高考数学答题技巧题型06 5类函数选填压轴题解题技巧（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）（解析版）Word（24页）

题型06 5 类函数选填压轴题解题技巧 （对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切 线） 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 例1．（全国·高考真题）设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，则 A． B． C． D． 反解 的解析式，可得 ，即 ， 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 技法02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 技法03 整数解的应用及解题技巧 技法04 零点的应用及解题技巧 技法05 切线与公切线的应用及解题技巧 本题型通常由对称性考查参数值及解析式的求解，灵活运用对称性反解函数是解题的关键，常以小题形式 考查. 因为 ，所以 ，解得解得 ，故选C 1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称， 且满足 ，则 （ ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据图象的对称性得点 ， 在函数 的图象上，列方程组求解即可得 解. 【详解】函数 的图象与 的图象关于直线 对称， 所以点 ， 在函数 的图象上， 所以 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 . 故选：B 2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称， 由 得 ，∴ ，把 互换得： ，即 ， 因为 ，所以 ． 故选：B． 3．（2023 上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数 和 的图象与直线 交点的横坐标分别 ， ，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】作出函数 和 的图象以及直线 的图象，利用反函数的性质即可判断 【详解】作出函数 和 的图象以及直线 的图象，如图， 由函数 和 的图象与直线 交点 的横坐标分别为 ， ， 由题意知 ，也即 , 由于函数 和 互为反函数， 二者图像关于直线 对称， 而 为 和 的图象与直线 的交点, 故 关于 对称， 故 . 故选：B. 4．（2023·全国·高三专题练习）若 满足 ， 满足 ，则 等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】将所给式化简可得 ， ，进而 和 是直线 和曲线 、曲线 交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可 【详解】由题意 ，故有 故 和 是直线 和曲线 、曲线 交点的横坐标. 根据函数 和函数 互为反函数，它们的图象关于直线 对称， 故曲线 和曲线 的图象交点关于直线 对称. 即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x 上， 即 ，求得x1+x2=5， 故选：D. 技法02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 在已知函数解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小题要学会特值法的使用来快速求解 例2．（全国·高考真题）设函数 ,则使 成立的 的取值范围是 A． B． C． D． 【特值法】 当x=1时，f (1)>f (1)不成立，排除D，当x=0 时，则判断f (0)>f (−1)是否成立， 计算f (0)=−1， f (−1)=ln2−1 2≈0.19 ，不成立，故排除B、C, 【答案】A 1．（全国·高考真题）设函数 ，则满足 的x 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有 成立，一定会有 ，从而求得结果. 详解：将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足 的x 的取值范围是 ，故选D. 点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题， 在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数， 从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组， 从而求得结果. 【详解】 2．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数 ，则 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数 解析式，作出函数图象，继而作出 的图象， 数形结合，求得不等式的解集. 【详解】根据题意当 时, ， 当 时, , 作出函数 的图象如图， 在同一坐标系中作出函数 的图象， 由图象可得不等式 解集为 ， 故选：C 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集. 3．（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校联考模拟预测）已知函数 ，若 成立，则实数a 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数 ，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在 单调递增，进而 关于直线 对称，且在 单调递增，结合条件可得 ，解不等式即得. 【详解】因为 的定义域为R，又 ，故函 数 为偶函数， 又 时， ， 单调递增，故由复合函数单调性可得函数 在 单调递增， 函数 在定义域上单调递增， 所以 在 单调递增， 所以 ， 所以 关于直线 对称，且在 单调递增． 所以 ， 两边平方，化简得 ，解得 ． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数 ，然后根据函数的单调性及对称性化 简不等式进而即得. 技法03 整数解的应用及解题技巧 例3．（2024·全国·模拟预测）已知关于x 的不等式 恰有一个整数解，则实数k 的取值范 围为（ ） A． B． C． D． 【猜根法，寻找临界条件】 由题知整数解不可能为1， 若整数解为2，则整数解3 不可取，代入有 ln2−16k+8k=0⇒k=ln2 8 ， ln3−81k+27k=0⇒k=ln3 54 ，根据整数解问题区间为一开一闭，则选D. 1．（2023·四川内江·统考三模）若关于x 的不等式 有且只有一个整数解，则正实数a 的取 值范围是（ ） A． B． 在整数解问题中，通常我们用猜根法比较快，先找到临界条件得到端点值，再利用整数解区间为一开一闭， 能做到快速求解. C． D． 【答案】A 【分析】原不等式可化简为 ，设 ， ，作出函数 的图象，由 图象可知函数 的图象应介于直线 与直线 之间（可以为直线 ，进而求得答案． 【详解】原不等式可化简为 ，设 ， ， 由 得， ，令 可得 ， 时， ， 时， ， 易知函数 在 单调递减，在 单调递增，且 ， 作出 的图象如下图所示， 而函数 恒过点 ，要使关于 的不等式 有且只有一个整数解，则函数 的图象应介于直线 与直线 之间（可以为直线 ）， 又 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若不等式 有3 个整数解，则实数a 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将不等式等价转化为 有3 个整数解．利用导数研究函数的性质并画 出草图，结合图形列出关于a 的不等式组，解之即可. 【详解】函数 的定义域为 ． 由 ，得 ，则不等式 有3 个整数解． 设 ，则 ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 又 ，所以当 时， ，当 时， ， 易知 的图象恒过点 ， 在同一直角坐标系中，分别作出 与函数 的图象，如图所示． 由图象可知 ， 要使不等式 有3 个整数解， 则 ，解得 ， 故选：A． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 恰有3 个正整数解，则 的 取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式有解问题转化为相应两个函数图象交点问题，根据数形结合思想，通过运算进行求解即可. 【详解】解：由题意， 恰有3 个正整数解，转换为 的图象与 的图象交点 问题， 作出 和 的图象，如图： 要使 恰有3 个正整数解， 则需满足： ， 解得： ， 故选：A． 【点睛】方法点睛：不等式解和方程根的问题往往转化为函数图象交点问题，利用数形结合思想进行求解. 4．（2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）偶函数 满足 ，当 时， ，不等式 在 上有且只有100 个整数解，则实数a 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到 是周期函数，且周期为，且 关于 对称，转化为不等式 在 上有且只有1 个整数解，根据 时，得到 在 上有一个整数解， 结合对数运算及性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数 为偶函数，所以 ， 所以 ，所以 是周期函数，且周期为，且 关于 对称， 又由在 上含有50 个周期，且 在每个周期内都是对称图形， 关于 的不等式 在 上有且只有100 个整数解， 所以关于 不等式 在 上有且只有1 个整数解， 当 时， ，则 ，令 ，解得 ， 所以当 时， ， 为增函数， 当 时， ， 为减函数， 因为当 时， ，且 ， ， ，所以当 时，可得 ， 当 时， 在 上有且只有3 个整数解，不合题意； 所以 ， 由 ，可得 或 ， 因为 ，当 时，令 ，可得 ， 当 时， ，且 在 为增函数， 所以 在 上无整数解，所以 在 上有一个整数解， 因为 ， 所以 在 上有一个整数解，这个整数解只能为 ， 从而有 且 ，解得 ， 即实数a 的取值范围是 ． 故选：C 技法04 零点的应用及解题技巧 例4-1．（全国·高考真题）已知函数 有唯一零点，则 A． B． C． D．1 通过观察发现 关于 对称， 也关于 对称， 则唯一零点为1，解得解得 .故选：C. 零点问题是高考中常考内容，解决唯一零点问题在于观察发现零点的具体值，多个零点数形结合能做到快 速求解. 例4-2．（2023·山东济南·统考三模）已知函数 若函数 有四个不同的 零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】 依题意，函数 有四个不同的零点，即 有四个解， 转化为函数 与 图象由四个交点， 由函数函数 可知， 当 时，函数为单调递减函数， ； 当 时，函数为单调递增函数， ； 当 时，函数为单调递减函数， ； 当 时，函数为单调递增函数， ； 结合图象，可知实数 的取值范围为 . 故选：A 1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）若函数 有唯一零点，则实数 （ ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】A 【分析】由函数解析式推导出函数的对称性，然后结合只有唯一的零点求出参数的值. 【详解】由 ， 得 ，即函数 的图象关于 对称， 要使函数 有唯一的零点， 则 ，即 ，得 ． 故选：A． 2．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知函数 有唯一零点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知函数 存在极小值 且满足 ，由此可得出 ，构造函数 ，其中 ，利用 导数分析得出函数 在区间 上为减函数，可求得 的值，进而可求得 的值. 【详解】函数 的定义域为 ，则 ， ， 则 ， 所以，函数 在 上为增函数， 当 时， ，当 时， ， 则存在 ，使得 ，则 ， 当 时， ，此时函数 单调递减， 当 时， ，此时函数 单调递增， ， 由于函数 有唯一零点， 则 ， 由 ，解得 ， 所以， ， 令 ，其中 ， ， ，则 ， ， ，则 ， 所以，函数 在 上单调递减，且 ， ， 从而可得 ，解得 . 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图 象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形 结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的 图象的交点问题. 3．（2022 上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数 有唯一零点， 则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数变形，换元后得到 ，研究得到 为偶函数，由 有唯一零点，得 到函数 的图象与 有唯一交点，结合 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，代入后求出 . 【详解】 有零点，则 ， 令 ，则上式可化为 ， 因为 恒成立，所以 ， 令 ，则 ， 故 为偶函数， 因为 有唯一零点，所以函数 的图象与 有唯一交点， 结合 为偶函数，可得此交点的横坐标为0， 故 . 故选：D 4．（2023·湖南岳阳·统考二模）若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数 与 图象有两个不同的交点，根据换元法将函数 转化为 ，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 设 ，则 ， 令 ，令 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， 所以 ，所以 ， 函数 有两个不同的零点等价于方程 有两个不同的解， 则 ， 等价于函数 与 图象有两个不同的交点. 令 ， ， 则函数 与 图象有一个交点， 则 ， 所以函数 在 上单调递增， 所以 ， 且趋向于正无穷时， 趋向于正无穷， 所以 ，解得 . 故选：A. 【点睛】方法点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结 合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过 对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接 构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围. 5．（全国·高考真题）已知函数 ．若g（x）存在2 个零点，则a 的取 值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】C 【详解】分析：首先根据g（x）存在2 个零点，得到方程 有两个解，将其转化为 有两个解，即直线 与曲线 有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函 数 的图像（将 去掉），再画出直线 ，并将其上下移动，从图中可以发现，当 时， 满足 与曲线 有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数 的图像， 在y 轴右侧的去掉， 再画出直线 ，之后上下移动， 可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程 有两个解， 也就是函数 有两个零点， 此时满足 ，即 ，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是 将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数 的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 6．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知函数 ，其中 ，若 在区间 内恰好有4 个零点，则a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据参数 的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函数的图象与性质，结合端 点满足的条件，即可求解. 【详解】由函数 ，其中 ， 当 时，对任意 ，函数 在 内最多有1 个零点，不符题意，所以 ， 当 时， ， 由 可得 或 ， 则在 上， 有一个零点， 所以 在 内有3 个零点，即 在 内有3 个零点， 因为 ，所以 ， ， 所以 ，解得 ， 综上所述，实数 的取值范围为 . 故选：C. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范 围； 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 技法05 切线与公切线的应用及解题技巧 例5-1．（2021·全国·统考高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条 对于切线及公切线问题，熟练掌握导数的几何意义及其应用，能做到基本题型求解，熟练解方程也有助于 快速解题. 切线.由此可知 . 故选：D. 例5-2．（全国·高考真题）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ． 对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于 点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上 得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条 直线，所以 ，解得 . 1．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线 与 存在公切线，则正实数a 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义推出公共切线斜率为 ，结合切点坐标满足 函数解析式，可得 ，构造函数 ，利用导数求得其最大值，即可求得答案. 【详解】由题可知， ， ， 设与曲线 相切的切点为 ，与 相切的切点为 ， 则有公共切线斜率为 ，则 ， ， 又 ， ，可得 ， 即有 ，即 ， 可得 ， ， 设 ， ， ， 可得 时， ， 在 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减， , 可得 处 取得极大值，且为最大值 ， 则正实数a 的取值范围 ， 故答案为： 2．（2024·全国·高三专题练习）若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，设公切线与 切于点 ，与曲线 切于点 ， ，即可得到 ，则 或 ，从而得到 ，在令 ， ，利用导数求出函数的最小值，即可得解； 【详解】因为 ， ， 所以 ， ， 设公切线与 切于点 ，与曲线 切于点 ， ， 所以 ， 所以 ，所以 ，所以 或 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 令 ， ， 则 ，所以当 时 ，当 时 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以实数 的最小值为 . 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系， 最后构造函数，利用导数求出函数的最值. 3．（2024 上·河北保定·高三河北阜平中学校联考期末）若曲线 与曲线 有公切线， 则实数a 的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据