第07讲 一元二次方程（练习）（解析版）

第07 讲 一元二次方程 目 录 题型01 识别一元二次方程 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值 题型03 一元二次方程的一般形式 题型04 由一元二次方程的解求参数的值 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根 题型07 选用合适的方法解一元二次方程 题型08 错看或错解一元二次方程问题 题型09 配方法的应用 题型10 判断不含字母的一元二次方程根的情况 题型11 判断含字母的一元二次方程根的情况 题型12 由方程根的情况确定字母的值或取值范围 题型13 应用根的判别式证明方程根的情况 题型14 与根的判别式有关的新定义问题 题型15 由根与系数的关系直接求代数式的值 题型16 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值 题型17 由方程两根满足关系求字母或代数式的值 题型18 与根与系数有关的新定义问题 题型19 构造一元二次方程求代数式的值 题型20 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 题型21 分裂（传播）问题 题型22 碰面（循环）问题 题型23 增长率问题 题型24 营销问题 题型25 与图形有有关的问题 题型01 识别一元二次方程 1．（2023 泸县一诊）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） ．2 x 2=5 x−1 B．x+ 1 x =2 ．(x−3) (x+1)=x 2−5 D．3 x−y=5 【答】 【分析】利用一元二次方程的定义，即可找出结论． 【详解】解：．方程2 x 2=5 x−1是一元二次方程，选项符合题意； B．方程x+ 1 x =2是分式方程，选项B 不符合题意； ．原方程整理得2 x−2=0，该方程为一元一次方程，选项不符合题意； D．3 x−y=5是二元一次方程，选项D 不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2 的整式方 程是一元二次方程是解题的关键． 2．（202 无为市一模）下列方程是一元二次方程的是（ ） ．x 2−2 x+ 1 x =0 B．y=2 x 2−3 x−1 ．x 2−1=0 D．y 2−x+3=0 【答】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解∶、分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含2 个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、含2 个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2 的整 式方程是一元二次方程是解题的关键． 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值 1．（2022 上·湖南长沙·九年级统考期末）若关于x 的方程(m−3) x 2+x−m=0是一元二次方程，则m 的取 值范围是（ ） ．m≠3 B．m=3 ．m≥3 D．m≠0 【答】 【分析】根据一元二次方程的定义，方程二次项系数不等于零，求解即可． 【详解】解：由题意，得m-3≠0， ∴m≠3， 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，一般地，形如x2+bx+=0，，b，是常数，且≠0 的方程是一元二次 方程． 2．（2023·山东青岛·统考二模）关于x 的方程x ¿a∨−1−3 x+2=0是一元二次方程，则的值为 ． 【答】±3 【分析】根据一元二次方程的定义得出|a|−1=2，再求出a即可． 【详解】解：∵关于x的方程x ¿a∨−1−3 x+2=0是一元二次方程， ∴|a|−1=2， 解得：a=±3． 故答为：±3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，是一元二次方程必须同时满足三个条件：①时整式方程，即等 号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 3．（2022 西咸新区五模）若方程(m−1)x 2+❑ √m x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 ． 【答】m≠1 且m≥0 【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】∵方程(m−1)x 2+❑ √m x=1是关于x 的一元二次方程， m-1≠0 ∴ 且m≥0， m≠1 ∴ 且m≥0 故答是：m≠1 且m≥0 【点睛】考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程 叫一元二次方程是解答此题的关键． 题型03 一元二次方程的一般形式 1．（2023 株洲市三模）一元二次方程2 x 2+1=3 x的二次项系数是2，则一次项系数是（ ） ．3 B．−3 ．1 D．−1 【答】B 【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可． 【详解】解：2 x 2+1=3 x， 2 x 2−3 x+1=0， 所以一次项系数是−3， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意： 一元二次方程的一般形式是a x 2+bx+c=0（、b、为常数，a≠0）． 2．（2022 上·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）一元二次方程2 y 2−7=3 y的二次项系数、 一次项系数、常数项分别是（ ） ．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 ．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，7 【答】 【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判 断即可．一元二次方程的一般形式是：a x 2+bx+c=0（，b，是常数且≠0）特别要注意≠0 的条件．这是 在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中a x 2叫二次项，bx 叫一次项，是常数项．其中，b，分别叫 二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程2 y 2−7=3 y化为一般形式为：2 y 2−3 y−7=0， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,−3,−7， 故选． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式a x 2+bx+c=0是解题的关 键． 3．（2022 上·广西柳州·九年级统考期中）一元二次方程x 2−(3 x−2)=8的一般形式是 ． 【答】x 2−3 x−6=0 【分析】根据去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可． 【详解】解：x 2−(3 x−2)=8， x 2−3 x+2=8， x 2−3 x−6=0， 故答为：x 2−3 x−6=0． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，即a x 2+bx+c=0(a≠0)．其中是二次项系数，b 是一次 项系数，是常数项． 题型04 由一元二次方程的解求参数的值 1．（2022·广东广州·统考一模）若关于x 的一元二次方程（ - 1）x2 - x + 2 = 1 的一个根为0．则 = ． 【答】-1 【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到a 2=1,a−1≠0，求解即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程（ - 1）x2 - x + 2 = 1 的一个根为0 ∴a 2=1,a−1≠0 ∴a=−1 故答为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 1．（2022·浙江金华·统考一模）已知a是方程2 x 2−3 x−5=0的一个解，则−4 a 2+6a的值为（ ） ．10 B．－10 ．2 D．－40 【答】B 【分析】将代入方程得到2a 2−3a=5，再将其整体代入所求代数式即可得解． 【详解】∵是方程的一个解， ∴有2a 2−3a−5=0，即，2a 2−3a=5， ∴−4 a 2+6a=−2(2a 2−3a)=−2×5=−10， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义找到相等关系，再将 其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求值再代入计算，此方法耗时费力不可取． 2．（2022 上·福建泉州·九年级期末）已知实数是一元二次方程x2+x 8 ﹣＝0 的根，则4+3+8 1 ﹣的值为（ ） ．62 B．63 ．64 D．65 【答】B 【分析】把方程的解代入方程得到关于的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值． 【详解】∵a是一元二次方程x 2+x−8=0的一个根， ∴a 2+a−8=0 ∴a 2+a=8 ∴a 4+a 3+8a−1=a 2(a 2+a)+8a−1=8a 2+8a−1=8(a 2+a)−1=64−1=63 故选：B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于的等式，利用等式对代数式进 行化简并求出代数式的值． 3．（2020·江苏泰州·统考一模）已知，m，是一元二次方程x 2+x−2021=0的两个实数根，则代数式 m 2+2m+n的值等于 ． 【答】2020 【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m=2021，则m2+2m+=2021+m+，再利用根与系数的关系得到 m+=-1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m 是一元二次方程x2+x-2021=0 的实数根， ∴m2+m-2021=0， ∴m2+m=2021， ∴m2+2m+=m2+m+m+=2021+m+， ∵m，是一元二次方程x2+x-2021=0 的两个实数根， ∴m+=-1， ∴m2+2m+=2021-1=2020． 故答为：2020． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程x2+bx+=0（≠0）的两根时，x1+x2=-b a， x1x2=c a．也考查了一元二次方程的解． 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根 1．（2021·山东济南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x 2+x−a=0的一个根是2，则另一个根是 ． 【答】-3 【分析】由题意可把x=2 代入一元二次方程进行求解的值，然后再进行求解方程的另一个根． 【详解】解：由题意把x=2 代入一元二次方程x 2+x−a=0得： 2 2+2−a=0，解得：a=6， ∴原方程为x 2+x−6=0， 解方程得：x1=2, x2=−3， ∴方程的另一个根为-3； 故答为-3． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键． 2．（2020 高州市一模）已知x=1是方程x 2+bx−2=0的一个根，则方程的另一个根是 ． 【答】x=−2 【分析】根据根与系数的关系即可求出答． 【详解】解：设另外一个根为x， 由根与系数的关系可知：1⋅x=−2，即x=−2． 故答为：x=−2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．若 x1，x2是一元二次方程a x 2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−b a ，x1 x2= c a． 3．（2022·北京顺义·统考一模）已知关于x 的一元二次方程m x 2−(2m−1)x+m−2=0有两个不相等的 实数根． (1)求m 的取值范围； (2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根． 【答】(1)m＞−1 4 且m≠0 (2)另一个根为3 2 【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可． （2）将x=0 代入原方程，求出m，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵m x 2−(2m−1)x+m−2=0是一元二次方程， ∴m≠0 ， ∵一元二次方程m x 2−(2m−1)x+m−2=0有两个不相等的实数， ∴Δ=b 2−4 ac＞0 ， 即：[−(2m−1)] 2−4 m(m−2)＞0 ， 整理得：4 m+1＞0 ， ∴m＞−1 4 ， 综上所述：m＞−1 4 且m≠0． （2）∵方程有一个根是0， 将x=0 代入方程得：m−2=0 ， ∴m=2 ， 则原方程为：2 x 2−3 x=0 ， 解得：x1=0, x2=3 2 ， ∴方程的另一个根为3 2 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：Δ＞0⇔方程有两个 不相等的实数根 ， Δ=0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根，Δ≥0⇔方程有实数根． 熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0 是易错点． 4．（2022·北京海淀·校考一模）关于x 的一元二次方程x 2−2 x+3m−2=0有实数根． (1)求m 的取值范围； (2)若方程有一根为4，求方程的另一根． 【答】(1)m≤1 (2)-2 【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取 值范围； （2）将x＝4 代入原方程求出m 值，再将m 的值代入原方程，利用十字相乘法解一元二次方程，即可得出 方程的另一个根． （1） 解：∵关于x 的一元二次方程x 2−2 x+3m−2=0有实数根， ∴其根的判别式Δ≥0，即(−2) 2−4(3m−2)≥0， 解得：m≤1． （2） 解：将x=4代入x 2−2 x+3m−2=0，得：4 2−2×4+3m−2=0， 解得：m=−2， ∴该一元二次方程为x 2−2 x−8=0． 即( x−4)( x+2)=0， ∴x1=4，x2=−2， ∴方程的另一根为-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程．（1）掌握“当 一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ=b 2−4 ac≥0”是关键；（2）理解一元二次方程的解的定义和 解一元二次方程的方法是关键． 题型07 选用合适的方法解一元二次方程 1．（2023·河南周口·统考一模）计算：解方程：5 x(2 x−1)−2(2 x−1)=0． 【答】x1=1 2，x2=2 5 【分析】方程去括号，因式分解求解即可． 【详解】解：去括号，得：10 x 2−9 x−2=0， 因式分解，得：(2 x−1)(5 x−2)=0， 解得：x1=1 2，x2=2 5． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，按照解方程的步骤求解即可． 57．（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x 2+2 x−1=0． 【答】x1=❑ √2−1，x2=−❑ √2−1 【分析】用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的 左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求 解；用公式法解方程，首先找出方程中二次项系数，一次项系数b 及常数项，计算出根的判别式，由根的 判别式大于0，得到方程有解，将，b 及的值代入求根公式即可求出原方程的解． 【详解】解：配方法， 移项得x 2+2 x=1， 配方得：x 2+2 x+1=1+1，即(x+1) 2=2 开方得：x+1=± ❑ √2 解得：x1=❑ √2−1，x2=−❑ √2−1； 公式法： ∵a=1，b=2，c=−1， ∴b 2−4 ac=2 2−4×1×(−1)=8>0， ∴x=−2±2❑ √2 2 =−1± ❑ √2， ∴x1=❑ √2−1，x2=−❑ √2−1． 【点睛】此题考查了解一元二次方程－公式法和配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用． 2．（2023·江西吉安·校考模拟预测）解方程： (1)(2 x+1) 2=( x−3) 2； (2)3 x 2−9 x+4=0． 【答】(1)x1=2 3 ，x2=−4 (2)x1=9+❑ √33 6 ，x2=9−❑ √33 6 【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵(2 x+1) 2=( x−3) 2， ∴(2 x+1) 2−(x−3) 2=0， ∴(2 x+1+x−3) (2 x+1−x+3)=0，即(3 x−2) (x+4 )=0， ∴3 x−2=0或x+4=0， 解得x1=2 3 ，x2=−4； （2）解：∵3 x 2−9 x+4=0， ∴a=3，b=−9，c=4， ∴Δ=b 2−4 ac=(−9) 2−4×3×4=33>0， ∴x=−b± ❑ √b 2−4 ac 2a =9± ❑ √33 6 ， 解得x1=9+❑ √33 6 ，x2=9−❑ √33 6 ． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 3．（2023·青海·统考一模）提出问题 为解方程(x 2−2) 2−11(x 2−2)+18=0，我们可以将x 2−2视为一个整体，然后可设x 2−2= y，则 (x 2−2) 2= y 2，于是原方程可转化为y 2−11 y+18=0，解此方程，得y1=2，y2=9． 当y1=2时，x 2−2=2，x 2=4，∴x=±2； 当y2=9时，x 2−2=9，x 2=11，∴x=± ❑ √11． ∴原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=−❑ √11，x4=❑ √11． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题 （1）运用上述换元法解方程x 4−3 x 2−4=0． 延伸拓展 （2）已知实数m，满足(m+3n) (m+3n−2)=2m+6n−4，求4 m+12n−3的值． 【答】（1）x1=−2，x2=2；（2）5 【分析】（1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解； （2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解． 【详解】解：解决问题：（1）设x 2=a， ∴原方程变形为a 2−3a−4=0，解得，a1=−1，a2=4， 当a=−1时，x 2≥0≠−1，故舍去； 当a=4时，x 2=4，解得，x1=−2，x2=2； 综上所示，原方程的解为x1=−2，x2=2． 延伸拓展：（2）(m+3n) (m+3n−2)=2m+6n−4 ∴(m+3n)(m+3n−2)=m 2+6mn+9n 2−2m−6n， ∴原式变形为m 2+6mn+9n 2−4 m−12n+4=0， ∴(m+3n) 2−4(m+3n)+4=0，设m+3n=P， ∴P 2−4 P+4=0，则( P−2) 2=0，解得，P=2，即m+3n=2， ∵4 m+12n−3=4(m+3n)−3， ∴4 m+12n−3=4(m+3n)−3=4×2−3=5 ∴4 m+12n−3=5． 【点睛】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关 键． 题型08 错看或错解一元二次方程问题 1．（202