2025年六升七数学衔接期一元二次方程根的判别式入门试卷及答案

2025 年六升七数学衔接期一元二次方程根的判别式入门试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 一元二次方程\(x^2 - 3x + 2 = 0\) 的根的判别式\(\Delta\) 的 值是（） A. 1 \quad B. -1 \quad C. 9 \quad D. -7 2. 若方程\(x^2 - 4x + k = 0\) 有两个相等的实数根，则\(k\) 的值 为（） A. 2 \quad B. 4 \quad C. 6 \quad D. 8 3. 关于方程\(2x^2 - 5x + 3 = 0\) 的根的情况，下列说法正确的是 （） A. 无实数根\quad B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根\quad D. 无法判断 4. 若\(\Delta = b^2 - 4ac > 0\) ，则方程\(ax^2 + bx + c = 0\) （） A. 无实数根\quad B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根\quad D. 根的情况不确定 5. 方程\(x^2 + 6x + 9 = 0\) 的根的情况是（） A. 无实数根\quad B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根\quad D. 有两个不相等的实数根 6. 若方程\(x^2 - px + 4 = 0\) 有实数根，则\(p\) 的取值范围是 （） A. \(p \geq 4\) \quad B. \(p \leq -4\) \quad C. \(p \geq 4\) 或\ (p \leq -4\) \quad D. \(-4 \leq p \leq 4\) 7. 方程\(3x^2 - 2x + 1 = 0\) 的判别式\(\Delta\) 的值为（） A. 16 \quad B. -8 \quad C. 8 \quad D. -16 8. 若方程\(ax^2 + bx + c = 0\) 的判别式\(\Delta = 0\)，则根为 （） A. \(x = \frac{b}{2a}\) \quad B. \(x = -\frac{b}{2a}\) \quad C. \(x = \frac{b}{a}\) \quad D. \(x = -\frac{b}{a}\) 9. 关于方程\(x^2 + 4 = 0\) 的根的情况，正确的是（） A. 有两个实数根\quad B. 有一个实数根 C. 无实数根\quad D. 有两个相等的实数根 10. 若方程\(x^2 - mx + m = 0\) 有两个不相等的实数根，则\(m\) 满足（） A. \(m 4\) \quad C. \(m 4\) \quad D. \(0 < m < 4\) 二、多项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列方程中有两个不相等的实数根的是（） A. \(x^2 - 5x + 6 = 0\) \quad B. \(x^2 + 4x + 4 = 0\) C. \(2x^2 - 3x + 1 = 0\) \quad D. \(x^2 + x + 1 = 0\) 2. 若方程\(ax^2 + bx + c = 0\) 的判别式\(\Delta > 0\)，则可能 （） A. \(a > 0\) \quad B. \(a 0\) \quad D. 有两个相等的实数根 3. 关于判别式\(\Delta = b^2 - 4ac\) ，下列说法正确的是（） A. 当\(\Delta > 0\) 时，方程有两个不相等的实数根 B. 当\(\Delta = 0\) 时，方程有两个相等的实数根 C. 当\(\Delta < 0\) 时，方程无实数根 D. \(\Delta\) 的值与方程的根无关 4. 下列方程中无实数根的是（） A. \(x^2 - 2x + 3 = 0\) \quad B. \(x^2 + 2x + 1 = 0\) C. \(3x^2 - 2x + 2 = 0\) \quad D. \(x^2 + 5 = 0\) 5. 若方程\(x^2 - 6x + k = 0\) 有两个相等的实数根，则\(k\) 的值 可以是（） A. 6 \quad B. 9 \quad C. 12 \quad D. 3 6. 关于方程\(x^2 + px + q = 0\) ，若\(\Delta = p^2 - 4q < 0\) ，则（） A. 方程无实数根\quad B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程有两个不相等的实数根\quad D. 无法确定根的情况 7. 下列方程中，根的情况相同的是（） A. \(x^2 - 4x + 4 = 0\) \quad B. \(x^2 - 6x + 9 = 0\) C. \(x^2 + 2x + 1 = 0\) \quad D. \(x^2 - 9 = 0\) 8. 若方程\(ax^2 + 2x + 1 = 0\) 无实数根，则\(a\) 可能为（） A. 1 \quad B. 0.5 \quad C. 0.2 \quad D. 0.1 9. 关于方程\(mx^2 - 2x + 1 = 0\) ，下列说法正确的是（） A. 当\(m > 1\) 时，方程无实数根 B. 当\(m = 1\) 时，方程有两个相等的实数根 C. 当\(m < 1\) 且\(m \neq 0\) 时，方程有两个不相等的实数根 D. 当\(m = 0\) 时，方程变为一元一次方程 10. 若方程\(x^2 + bx + c = 0\) 的判别式\(\Delta = 0\)，则 （） A. \(b^2 = 4c\) \quad B. 方程有两个相等的实数根 C. 根为\(x = -\frac{b}{2}\) \quad D. \(c = \frac{b^2} {4}\) 三、判断题（每题2 分，共10 题） 1. 方程\(x^2 + 2x + 1 = 0\) 有两个相等的实数根。（） 2. 若\(\Delta = b^2 - 4ac < 0\) ，则方程\(ax^2 + bx + c = 0\) 无实数根。（） 3. 方程\(x^2 + 3x + 4 = 0\) 无实数根。（） 4. 若方程\(ax^2 + bx + c = 0\) 有两个不相等的实数根，则\ (\Delta > 0\) 。（） 5. 方程\(2x^2 - 4x + 2 = 0\) 的判别式\(\Delta = 0\) 。（） 6. 对于方程\(x^2 - 6x + 9 = 0\) ，其根为\(x = 3\) （重根）。 （） 7. 若\(\Delta = 0\) ，则方程\(ax^2 + bx + c = 0\) 的根为\(x = \frac{b}{2a}\) 。（） 8. 方程\(x^2 + 5x - 6 = 0\) 有两个不相等的实数根。（） 9. 当\(a = 0\) 时，判别式\(\Delta = b^2 - 4ac\) 仍适用。（） 10. 方程\(3x^2 + 2x + 1 = 0\) 的判别式\(\Delta = -8\) 。（） 四、简答题（每题5 分，共4 题） 1. 求方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\) 的判别式\(\Delta\)，并说明根的情 况。 2. 已知方程\(x^2 + px + 9 = 0\) 有两个相等的实数根，求\(p\) 的值。 3. 若方程\(kx^2 - 6x + 3 = 0\) 有两个不相等的实数根，求\(k\) 的取值范围。 4. 一个矩形的长比宽多2 米，面积为15 平方米。设宽为\(x\) 米： (1) 列出关于\(x\) 的方程； (2) 判断该方程根的情况并说明理由。 答案 一、单项选择题：1. A \quad 2. B \quad 3. C \quad 4. C \quad 5. C \quad 6. C \quad 7. B \quad 8. B \quad 9. C \quad 10. C 二、多项选择题：1. AC \quad 2. AB \quad 3. ABC \quad 4. ACD \quad 5. B \quad 6. A \quad 7. ABC \quad 8. BCD \quad 9. BCD \quad 10. ABCD 三、判断题：1. √ \quad 2. √ \quad 3. √ \quad 4. √ \quad 5. √ \quad 6. √ \quad 7. × \quad 8. √ \quad 9. × \quad 10. √ 四、简答题： 1. \(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 4 > 0\)，有两个不 相等的实数根。 2. \(\Delta = p^2 - 4 \times 1 \times 9 = 0\) ，解得\(p = \pm 6\)。 3. \(\Delta = (-6)^2 - 4 \times k \times 3 > 0\) 且\(k \neq 0\) ，解得\(k < 3\) 且\(k \neq 0\)。 4. (1) \(x(x + 2) = 15\) ，即\(x^2 + 2x - 15 = 0\)； (2) \(\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-15) = 64 > 0\)，有两 个不相等的实数根。