题型21 3 类对称与4 类切线解题技巧 （点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线 问题） 技法01 点对称问题解题技巧 知识迁移 点 (x , y ) 关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标(x−2 A ( Ax+By+C ) A 2+B 2 , y−2B ( Ax+By+C ) A 2+B 2 ). 例1．点 关于直线 的对称点的坐标是 ． 技法01 点对称问题解题技巧 技法02 直线对称问题解题技巧 技法03 圆对称问题解题技巧 技法04 圆中的切线问题解题技巧 技法05 椭圆中的切线问题解题技巧 技法06 双曲线中的切线问题解题技巧 技法07 抛物线中的切线问题解题技巧 合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习. 直线 中，A=2,B=−1,C=4 ,所以 故选：C. 技法04 圆中的切线问题解题技巧 知识迁移 圆中切线问题 圆中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习 1. 已知圆方程为: , 若已知切点 在圆上,则切线只有一条,其方程是: 2. 已知圆方程为: , 若已知切点 在圆上,则该圆过 点的切线方程为 ; 3. 已知圆方程为圆: . (1)过圆上的 点的切线方程为 . (2)过圆外一点

零点、切线与公切 线） 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 例1．（全国·高考真题）设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，则 A． B． C． D． 反解 的解析式，可得 ，即 ， 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 技法02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 技法03 整数解的应用及解题技巧 技法04 零点的应用及解题技巧 技法05 切线与公切线的应用及解题技巧 技法05 切线与公切线的应用及解题技巧 例5-1．（2021·全国·统考高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条 切线.由此可知 . 故选：D. 例5-2．（全国·高考真题）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 对于切线及公切线问题，熟练掌 求导得 ，设直线 与曲线 相切于 点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上 得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条 直线，所以 ，解得 . 1．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线 与 存在公切线，则正实数a 的取值范围是 ． 2．（2024·全国·高三专题练习）若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（2024

零点、切线与公切 线） 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 例1．（全国·高考真题）设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，则 A． B． C． D． 反解 的解析式，可得 ，即 ， 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 技法02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 技法03 整数解的应用及解题技巧 技法04 零点的应用及解题技巧 技法05 切线与公切线的应用及解题技巧 求解. 技法05 切线与公切线的应用及解题技巧 例5-1．（2021·全国·统考高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条 对于切线及公切线问题，熟练掌握导数的几何意义及其应用，能做到基本题型求解，熟练解方程也有助于 快速解题. 切线.由此可知 . 故选：D. 例5-2．（全国·高考真题）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ． 对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于 点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上 得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条 直线，所以 ，解得 . 1．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线 与 存在公切线，则正实数a 的取值范围是 ． 【答案】 【

题型21 3 类对称与4 类切线解题技巧 （点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线 问题） 技法01 点对称问题解题技巧 知识迁移 点 (x , y ) 关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标(x−2 A ( Ax+By+C ) A 2+B 2 , y−2B ( Ax+By+C ) A 2+B 2 ). 例1．点 关于直线 的对称点的坐标是 ． 技法01 点对称问题解题技巧 技法02 直线对称问题解题技巧 技法03 圆对称问题解题技巧 技法04 圆中的切线问题解题技巧 技法05 椭圆中的切线问题解题技巧 技法06 双曲线中的切线问题解题技巧 技法07 抛物线中的切线问题解题技巧 合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习. 直线 中，A=2,B=−1,C=4 ,所以 D． 技法04 圆中的切线问题解题技巧 知识迁移 圆中切线问题 1. 已知圆方程为: , 若已知切点 在圆上,则切线只有一条,其方程是: 2. 已知圆方程为: , 圆中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习 若已知切点 在圆上,则该圆过 点的切线方程为 ; 3. 已知圆方程为圆: . (1)过圆上的 点的切线方程为 . (2)过圆外一点

专题246 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大 题型】 【人版】 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】..........................................................................................2 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】.................. ..............9 【题型5 定义法判断切线】...................................................................................................................................13 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】................ ...................... 15 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】........................................................................................................... 19 【题型8 利用切线的性质求线段长度】........................

址：sp432575988tbm 类型二 与切线有关的证明与计算（专题训练） 1．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点，连接 ，且 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若直径 ，求 的长． 2 如图， 内接于 ， 是 的直径， 为 上一点， ，延长 交 于点 ， ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求 的长． 1 3．（2023·江西·统考中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 与 相交于点D，E 为 上一点，且 ． (1)求 的长； (2)若 ，求证： 为 的切线． 4．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 上一点，过点 作 的切线 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ． (1)若 ，求 的度数． (2)若 ，求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 的延长线于点F，连接 ． （1）求证： 是 的切线； （2）已知 ， ，求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 7．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 中，以 为直径的 交 于点E． 平分 ，过点E 作 于点D，延长 交 的延长线于点P． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ，求 的长． 8 如图，B

专题247 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】 【人版】 【题型1 利用切线长定理求周长】.........................................................................................................................1 【题型2 三角形内切圆中求角度】......... ............................................. 25 【知识点1 切线长定理及三角形的内切圆】 （1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角 （2）三角形内切圆 【题型1 利用切线长定理求周长】 【例1】（2022 秋•宜兴市校级期中）如图，△B 是一张三角形的纸片，⊙是它的内切圆， 点D 点D 是其中的一个切点， 已知D＝10m，小明准备用剪刀沿着与⊙相切的任意一条直线M 剪下一块三角形 （△M），则剪下的△M 的周长为 20 m ． 【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，F＝E，D＝E，进而得出答． 【解答】解：∵△B 是一张三角形的纸片，⊙是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，D 三角形内切 圆 与三角形各 边都相切的 圆叫做三角 形的内切圆 内切圆的圆心

专题246 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大 题型】 【人版】 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】..........................................................................................2 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】.................. ..............4 【题型5 定义法判断切线】.....................................................................................................................................5 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】............... ....................... 6 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】............................................................................................................. 7 【题型8 利用切线的性质求线段长度】.......................

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型二 与切线有关的证明与计算（专题训练） 1．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点，连接 ，且 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若直径 ，求 的长． 【答】(1)详见解析 (2) 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论； 又∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 是 的切线； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）解：∵ ， ∴ ， ∵在 中， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， 又∵ ， 即 ， 解得 （取正值）， ∴ ， 【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求 的长． 【答】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）根据 ，可得 ，根据对顶角相等可得 ，进而可得 ，根据 ，可得 ，结合 ，根据角度的转化 可得 ，进而即可证明 是 的切线； （2）根据 ，可得 ，设 ，则 ，分别求得 ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根

专题247 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】 【人版】 【题型1 利用切线长定理求周长】.........................................................................................................................1 【题型2 三角形内切圆中求角度】......... .............................................. 7 【知识点1 切线长定理及三角形的内切圆】 （1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角 （2）三角形内切圆 【题型1 利用切线长定理求周长】 【例1】（2022 秋•宜兴市校级期中）如图，△B 是一张三角形的纸片，⊙是它的内切圆， 点D 于点D、E、F，若⊙的半径为2，则△B 的周长为（ ） ．14 B．20 ．24 D．30 【变式1-3】（2022 秋•崇川区月考）如图，P 是⊙外一点，P、PB 分别和⊙相切于点、 B，是劣弧^ AB上任意一点，过作⊙切线DE，交P、PB 于点D、E，已知P 的长为5m， ∠DE＝65°，点M、分别在P、PB 的延长线上，M 与⊙相切于点F，已知D、EM 的长是 方程x2 10 ﹣ x+k＝0 的两根． （1）求∠P