专题24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】（解析版）

专题247 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】 【人版】 【题型1 利用切线长定理求周长】.........................................................................................................................1 【题型2 三角形内切圆中求角度】.........................................................................................................................5 【题型3 三角形内切圆中求面积】.........................................................................................................................9 【题型4 三角形内切圆中求线段长度】............................................................................................................... 13 【题型5 三角形内切圆中求半径】.......................................................................................................................16 【题型6 三角形内切圆中求最值】.......................................................................................................................20 【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】............................................................................................................... 25 【知识点1 切线长定理及三角形的内切圆】 （1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角 （2）三角形内切圆 【题型1 利用切线长定理求周长】 【例1】（2022 秋•宜兴市校级期中）如图，△B 是一张三角形的纸片，⊙是它的内切圆， 点D 是其中的一个切点， 已知D＝10m，小明准备用剪刀沿着与⊙相切的任意一条直线M 剪下一块三角形 （△M），则剪下的△M 的周长为 20 m ． 【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，F＝E，D＝E，进而得出答． 【解答】解：∵△B 是一张三角形的纸片，⊙是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，D 三角形内切 圆 与三角形各 边都相切的 圆叫做三角 形的内切圆 内切圆的圆心 是三角形三个 内角的角平分 线的交点，叫 做三角形的内 心 三角形的内 心到三角形 三边的距离 相等 A B C I 1 ＝10m， ∴设E、F 分别是⊙的切点， 故DM＝MF，F＝E，D＝E， ∴M++M＝D+E＝10+10＝20（m）． 故答是：20m． 【变式1-1】（2022 秋•莒南县期末）如图，P、PB 切⊙于、B 两点，D 切⊙于点E，分别 交P、PB 于点、D．若P、PB 的长是关于x 的一元二次方程x2﹣mx+m 1 ﹣＝0 的两个根， 求△PD 的周长． 【分析】由P、PB 切⊙于、B 两点，D 切⊙于点E，根据切线长定理，可得P＝PB，又 由P、PB 的长是关于x 的一元二次方程x2﹣mx+m 1 ﹣＝0 的两个根，根据根与系数的关 系，可求得P 与PB 的长，又由D 切⊙于点E，即可得△PD 的周长等于P+PB． 【解答】解：∵P、PB 的长是关于x 的一元二次方程x2﹣mx+m 1 ﹣＝0 的两个根， ∴P+PB＝m，P•PB＝m 1 ﹣， ∵P、PB 切⊙于、B 两点， ∴P＝PB¿ m 2 ， 即m 2 •m 2 =¿m 1 ﹣， 即m2 4 ﹣m+4＝0， 解得：m＝2， ∴P＝PB＝1， ∵P、PB 切⊙于、B 两点，D 切⊙于点E， ∴D＝ED，B＝E， ∴△PD 的周长为：PD+D+P＝PD+DE+E+P＝PD+D+B+P＝P+PB＝2． 【变式1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△B 中，∠＝90°，B＝5，⊙与△B 的三边相切 于点D、E、F，若⊙的半径为2，则△B 的周长为（ ） 1 ．14 B．20 ．24 D．30 【分析】设D＝x，由切线长定理得E＝x，根据题意可得四边形EF 为正方形，则E＝F ＝2，BD＝BF＝3，在直角三角形B 中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【解答】解：连接E、F，设D＝x，由切线长定理得E＝x， ∵⊙与Rt△B 的三边分别点D、E、F， ∴E⊥，F⊥B， ∴四边形EF 为正方形， ∵⊙的半径为2，B＝5， ∴E＝F＝2，BD＝BF＝3， ∴在Rt△B 中， ∵2+B2＝B2，即（x+2）2+52＝（x+3）2， 解得x＝10， ∴△B 的周长为12+5+13＝30． 故选：D． 【变式1-3】（2022 秋•崇川区月考）如图，P 是⊙外一点，P、PB 分别和⊙相切于点、 B，是劣弧^ AB上任意一点，过作⊙切线DE，交P、PB 于点D、E，已知P 的长为5m， ∠DE＝65°，点M、分别在P、PB 的延长线上，M 与⊙相切于点F，已知D、EM 的长是 方程x2 10 ﹣ x+k＝0 的两根． （1）求∠P 的度数； （2）求△PDE 的周长； （3）求四边形DEM 的周长． 1 【分析】（1）只要证明∠B＝130°，∠P＝∠PB＝90°，再利用四边形内角和定理即可解 决问题； （2）利用切线长定理即可解决问题； （3）因为D、EM 的长是方程x2 10 ﹣ x+k＝0 的两根．可得D+EM＝10，再利用切线长定 理即可解决问题； 【解答】解：（1）连接、B、． ∴P、PB、DE 是⊙的切线， ∴P⊥，B⊥PB，∠D＝∠D，∠EB＝∠E， ∵∠DE＝65°， ∴∠B＝130°，∠P＝∠PB＝90°， ∴∠P＝360° 90° 90° 130° ﹣ ﹣ ﹣ ＝50°． （2）∵P、PB、DE 是⊙的切线， ∴D＝D，E＝EB，P＝PB＝5， ∴△PDE 的周长＝PD+DE+PE＝PD+D+PE+EB＝P+PB＝10． （3）∵D、EM 的长是方程x2 10 ﹣ x+k＝0 的两根． ∴D+EM＝10， ∴P，PM，M 是⊙的切线， ∴＝F，MF＝MB，D＝D，E＝EB， ∴四边形EMD 的周长＝EM+M+D+DE＝EM+BM++D+EB+D＝2（D+EM）＝20． 【题型2 三角形内切圆中求角度】 【例2】（2022•温州模拟）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，⊙是它的内切圆，与B，B，分别 切于点D，E，F，若∠B＝40°，则∠DE＝ 130° ． 1 【分析】利用直角三角形性质求出∠B＝50°，再利用切线性质求出∠BD＝∠BE＝90°，再 利用四边形内角和为360°，即可求得答． 【解答】解：在Rt△B 中，∵∠＝90°，∠B＝40°， ∴∠B＝90°﹣∠B＝90° 40° ﹣ ＝50°， ∵⊙是Rt△B 的内切圆，与B，B，分别切于点D，E，F， ∴B、B 是⊙的切线， ∴∠BD＝∠BE＝90°， ∴∠DE＝360°﹣∠BD﹣∠BE﹣∠B＝130°， 故答为：130°． 【变式2-1】（2022 秋•昌平区期末）如图，⊙是△B 的内切圆，切点分别为D，E，F，已 知∠＝40°，连接B，，DE，EF，则∠B＝ 110 °，∠DEF＝ 70 °． 【分析】连接D 和F，根据内切圆的性质可得B，平分∠B，∠B，再根据三角形内角和 定理即可求出角B 的度数；根据切线的性质可得∠DF 的度数，进而根据圆周角定理可得 ∠DEF 的度数． 【解答】解：如图，连接D 和F， ∵⊙是△B 的内切圆，切点分别为D，E，F，∠＝40°， 1 ∴B，平分∠B，∠B， ∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠B ＝180°−1 2 （∠B+∠B） ＝180°−1 2 ×140° ＝110°， ∵D⊥B，F⊥， ∴∠D＝∠F＝90°， ∴∠DF＝360° 90° 90° 40° ﹣ ﹣ ﹣ ＝140°， ∴∠DEF¿ 1 2 ∠DF＝70°． 故答为：110，70． 【变式2-2】（2022•万年县校级模拟）如图，△B 中，内切圆与B，B，分别切于F，D， E，连接B，，再连接FD，ED， （1）若∠＝40°，求∠B 与∠FDE 的度数． （2）若∠B＝α；∠FDE＝β，试猜想α，β 的关系，并证明你的结论． 【分析】（1）根据圆是△B 的内切圆求出∠B+∠B¿ 1 2（∠B+∠B），求出∠B+∠B 的度数， 求出∠B+∠B 即可；连接F、E，求出∠FE，即可求出∠FDE； （2）由（1）得出∠B＝180°﹣（∠B+∠B），∠FDE＝180° 2 ﹣∠，根据三角形的内角和 定理求出∠B＝90°+1 2 ∠，代入即可求出答． 【解答】解：（1）∵圆是△B 的内切圆， ∴∠B¿ 1 2∠B，∠B¿ 1 2∠B， ∴∠B+∠B¿ 1 2（∠B+∠B）， ∵∠B+∠B＝180°﹣∠＝140°， ∴∠B+∠B＝70°， 1 ∴∠B＝180°﹣（∠B+∠B）＝110°， 如图，连接F、E， ∵圆是△B 的内切圆， ∴∠F＝∠E＝90°， ∵∠＝40°， ∴∠FE＝360°﹣∠F﹣∠E﹣∠＝140°， ∴∠EDF¿ 1 2∠EF＝70°， 答：∠B＝110°，∠FDE＝70°； （2）解：α＝180° β ﹣， 证明：由圆周角定理得：∠FE＝2∠FDE， 由（1）知：2∠FDE＝180°﹣∠， 即∠＝180° 2 ﹣∠FDE， ∴∠＝180°﹣∠EF， 由（1）知：2∠FDE＝180°﹣∠， ∴∠＝180° 2 ﹣∠FDE＝180° 2β ﹣ ， ∠B＝180°﹣（∠B+∠B） ＝180°−1 2 （∠B+∠B） ＝180°−1 2 （180°﹣∠） ＝90°+1 2 ∠， ∴∠B＝α＝90°+1 2 （180° 2β ﹣ ）， 即α＝180° β ﹣． 【变式2-3】（2022 秋•邗江区期中）如图，在△B 中，B＝，D⊥B 于点D，点M 是△B 内一 点，连接BM 交D 于点，已知∠MB＝108°，若点M 是△的内心，则∠B 的度数为（ ） 1 ．36° B．48° ．60° D．72° 【分析】过点M 作ME⊥D 于点E，根据已知条件可得△B 是等腰三角形，D 是B 边的中 垂线，证明ME∥B，可得∠ME＝∠BD，由点M 是△的内心，可得点M 在∠和∠的角平分 线上，设∠M＝x，∠BD＝y，所以∠B＝4x，∠BD＝∠D＝∠ME＝y，∠EM＝∠M＝2y，然 后利用∠MB＝108°，列出方程组{ y−x=18° 2 y+x=72°，求解即可得结论． 【解答】解：如图，过点M 作ME⊥D 于点E， ∵B＝，D⊥B， ∴△B 是等腰三角形，D 是B 边的中垂线， ∴B＝，∠BD＝∠D， ∴∠BD＝∠D， ∵ME⊥D，D⊥B， ∴ME∥B， ∴∠ME＝∠BD， ∵点M 是△的内心， ∴点M 在∠和∠的角平分线上， ∴∠M＝∠M，∠M＝∠M， 设∠M＝x，∠BD＝y， ∴∠B＝4x，∠BD＝∠D＝∠ME＝y， ∴∠EM＝∠M＝∠B+∠B＝2y， ∵∠MB＝108°， ∴∠ME＝∠MB﹣∠EM＝108°﹣y， 1 在△EM 中，∠EM+∠ME＝90°， ∴x+108°﹣y＝90°， ∴y﹣x＝18°， 在△M 中，∠M+∠M＝180° 108° ﹣ ， ∴x+2y＝72°， { y−x=18° 2 y+x=72°， 解得{ x=12° y=30°， ∴∠B＝4x＝48°． 故选：B． 【题型3 三角形内切圆中求面积】 【例3】（2022 秋•黄冈期中）如图，边长为1 的正方形BD 的边B 是⊙的直径，F 是⊙的 切线，E 为切点，F 点在D 上，BE 是⊙的弦，求△DF 的面积． 【分析】设F＝x，由切线长定理可得EF＝F＝x，则FD＝1﹣x，F＝E+EF＝B+EF＝ 1+x，利用勾股定理建立方程求出x 的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答． 【解答】解：设F＝x， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠DB＝90°， ∴D⊥B， ∴D 是圆的切线， ∵F 是⊙的切线，E 为切点， ∴EF＝F＝x， ∴FD＝1﹣x， ∵B⊥B， ∴B 为⊙ 的切线， ∴B＝E， 1 ∴F＝E+EF＝B+EF＝1+x． ∴在Rt△DF 中由勾股定理得到：F2＝D2+DF2， 即（1+x）2＝1+（1﹣x）2， 解得x¿ 1 4 ， ∴DF＝1﹣x¿ 3 4 ， ∴S△DF¿ 1 2 ×1× 3 4 =3 8． 【变式3-1】（2022•武汉模拟）如图，B 是⊙的直径，是⊙上一点，E 是△B 的内心， E⊥EB．若E＝2❑ √2，则△BE 的面积为（ ） ．2❑ √2 B．2 ．❑ √2 D．1 【分析】延长BE 交⊙于点F，连接F，F，根据B 是⊙的直径，可得∠FB＝∠＝90°，证 明△FE 是等腰直角三角形，可得F＝EF＝2，根据垂径定理可得EF＝BE＝2，进而可得 △BE 的面积． 【解答】解：如图，延长BE 交⊙于点F，连接F，F， ∵B 是⊙的直径， ∴∠FB＝∠＝90°， 1 ∴∠B+∠B＝90°， ∵E 是△B 的内心， ∴∠EB¿ 1 2 ∠B，∠EB¿ 1 2 ∠B， ∴∠EB+∠EB¿ 1 2（∠B+∠B）＝45°， ∴∠FE＝45°， ∴△FE 是等腰直角三角形， ∴E¿ ❑ √2F¿ ❑ √2EF， ∵E＝2❑ √2， ∴F＝EF＝2， ∵E⊥EB， ∴EF＝BE＝2， ∴△BE 的面积为：1 2BE•F¿ 1 2 ×2×2＝2． 故选：B． 【变式3-2】（2022 春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1m． 如果这条花边带有100 个圆和100 个正三角形，则这条花边的面积为（ ） ．150π B．150❑ √3 ．300❑ √3 D．200 【分析】画出图形，连接D，B，则D 过，求出∠BD＝30°，求出B，根据勾股定理求出 BD，同法求出D，求出B 的长后求得一个三角形的面积即可求得花边的面积． 【解答】解：从中选择一个等边三角形和其内接圆如图，⊙是△B 的内切圆，⊙切B 于 F，切于E，切B 于D， 连接D，B，则D 过（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直 平分线上）， ∵△B 是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵⊙是△B 的内切圆， ∴∠B¿ 1 2∠B＝30°， ∵⊙切B 于D， ∴∠DB＝90°， 1 ∵D＝1， ∴B＝2， 由勾股定理得：BD¿ ❑ √2 2−1 2=❑ √3， ∴B＝2❑ √3， ∴S△B¿ 1 2B•D¿ 1 2 ×2❑ √3×3＝3❑ √3． ∴这条花边的面积＝100S△B＝300❑ √3， 故选：． 【变式3-3】（2022•齐齐哈尔一模）如图，正方形BD 边长为4m，以正方形的一边B 为直 径在正方形BD 内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与D 相交于E 点，则 △DE 的面积（ ）m2 ．12 B．24 ．8 D．6 【分析】由于E 与圆切于点F，根据切线长定理有F＝B＝4m，EF＝E；设EF＝E＝ xm．则DE＝（4﹣x）m，E＝（4+x）m， 然后在三角形BE 中由勾股定理可以列出关于x 的方程，解方程即可求出，然后就可以 求出△DE 的面积． 【解答】解：∵E 与圆切于点F， 显然根据切线长定理有F＝B＝4m，EF＝E， 设EF＝E＝xm， 则DE＝（4﹣x）m，E＝（4+x）m， 在三角形DE 中由勾股定理得： （4﹣x）2+42＝（4+x）2， ∴x＝1m， ∴E＝1m， ∴DE＝4 1 ﹣＝3m， 1 ∴S△DE＝D•DE÷2＝3×4÷2＝6m2． 故选：D． 【题型4 三角形内切圆中求线段长度】 【例4】（2022 秋•乌兰察布期末）如图，⊙分别切△B 的三条边B、B、于点D、E、F、若 B＝5，＝6，B＝7，求D、BE、F 的长． 【分析】由切线长定理，可知：F＝D，F＝E，BE＝BD，用未知数设D 的长，然后表示 出BD、F 的长，即可表示出BE、E 的长，根据BE+E＝7，可求出D 的长进而求出BE、 F 的长． 【解答】解：假设D＝x， ∵⊙分别切△B 的三条边B、B、于点D、E、F； ∴根据切线长定理得出D＝F，BD＝BE，E＝F， ∴F＝x， ∵B＝5，＝6，B＝7， ∴BE＝BD＝B﹣D＝5﹣x，F＝E＝﹣F＝6﹣x， ∴B＝BE+E＝5﹣x+6﹣x＝7， 解得：x＝2， ∴D＝2，BE＝BD＝5 2 ﹣＝3，F＝﹣F＝6 2 ﹣＝4． 【变式4-1】（2022 秋•崇川区月考）如图，已知△B 的内切圆与三边分别切于D、E、F，∠ ＝60°，B＝6m，△B 的周长为16m，则DF 的长等于（ ） ．2m B．3m ．4m D．6m 【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD＝BE，E＝F，D＝F，进而 得出△DF 是等边三角形，即可得出答． 【解答】解：∵△B 的内切圆与三边分别切于D、E、F，B＝6m，△B 的周长为16m， ∴BD＝BE，E＝F，D＝F， 1 ∵BE+E＝BD+F＝6， ∴D＝F¿ 1 2（B++B﹣B﹣BD﹣F）¿ 1 2（16 6 6 ﹣﹣）＝2， ∵∠＝60°， ∴△DF 是等边三角形， ∴DF＝2． 故选：． 【变式4-2】（2022 秋•龙凤区期末）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，＝3，B＝4，⊙是△B 的 内切圆，点D 是斜边B 的中点，则D 的长度是 ❑ √5 2 ． 【分析】如图连接E、F、Q，设⊙的半径是r，由勾股定理求出B＝5，根据△B 的内切 圆，得到E⊥，F⊥B，E＝F，推出四边形FE 是正方形，得到E＝F＝F＝E，根据3﹣ r+4﹣r＝5 求出r、Q、Q 的长求出D、DQ 的长 【解答】解：如图连接E、F、Q，设⊙的半径是r， 由勾股定理得：B¿ ❑ √A C 2+BC 2=¿5， ∵⊙是三角形B 的内切圆， ∴E⊥，F⊥B，E＝F，E＝Q，BF＝BQ， ∵∠＝90°， ∴∠＝∠F＝∠E＝90°， ∴四边形FE 是正方形， ∴E＝F