专题24.6 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】（解析版）

专题246 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大 题型】 【人版】 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】..........................................................................................2 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】..............................................................................................4 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】..............................................................................................6 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】.........................................................................................................9 【题型5 定义法判断切线】...................................................................................................................................13 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】........................................................................................................... 15 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】........................................................................................................... 19 【题型8 利用切线的性质求线段长度】............................................................................................................... 23 【题型9 利用切线的性质求角度】.......................................................................................................................27 【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】..................................................................................................30 【知识点1 直线与圆的位置关系】 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 设 的半径为 ，圆心 到直线的距离为 则有： 相交：直线和圆有两 个公共点 r d 直线和 相交 相切：直线和圆只有 一个公共点 d=r 直线和 相切 相离：直线和圆没有 公共点 d r 直线和 相离 1 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 【例1】（2022 春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙和点与点B，如果⊙的半径为 6m，线段＝10m，线段B＝6m，那么直线B 与⊙的位置关系为（ ） ．相离 B．相交 ．相切 D．相交或相切 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解答】解：∵⊙的半径为6m，线段＝10m，线段B＝6m， 即点到圆心的距离大于圆的半径，点B 到圆心的距离等于圆的半径， ∴点在⊙外．点B 在⊙上， ∴直线B 与⊙的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【变式1-1】（2022 秋•韶关期末）已知⊙的半径等于3，圆心到直线l 的距离为5，那么直 线l 与⊙的位置关系是（ ） ．直线l 与⊙相交 B．直线l 与⊙相切 ．直线l 与⊙相离 D．无法确定 【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直 线与圆相离”即可得到结论． 【解答】解：∵⊙的半径等于3，圆心到直线l 的距离为5，3＜5， ∴直线l 与⊙相离． 故选：． 【变式1-2】（2022 秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为，点P 在函数 y= 1 4 x 2−1的图象上，以点P 为圆心，以P 为半径的圆与直线y＝﹣2 的位置关系是（ ） ．相离 B．相切 ．相交 D．三种情况均有可能 【分析】设P（t，1 4 t2 1 ﹣），利用两点间的距离公式计算出P¿ 1 4 t2+1，再计算出P 点到 直线y＝﹣2 的距离为1 4 t2+1，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可得到圆与直线 y＝﹣2 相切． 【解答】解：设P（t，1 4 t2 1 ﹣）， ∴P¿ ❑ √t 2+( 1 4 t 2−1) 2=❑ √( 1 4 t 2+1) 2= 1 4 t2+1， ∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1）， 1 ∴P 点在直线y＝﹣2 的上方， ∴P 点到直线y＝﹣2 的距离为1 4 t2 1 ﹣﹣（﹣2）¿ 1 4 t2+1， ∴P 点到直线y＝﹣2 的距离等于圆的半径， ∴以点P 为圆心，以P 为半径的圆与直线y＝﹣2 的位置关系是相切． 故选：B． 【变式1-3】（2022 秋•自贡期末）如图，⊙的半径为5，圆心到一条直线的距离为2， 则这条直线可能是（ ） ．l1 B．l2 ．l3 D．l4 【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断． 【解答】解：∵直线l1与⊙相切， ∴圆心到一条直线l1的距离为5， ∵直线l2与⊙相离， ∴圆心到一条直线l2的距离大于5， ∵直线l3与l4与⊙相交， ∴圆心到一条直线l3和直线l4的距离都小于5， 而圆心到直线l3的距离较小， ∴圆心到一条直线的距离为2，这条直线可能是直线l3． 故选：． 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 【例2】（2022 秋•北仑区期末）⊙的半径为5，若直线l 与该圆相交，则圆心到直线l 的距 离可能是（ ） ．3 B．5 ．6 D．10 【分析】根据直线l 和⊙相交⇔d＜r，即可判断． 【解答】解：∵⊙的半径为5，直线l 与⊙相交， ∴圆心D 到直线l 的距离d 的取值范围是0≤d＜5， 故选：． 【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△B 中，∠＝90°，＝3，B＝4，如果以 点为圆心的圆与斜边B 有公共点，那么⊙的半径r 的取值范围是（ ） 1 ．0≤r≤12 5 B．12 5 ≤r≤3 ．12 5 ≤r≤4 D．3≤r≤4 【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个 交点的情况，即可得出答． 【解答】解：过点作D⊥B 于点D， ∵＝3，B＝4．如果以点为圆心，r 为半径的圆与斜边B 只有一个公共点， ∴B＝5， 当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边B 只有一个公共点，圆与斜边B 只有一个公共点， ∴D×B＝×B， ∴D＝r¿ 12 5 ， 当直线与圆如图所示也可以有交点， ∴12 5 ≤r≤4． 故选：． 1 【变式2-2】（2022 秋•丛台区校级期中）已知矩形BD 中，B＝4，B＝3，以点B 为圆心r 为半径作圆，且⊙B 与边D 有唯一公共点，则r 的取值范围为（ ） ．3≤r≤4 B．3≤r＜5 ．3≤r＜4 D．3≤r≤5 【分析】由于BD＞B＞B，根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5． 【解答】解：∵矩形BD 中，B＝4，B＝3， ∴BD＝¿ ❑ √A B 2+BC 2=¿5，D＝B＝3，D＝B＝4， ∵以点B 为圆心作圆，⊙B 与边D 有唯一公共点， ∴⊙B 的半径r 的取值范围是：3≤r≤5； 故选：D． 【变式2-3】（2022 秋•丛台区校级期中）以坐标原点为圆心，作半径为4 的圆，若直线y ＝﹣x+b 与⊙相交，则b 的取值范围是（ ） ．0≤b＜2❑ √2 B．﹣4❑ √2≤b≤4❑ √2 ．﹣2❑ √2＜b＜2❑ √2 D．﹣4❑ √2＜b＜4 ❑ √2 【分析】求出直线y＝﹣x+b 与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣ x+b 与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b 的值，则相交时b 的值在相切时的两个b 的值之间． 【解答】解：当直线y＝﹣x+b 与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图． 在y＝﹣x+b 中，令x＝0 时，y＝b，则与y 轴的交点是B（0，b）， 当y＝0 时，x＝b，则与y 轴的交点是（b，0）， 则＝B＝b，即△B 是等腰直角三角形， 在Rt△B 中， B¿ ❑ √O A 2+O B 2= ❑ √b 2+b 2=❑ √2b， 连接圆心和切点，则＝4，⊥B， ∵S△B¿ 1 2•B¿ 1 2B•， 4 ∴¿ OA ⋅OB AB = b⋅b ❑ √2b ， 则b＝4❑ √2； 同理，当直线y＝﹣x+b 与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣4❑ √2； 1 则若直线y＝﹣x+b 与⊙相交，则b 的取值范围是﹣4❑ √2＜b＜4❑ √2． 故选：D． 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 【例3】（2022 秋•武汉期末）已知⊙的半径等于5，圆心到直线l 的距离为6，那么直线l 与⊙的公共点的个数是（ ） ．0 B．1 ．2 D．无法确定 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l 和⊙相离，然后根据相离的定 义对各选项进行判断． 【解答】解：∵⊙的半径等于5，圆心到直线l 的距离为6， 即圆心到直线l 的距离大于圆的半径， ∴直线l 和⊙相离， ∴直线l 与⊙没有公共点． 故选：． 【变式3-1】（2022 秋•武汉期末）直角△B，∠B＝90°，B＝8，＝6，以为圆心，48 长度为 半径的圆与直线B 的公共点的个数为（ ） ．0 B．1 ．2 D．不能确定 【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相 交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【解答】解：∵∠B＝90°，B＝8，＝6， ∴B＝10， ∴斜边上的高为：AB⋅AC BC =¿48， ∴d＝48m＝rm＝48m， ∴圆与该直线B 的位置关系是相切，交点个数为1， 故选：B． 【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5m，如果圆心到直线距离是4m，那么这 条直线和这个圆的公共点的个数是（ ）个． ．0 B．1 ．2 D．0 或1 或2 1 【分析】根据当圆的半径r＞圆心到直线的距离d 时，直线与圆相交，即可得出直线l 和 这个圆的公共点的个数． 【解答】解：∵圆的半径是5m，如果圆心到直线距离是4m， ∴r＞d， ∴直线与圆相交， ∴这条直线和这个圆的公共点的个数为2． 故选：． 【变式3-3】（2022 秋•沭阳县期中）如图，在△B 中，∠＝90°，＝4，B＝3，以点为圆心， r 为半径画圆． （1）当r＝ 24 时，⊙与边B 相切； （2）当r 满足 3 ＜ r ≤4 或 r ＝ 24 时，⊙与边B 只有一个交点； （3）随着r 的变化，⊙与边B 的交点个数还有哪些变化？写出相应的r 的值或取值范围． 【分析】（1）当⊙与边B 相切时，则d＝r，由此求出r 的值即可； （2）根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交 点的情况，即可得出答； （3）随着r 的变化，⊙与边B 的交点个数由0 个、1 个、2 个三种情况． 【解答】解：（1）过点作D⊥B 于点D， ∵＝3，B＝4．如果以点为圆心，r 为半径的圆与斜边B 只有一个公共点， ∴B＝5， 当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边B 只有一个公共点，圆与斜边B 只有一个公共点， 如图1， ∴D×B＝×B， ∴D＝r＝24， 故答为：r＝24． （2）①当直线与圆相切时，即d＝r＝24，圆与斜边B 只有一个公共点，圆与斜边B 只 有一个公共点， ②当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2， 3 ∴＜r≤4， 故答为：3＜r≤4 或r＝24； （3）①如图3，当0≤r＜24 时，圆与边B 有0 个交点； 1 ②如图1，当r＝24 时，圆与边B 有1 个交点； ③如图4，当24＜r≤3 时，圆与边B 有2 个交点； ④如图2，当3＜r≤4 时，圆与边B 有1 个交点； ⑤如图5，当r＞4 时，圆与边B 有0 个交点； 综上所述，当0≤r＜24 或r＞4 时，圆与边B 有0 个交点； 当3＜r≤4 或r＝24 时，圆与边B 有1 个交点； 当24＜r≤3 时，圆与边B 有2 个交点． 1 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】 【例4】（2022 秋•常熟市期中）如图，直线y¿ 3 4 x+3 与x 轴、y 轴分别交于，B 两点，点P 是以（1，0）为圆心，1 为半径的圆上任意一点，连接P，PB，则△PB 面积的最小值是 （ ） ．5 B．10 ．15 D．20 【分析】作⊥B 于交⊙于E、F．当点P 与E 重合时，△PB 的面积最小，求出E、B 的长 即可解决问题 【解答】解：作⊥B 于交⊙于E、F． ∵（1，0），直线B 的解析式为y¿ 3 4 x+3， ∴直线的解析式为y¿−4 3 x+4 3 ， 由 { y=−4 3 x+ 4 3 y= 3 4 x+3 解得{ x=−4 5 y=12 5 ， ∴（−4 5 ，12 5 ）， ∴¿ ❑ √(1+ 4 5 ) 2+( 12 5 ) 2=¿3， ∵（4，0），B（0，3）， ∴＝4，B＝3，B＝5， 1 ∴E＝3 1 ﹣＝2， 当点P 与E 重合时，△PB 的面积最小，最小值¿ 1 2 ×5×2＝5， 故选：． 【变式4-1】（2022 秋•凉山州期末）点是半径为2 的⊙上一动点，点到直线M 的距离为 3．点P 是M 上一个动点．在运动过程中若∠P＝90°，则线段P 的最小值是 ❑ √13 ． 【分析】根据勾股定理用P 表示出P，根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：∵∠P＝90°， ∴P¿ ❑ √O A 2+O P 2= ❑ √4+O P 2， 当P 最小时，P 取最小值， 由题意得：当P⊥M 时，P 最小，最小值为3， ∴P 的最小值为：❑ √4+3 2=❑ √13， 故答为：❑ √13． 【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图，⊙的半径是5，点在⊙上．P 是⊙所在平面内一点， 且P＝2，过点P 作直线l，使l⊥P． （1）点到直线l 距离的最大值为 7 ； （2）若M，是直线l 与⊙的公共点，则当线段M 的长度最大时，P 的长为 ❑ √21 ． 【分析】（1）如图1，当点P 在圆外且，，P 三点共线时，点到直线l 距离的最大，于 是得到结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段M 是⊙的直径，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1，∵l⊥P， ∴当点P 在圆外且，，P 三点共线时，点到直线l 的距离最大， 最大值为+P＝5+2＝7； （2）如图2，∵M，是直线l 与⊙的公共点，当线段M 的长度最大时， 线段M 是⊙的直径， 1 ∵l⊥P， ∴∠P＝90°， ∵P＝2，＝5， ∴P¿ ❑ √O A 2−P A 2=❑ √21， 故答为：7，❑ √21． 【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△B 中，∠＝90°，＝10，B＝12，点D 为线段B 上一 动点．以D 为⊙直径，作D 交⊙于点E，连BE，则BE 的最小值为（ ） ．6 B．8 ．10 D．12 【分析】连接E，可得∠ED＝∠E＝90°，从而知点E 在以为直径的⊙Q 上，继而知点Q、 E、B 共线时BE 最小，根据勾股定理求得QB 的长，即可得答． 【解答】解：如图，连接E， ∴∠ED＝∠E＝90°， 1 ∴点E 在以为直径的⊙Q 上， ∵＝10， ∴Q＝QE＝5， 当点Q、E、B 共线时BE 最小， ∵B＝12， ∴QB¿ ❑ √BC 2+QC 2=¿13， ∴BE＝QB﹣QE＝8， 故选：B． 【知识点2 切线的判定】 （1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法） ③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线 （2）切线判定常用的证明方法： ①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 【题型5 定义法判断切线】 【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（ ） ．过半径外端的直线 B．与圆心的距离等于该圆半径的直线 ．垂直于圆的半径的直线 D．与圆有公共点的直线 【分析】根据选项举出反例图形即可判断、、D；根据切线的判定即可判断B． 【解答】解：切线的判定定理有：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线，②与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线， 、如图EF 不是⊙的切线，故本选项错误； B、与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确； 、如图，EF⊥半径，但EF 不是⊙的切线，故本选项错误； 1 D、如上图，EF⊙有公共点，但EF 不是⊙的切线，故本选项错误； 故选：B． 【变式5-1】（2022 秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（ ） ．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答． 【解答】解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的 切线， 故，B，D 选项不正确，选项正确， 故选：． 【变式5-2】（2022 秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线． （2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的 切线．（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．1 个 【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答． 【解答】解：（1）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，