专题24.6 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】（原卷版）

专题246 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大 题型】 【人版】 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】..........................................................................................2 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】..............................................................................................2 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】..............................................................................................3 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】.........................................................................................................4 【题型5 定义法判断切线】.....................................................................................................................................5 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】............................................................................................................. 6 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】............................................................................................................. 7 【题型8 利用切线的性质求线段长度】................................................................................................................. 8 【题型9 利用切线的性质求角度】.........................................................................................................................9 【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】..................................................................................................10 【知识点1 直线与圆的位置关系】 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 设 的半径为 ，圆心 到直线的距离为 则有： 相交：直线和圆有两 个公共点 r d 直线和 相交 相切：直线和圆只有 一个公共点 d=r 直线和 相切 相离：直线和圆没有 公共点 d r 直线和 相离 1 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 【例1】（2022 春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙和点与点B，如果⊙的半径为 6m，线段＝10m，线段B＝6m，那么直线B 与⊙的位置关系为（ ） ．相离 B．相交 ．相切 D．相交或相切 【变式1-1】（2022 秋•韶关期末）已知⊙的半径等于3，圆心到直线l 的距离为5，那么直 线l 与⊙的位置关系是（ ） ．直线l 与⊙相交 B．直线l 与⊙相切 ．直线l 与⊙相离 D．无法确定 【变式1-2】（2022 秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为，点P 在函数 y= 1 4 x 2−1的图象上，以点P 为圆心，以P 为半径的圆与直线y＝﹣2 的位置关系是（ ） ．相离 B．相切 ．相交 D．三种情况均有可能 【变式1-3】（2022 秋•自贡期末）如图，⊙的半径为5，圆心到一条直线的距离为2， 则这条直线可能是（ ） ．l1 B．l2 ．l3 D．l4 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 【例2】（2022 秋•北仑区期末）⊙的半径为5，若直线l 与该圆相交，则圆心到直线l 的距 离可能是（ ） ．3 B．5 ．6 D．10 【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△B 中，∠＝90°，＝3，B＝4，如果以 点为圆心的圆与斜边B 有公共点，那么⊙的半径r 的取值范围是（ ） ．0≤r≤12 5 B．12 5 ≤r≤3 ．12 5 ≤r≤4 D．3≤r≤4 1 【变式2-2】（2022 秋•丛台区校级期中）已知矩形BD 中，B＝4，B＝3，以点B 为圆心r 为半径作圆，且⊙B 与边D 有唯一公共点，则r 的取值范围为（ ） ．3≤r≤4 B．3≤r＜5 ．3≤r＜4 D．3≤r≤5 【变式2-3】（2022 秋•丛台区校级期中）以坐标原点为圆心，作半径为4 的圆，若直线y ＝﹣x+b 与⊙相交，则b 的取值范围是（ ） ．0≤b＜2❑ √2 B．﹣4❑ √2≤b≤4❑ √2 ．﹣2❑ √2＜b＜2❑ √2 D．﹣4❑ √2＜b＜4 ❑ √2 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 【例3】（2022 秋•武汉期末）已知⊙的半径等于5，圆心到直线l 的距离为6，那么直线l 与⊙的公共点的个数是（ ） ．0 B．1 ．2 D．无法确定 【变式3-1】（2022 秋•武汉期末）直角△B，∠B＝90°，B＝8，＝6，以为圆心，48 长度为 半径的圆与直线B 的公共点的个数为（ ） ．0 B．1 ．2 D．不能确定 【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5m，如果圆心到直线距离是4m，那么这 条直线和这个圆的公共点的个数是（ ）个． ．0 B．1 ．2 D．0 或1 或2 【变式3-3】（2022 秋•沭阳县期中）如图，在△B 中，∠＝90°，＝4，B＝3，以点为圆心， r 为半径画圆． （1）当r＝ 时，⊙与边B 相切； （2）当r 满足 时，⊙与边B 只有一个交点； （3）随着r 的变化，⊙与边B 的交点个数还有哪些变化？写出相应的r 的值或取值范围． 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】 【例4】（2022 秋•常熟市期中）如图，直线y¿ 3 4 x+3 与x 轴、y 轴分别交于，B 两点，点P 1 是以（1，0）为圆心，1 为半径的圆上任意一点，连接P，PB，则△PB 面积的最小值是 （ ） ．5 B．10 ．15 D．20 【变式4-1】（2022 秋•凉山州期末）点是半径为2 的⊙上一动点，点到直线M 的距离为 3．点P 是M 上一个动点．在运动过程中若∠P＝90°，则线段P 的最小值是 ． 【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图，⊙的半径是5，点在⊙上．P 是⊙所在平面内一点， 且P＝2，过点P 作直线l，使l⊥P． （1）点到直线l 距离的最大值为 ； （2）若M，是直线l 与⊙的公共点，则当线段M 的长度最大时，P 的长为 ． 【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△B 中，∠＝90°，＝10，B＝12，点D 为线段B 上一 动点．以D 为⊙直径，作D 交⊙于点E，连BE，则BE 的最小值为（ ） ．6 B．8 ．10 D．12 【知识点2 切线的判定】 （1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 1 ②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法） ③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线 （2）切线判定常用的证明方法： ①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 【题型5 定义法判断切线】 【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（ ） ．过半径外端的直线 B．与圆心的距离等于该圆半径的直线 ．垂直于圆的半径的直线 D．与圆有公共点的直线 【变式5-1】（2022 秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（ ） ．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【变式5-2】（2022 秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线． （2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的 切线．（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．1 个 【变式5-3】（2022 秋•慈溪市期末）已知⊙的半径为5，直线EF 经过⊙上一点P（点E，F 在点P 的两旁），下列条件能判定直线EF 与⊙相切的是（ ） ．P＝5 B．E＝F ．到直线EF 的距离是4 D．P⊥EF 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】 【例6】（2022•顺德区一模）如图，，B，，D 是⊙上的四个点，∠DB＝∠BD＝60°，过点 作E∥B 交D 延长线于点E． （1）求∠B 的大小； （2）证明：E 是⊙的切线． 1 【变式6-1】（2022•昭平县一模）如图，B 是⊙的弦，P⊥B 交⊙于，＝2，∠B＝30°． （1）求B 的长； （2）若是P 的中点，求证：PB 是⊙的切线． 【变式6-2】（2022 春•朝阳区校级月考）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，D 平分∠B 交B 于点 D，为B 上一点，经过点，D 的圆分别交B，于点E，F，连接EF． 求证：B 是圆的切线． 【变式6-3】（2022 秋•武夷山市期末）如图，点P 是⊙的直径B 延长线上的一点（PB＜ B），点E 是线段P 的中点．在直径B 上方的圆上作一点，使得E＝EP． 求证：P 是⊙的切线． 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】 【例7】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B 的平分线交B 于点D，E 为B 上的一点，DE＝D，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D，B＝5，EB＝3． （1）求证：是⊙D 的切线； （2）求线段的长． 1 【变式7-1】（2022 秋•滨海县期末）如图，以点为圆心作圆，所得的圆与直线相切的是（ ） ．以为半径的圆 B．以B 为半径的圆 ．以为半径的圆 D．以D 为半径的圆 【变式7-2】（2022•椒江区一模）如图，△B 为等腰三角形，是底边B 的中点，腰B 与⊙相 切于点D．求证：是⊙的切线． 【变式7-3】（2022 秋•丹江口市期中）如图，为正方形BD 对角线上一点，以点为圆心， 长为半径的⊙与B 相切于点E． （1）求证：D 是⊙的切线； （2）若正方形BD 的边长为10，求⊙的半径． 【知识点3 切线的性质】 （1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 （2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 1 【题型8 利用切线的性质求线段长度】 【例8】（2022•新平县模拟）如图，已知B 是⊙的直径，D 是⊙的切线，点是切点，弦 F⊥B 于点E，连接． （1）求证：平分∠DF； （2）若D⊥D，BE＝2，F＝8，求D 的长． 【变式8-1】（2022•泸县一模）如图，B 是⊙的切线，为切点，是⊙的弦，过作⊥于点．若 ＝3，B＝12，B＝13，求：⊙的半径和的长． 【变式8-2】（2022•建邺区一模）如图，B、D 是⊙的切线，B、D 为切点，B＝2，D＝4， ＝10．若∠+∠＝90°，则⊙的半径是 ． 【变式8-3】（2022•新抚区校级三模）如图，△D 内接于⊙，B 是⊙的切线，∠＝45°，∠B＝ 30°．D＝4，则B 长为（ ） ．4 B．2❑ √2 ．2❑ √3 D．2❑ √6 【题型9 利用切线的性质求角度】 【例9】（2022•红桥区三模）已知P、PB 是⊙的切线，、B 为切点，连接并延长，交PB 的 1 延长线于点，连接P，交⊙于点D． （）如图①，若∠P＝65°，求∠的大小； （）如图②，连接BD，若BD∥，求∠的大小． 【变式9-1】（2022 秋•香洲区期末）如图，P、PB 是⊙的两条切线，、B 是切点，是⊙的 直径，∠B＝35°，求∠P 的度数． 【变式9-2】（2022•老河口市模拟）P，PB 是⊙的切线，，B 是切点，点是⊙上不与，B 重 合的一点，若∠PB＝70°，则∠B 的度数为 ． 【变式9-3】（2022•曲阜市二模）已知B 是⊙的直径，D 是⊙的切线，切点为，D 交B 的延 长线于点D，连接B，． （Ⅰ）如图①，求证：∠＝∠DB； （Ⅱ）如图②，D＝，若E 是⊙上一点，求∠E 的大小． 【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】 【例10】（2022•五华区三模）如图，在△B 中，点D 是边上一点，且D＝B，以线段B 为 直径作⊙，分别交BD，于点E，点F，∠B＝2∠BD． （1）求证：B 是⊙的切线； （2）若D＝2，B＝4，求点B 到的距离． 1 【变式10-1】（2022•邵阳模拟）如图，是⊙的直径，D 与⊙相交于点B，∠DB＝∠B． （1）求证：D 是⊙的切线． （2）若∠DB＝30°，DB＝2，求直径的长度． 【变式10-2】（2022•衡阳）如图，B 为⊙的直径，过圆上一点D 作⊙的切线D 交B 的延长 线于点，过点作E∥D 交D 于点E，连接BE． （1）直线BE 与⊙相切吗？并说明理由； （2）若＝2，D＝4，求DE 的长． 【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△B 内接于⊙，∠B＝45°，连接并延长交⊙于点D， 连接BD，过点作E∥D 与B 的延长线交于点E． （1）求证：E 与⊙相切； （2）若D＝4，∠D＝60°，求线段B，B 的长． 1 1