专题05 与根的判别式有关的两种考法（解析版）

专题05 与根的判别式有关的两种考法 类型一、参数位置的问题 例1（二次项含参）关于x 的方程 ，只有一个实数解，则m 的值等于（ ） ．0，2 B．1，2 ．0， ，1 D．0，2，1 【答】D 【分析】方程 ，只有一个实数解，则有两种情况，二次项系数为0，一次项系数不 为0；二次项系数不为0 时，二次方程有两个相等的实数根． 【详解】方程 ，只有一个实数解，有两种情况： ①当 时，即 时，方程为 ， ∴ ． 故 时， 程 ，只有一个实数解． ②当 时，方程有一个实数解需满足： ． 即 ． 解得： ． 综上所述，m 的值等于0，2，1 时，方程 ，只有一个实数解． 故选：D． 【点睛】本题考查了方程根的判别式，解题的关键是分一次方程与二次方程两种情况讨论． 例2（二次项不含参）关于x 的方程 根的情况是（ ） ．没有实数根 B．有两个不相等实数根 ．有两个相等实数根 D．只有一个实数根 【答】B 【分析】利用判别式和一元二次方程的根的关系进行判断即可． 【详解】解：根据题意得， ， 则关于x 的方程 有两个不相等实数根，故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握 ，一元二次方程有两个不相等的实 数根； ，一元二次方程有一个实数根； ，一元二次方程无实数根是解题的关键． 【变式训练1】若关于x 的方程 有实数根，则k 的取值范围是（ ） ． B． 且 ． D． 且 【答】 【详解】解：当k=0 时，方程化为-x-1=0，解得x=-1； 当k≠0 时，根据题意得Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0，解得k≥- 且k≠0， 综上所述，k 的取值范围为k≥- ． 故选：． 【变式训练2】已知一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是 ． 【答】 【分析】运用根的判别式求参数即可． 【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴ ，整理得， ，解得， ， 故答为： ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程中根据根的情况求参数，掌握根的判别式求参数的计算方法是解题的 关键． 【变式训练3】已知关于x 的一元二次方程 ． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)选择一个m 的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根． 【答】(1)证明见解析 (2)当 时，方程的根是 （答不唯一） 【分析】（1）根据根的判别式 即可证明； （2）先根据方程至少有一个正整数根，求出 ，在此范围内取 ，即可求出方程的根． 【详解】（1）∵ ， ∴该方程总有两个不相等的实数根． （2）∵ ， ∴ ． ∵方程至少有一个正整数根， ∴ ． ∴ ． 当 时，一元二次方程 可化为 ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元 二次方程的根的情况之间的关系是解题的关键． 【变式训练4】若方程 没有实数根，试判断方程 根的情况并说明 理由． 【答】方程 有两个不相等的实数根，理由见解析 【分析】由方程 没有实数根，可求出 ，进而可得出方程 的根的判别式 ，然后根据判别式的意义得出结论． 【详解】解：方程 有两个不相等的实数根， 理由：∵方程 没有实数根， ∴ ， 解得： ， ∴方程 的根的判别式 ， ∴方程 有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式的意义，牢记“①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时， 方程有两个相等的实数根；③当 时，方程无实数根”是解题的关键． 类型二、分情况讨论（是否是二次方程） 例1m 为何值时，关于x 的方程 有唯一的根，并求这个根． 【答】当m＝0 时， ；当m＝ 时， 【详解】解：①当m＝0 时，原方程是一元一次方程， ∴ ，解得 ； ②当m≠0 时，原方程是一元二次方程， 由题意知， ，解得 ， ∴ ，解得 ； 综上所述，该方程的根为 或 ． 例2．（不需要讨论）关于的一元二次方程 ：①若 ，则方程必有两个不相等 的实数根；②若 ，则方程必有两个不相等的实数根．正确的是（ ） ． 【答】② 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：① ，则方程有两个不相等或相等的实数根，即①错误； ① ，则方程必有两个不相等的实数根， 故②正确．故答为②． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，当判别式大于0 时，有两个不同的实根；当判别式等 于0 时，有两个相同的实根；当判别式小于0 时，无实根． 【变式训练1】已知，关于x 的一元二次方程 ． (1)k 取何值时，此方程有两个不相等的实数根？ (2)如果此方程的一个根为 ，求k 的值和另一个根． 【答】(1) 时，方程有两个不相等的实数根；(2) ，另一个根为 【解析】(1)解：∵ ， ， ， ∴ ． ，解得 所以，当 时，方程有两个不相等的实数根． (2)解：把 代入原方程得： ，解得： ． 设另一个根为 ，则 ，即 ，所以方程的另一个根为 ． 【变式训练2】已知关于 的一元二次方程 ． （）求证：方程总有两个实数根； （ ）记该方程的两个实数根为 和 若以 ， ， 为三边长的三角形是直角三角形，求 的值． 【答】（1）见解析；（2） 或 ． 【解析】（）证明： ， 无论 取何值，方程总有两个实数根． （ ）解： ， ． ， ． 以 ， ， 为三边长的三角形是直角三角形， ． 当 为斜边时，则 ，解得 ． 当 为斜边时，则 ，解得 ． 综上所述， 的值为 或 ． 【变式训练3】已知关于 的方程 没有实数根，试判断关于 的方程 实数根 的情况，并说明理由． 【答】一定有两个不相等的实数根．理由见解析． 【分析】根据关于 的方程 没有实数根，求出 的求值范围；再表示关于 的方程 ， ，即可判断该方程根的情况． 【详解】解：∵方程 没有实数根， ， ，对于关于 的方程 ， ， ， ，即 ， ∴方程 一定有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是 解题关键． 课后作业 1．关于x 的一元二次方程 的根的情况是（ ） ．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ．没有实数根 D．根的情况与实数m 的取值有关 【答】B 【分析】把方程化为一般式，然后计算判别式的值，即可得到解答 【详解】解：∵方程化为一般式为 ， 则 ， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法及应用是解题关键． 2．已知 ， ， 为常数，点 在第四象限，则关于x 的一元二次方程 的根的情况为 （ ） ．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 ．没有实数根 D．无法判定 【答】B 【分析】由点 在第四象限，可得 ， ，可得 ，从而可得答． 【详解】解：∵点 在第四象限， ∴ ， ， 方程 的判别式 ， 方程 有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，一元二次方程根的判别式，熟记第四象限内点的坐标特点 为： 以及根的判别式的含义是解本题的关键． 3．已知关于 的一元二次方程 ，若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的 两根，则 的值为（ ） ．3 B．4 ．3 或4 D．不能确定 【答】 【分析】分两种情况：当腰为4 时，当底为4 时，解方程即可得到结论． 【详解】解：当腰为4 时， 把 代入 得， ， 解得 ； 当底为4 时，则方程 有两相等的实数根， ∴ ， ∴ ， 解得 ， 综上所述， m 的值为4 或3． 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、解一元二次方程以及根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的 关键． 4．在平面直角坐标系中，若直线 不经过第三象限，则关于x 的方程 的实数根的情 况为（ ） ．无实数根 B．有两个相等的实数根 ．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答】 【分析】由直线解析式求得k≥0，然后确定Δ 的符号即可． 【详解】解∶ 直线 不经过第三象限， 关于 的方程 的实数根的情况为有两个不相等的实数根， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，根的判别式∶一元二次方程 的根与 有如下关系∶当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时， 方程无实数根． 5．已知关于x 的一元二次方程 的一个根是 ，则方程 的根的情况是（ ） ．没有实数根 B．有两个相等的实数根 ．有两个不相等的实数根 D．有一个根是 【答】 【分析】先将 代入 中求出 ，则一元二次方程 化为 ，然 后计算此方程的根的判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：把 代入 得 ，解得 ， 则一元二次方程 化为 ， ∵ ， ∴一元二次方程 有两个不相等的实数根． 故选：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根． 6．若 是一元二次方程 的一个根，那么方程 的根的情况是（ ） ．有两个不相等的实数根 B．有一个根是 ．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答】B 【分析】先将 代入 中得到 ，再根据一元二次方程根的判别式进行求 解即可得出结论． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个根， ∴ ，即 ， 对于方程 ， ∵ ， ∴方程 有两个实数根，故选项、、D 错误，不符合题意； 当 时， ，即 是方程 的一个根，故选项B 正确，符合题 意，故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握 一元二次方程 根的情况与根的判别式 的关系：当 时，方程有两个不相等的 实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根． 7．关于 的方程 （其中 是实数）一定有实数根吗？为什么？ 【答】一定有；理由见解析 【分析】根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：关于 的方程 中， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴方程一定有实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根． 8．已知关于 的一元二次方程 ． (1)求证：无论 为何值，方程有两个不相等的实数根． (2)如果方程有一个实数根为 ，求另一个实数根． 【答】(1)证明过程见详解 (2)方程的另一个实数根为 【分析】（1）运用根的判别式即可求解； （2）把一个实数根为 代入方程，可求出 的值，再根据解一元二次方程的方法即可求解． 【详解】（1）证明：关于 的一元二次方程 中， ， ∴ ，整理得， ， ∴无论 为何值，方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程有一个实数根为 ， ∴ ，解得， ， ∴原方程得， ， 因式分解得， ， ∴ ， ， ∴方程的另一个实数根为 ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程中根的判别式，根据根的情况求参数的综合，掌握以上知识的综合运 用是解题的关键． 9．关于x 的方程 有实数根，求k 的取值范围． 【答】 【分析】分情况讨论当 时和当 时，方程根的情况，从而求出k 的取值范围． 【详解】①当 时，方程为一元一次方程，原方程可变形为 ，解得 ； ②当 时，方程为一元二次方程， 若方程有实数根，则 ，解得 ， ∴ 且 ， 综上，k 的取值范围为 ． 【点睛】本题考查方程的根，解题的关键是能够分情况讨论． 10．已知关于x 的一元二次方程 ． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值． 【答】(1)见解析；(2)1，2， 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（ ）判断方程的根的情况即可． （2）求出方程的根即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵ = ∴方程有两个实数根； （2）∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴正整数m 的值为1，2．