)^2=9 \) ，解得\( x_1=1, \, x_2=-5 \) 3. \( a=2, \, b=-4, \, c=-1 \)，\( D=(-4)^2- 4\times2\times(-1)=16+8=24 \)，\( x=\frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2} \) 4. 设宽为\( x \) 米，则长为\( (x+3) \) 米。方程：\( x(x+3)=40 \) ，即\( x^2 + 3x - 40 = 0 \) 。解得\( (x+8)(x-5)=0 \)，\ ( x_1=5 \) (舍负)，宽5 米，长8 米。