专题24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】（原卷版）

专题247 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】 【人版】 【题型1 利用切线长定理求周长】.........................................................................................................................1 【题型2 三角形内切圆中求角度】.........................................................................................................................2 【题型3 三角形内切圆中求面积】.........................................................................................................................4 【题型4 三角形内切圆中求线段长度】................................................................................................................. 5 【题型5 三角形内切圆中求半径】.........................................................................................................................5 【题型6 三角形内切圆中求最值】.........................................................................................................................6 【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】................................................................................................................. 7 【知识点1 切线长定理及三角形的内切圆】 （1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角 （2）三角形内切圆 【题型1 利用切线长定理求周长】 【例1】（2022 秋•宜兴市校级期中）如图，△B 是一张三角形的纸片，⊙是它的内切圆， 点D 是其中的一个切点， 已知D＝10m，小明准备用剪刀沿着与⊙相切的任意一条直线M 剪下一块三角形 （△M），则剪下的△M 的周长为 ． 【变式1-1】（2022 秋•莒南县期末）如图，P、PB 切⊙于、B 两点，D 切⊙于点E，分别 交P、PB 于点、D．若P、PB 的长是关于x 的一元二次方程x2﹣mx+m 1 ﹣＝0 的两个根， 三角形内切 圆 与三角形各 边都相切的 圆叫做三角 形的内切圆 内切圆的圆心 是三角形三个 内角的角平分 线的交点，叫 做三角形的内 心 三角形的内 心到三角形 三边的距离 相等 A B C I 1 求△PD 的周长． 【变式1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△B 中，∠＝90°，B＝5，⊙与△B 的三边相切 于点D、E、F，若⊙的半径为2，则△B 的周长为（ ） ．14 B．20 ．24 D．30 【变式1-3】（2022 秋•崇川区月考）如图，P 是⊙外一点，P、PB 分别和⊙相切于点、 B，是劣弧^ AB上任意一点，过作⊙切线DE，交P、PB 于点D、E，已知P 的长为5m， ∠DE＝65°，点M、分别在P、PB 的延长线上，M 与⊙相切于点F，已知D、EM 的长是 方程x2 10 ﹣ x+k＝0 的两根． （1）求∠P 的度数； （2）求△PDE 的周长； （3）求四边形DEM 的周长． 【题型2 三角形内切圆中求角度】 【例2】（2022•温州模拟）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，⊙是它的内切圆，与B，B，分别 切于点D，E，F，若∠B＝40°，则∠DE＝ ． 【变式2-1】（2022 秋•昌平区期末）如图，⊙是△B 的内切圆，切点分别为D，E，F，已 1 知∠＝40°，连接B，，DE，EF，则∠B＝ °，∠DEF＝ °． 【变式2-2】（2022•万年县校级模拟）如图，△B 中，内切圆与B，B，分别切于F，D， E，连接B，，再连接FD，ED， （1）若∠＝40°，求∠B 与∠FDE 的度数． （2）若∠B＝α；∠FDE＝β，试猜想α，β 的关系，并证明你的结论． 【变式2-3】（2022 秋•邗江区期中）如图，在△B 中，B＝，D⊥B 于点D，点M 是△B 内一 点，连接BM 交D 于点，已知∠MB＝108°，若点M 是△的内心，则∠B 的度数为（ ） ．36° B．48° ．60° D．72° 【题型3 三角形内切圆中求面积】 【例3】（2022 秋•黄冈期中）如图，边长为1 的正方形BD 的边B 是⊙的直径，F 是⊙的 切线，E 为切点，F 点在D 上，BE 是⊙的弦，求△DF 的面积． 1 【变式3-1】（2022•武汉模拟）如图，B 是⊙的直径，是⊙上一点，E 是△B 的内心， E⊥EB．若E＝2❑ √2，则△BE 的面积为（ ） ．2❑ √2 B．2 ．❑ √2 D．1 【变式3-2】（2022 春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1m． 如果这条花边带有100 个圆和100 个正三角形，则这条花边的面积为（ ） ．150π B．150❑ √3 ．300❑ √3 D．200 【变式3-3】（2022•齐齐哈尔一模）如图，正方形BD 边长为4m，以正方形的一边B 为直 径在正方形BD 内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与D 相交于E 点，则 △DE 的面积（ ）m2 ．12 B．24 ．8 D．6 【题型4 三角形内切圆中求线段长度】 【例4】（2022 秋•乌兰察布期末）如图，⊙分别切△B 的三条边B、B、于点D、E、F、若 B＝5，＝6，B＝7，求D、BE、F 的长． 1 【变式4-1】（2022 秋•崇川区月考）如图，已知△B 的内切圆与三边分别切于D、E、F，∠ ＝60°，B＝6m，△B 的周长为16m，则DF 的长等于（ ） ．2m B．3m ．4m D．6m 【变式4-2】（2022 秋•龙凤区期末）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，＝3，B＝4，⊙是△B 的 内切圆，点D 是斜边B 的中点，则D 的长度是 ． 【变式4-3】（2022•永定区模拟）如图，已知在矩形BD 中，B＝12，B＝16，⊙1和⊙2 分别是△B 和△D 的内切圆，点E、F 为切点，则EF 的长是 m． 【题型5 三角形内切圆中求半径】 【例5】（2022•定安县二模）如图，在矩形BD 中，D＜B，D＝9，B＝12，则△D 内切圆的 半径是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【变式5-1】（2022 秋•张店区期末）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，B＝3，B＝5，⊙是 1 Rt△B 的内切圆，则⊙的半径为（ ） ．1 B．❑ √3 ．2 D．2❑ √3 【变式5-2】（2022 秋•虎丘区校级期中）若四边形BD 有内切圆（与四边形四边均相切）， 四边形面积为S，各边长分别为，b，，d，则该圆的直径为（ ） ．a+b+c+d S B．S a+c ．c−d S(a+b) D． 2S a+b+c+d 【变式5-3】（2022 秋•南丹县期末）如图，△B 的内切圆⊙分别与B，，B 相切于点D， E，F．若∠＝90°，＝6，B＝8，则⊙的半径等于 ． 【题型6 三角形内切圆中求最值】 【例6】（2022 春•长兴县月考）如图，矩形BD，D＝6，B＝8，点P 为B 边上的中点，点 Q 是△D 的内切圆圆上的一个动点，点M 是Q 的中点，则PM 的最大值是 ． 【变式6-1】（2022 秋•扬州月考）如图是一块△B 余料，已知B＝20m，B＝7m，＝15m， 现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 ． 【变式6-2】（2022•温州自主招生）设等边△B 的内切圆半径为2，圆心为．若点P 满足P ＝1，则△B 与△P 的面积之比的最大值为 ． 1 【变式6-3】（2022 秋•滨湖区期末）已知点是⊙上一动点，弦B＝6，∠B＝120゜． （1）如图1，若D 平分∠B，求证：+B＝D； （2）如图2，△B 内切圆半径为r．①用含r 的代数式表示+B；②求r 的最大值． 【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】 【例7】（2022 秋•滨湖区期末）设两直角边分别为3、4 的直角三角形的外接圆和内切圆 的半径长分别为R 和r，则R﹣r＝ ． 【变式7-1】（2022•鞍山模拟）如图，⊙内切于Rt△B，切点分别为D、E、F，∠＝90°． 已知∠＝120°，则∠＝ °，∠B＝ °．已知＝4m，B＝3m，则△B 的外接圆 的半径为 m，内切圆的半径为 m． 【变式7-2】（2022•游仙区模拟）如图，在△B 中，∠B＝60°，其周长为20，⊙是△B 的内 切圆，其半径为❑ √3，则△B 的外接圆直径为 ． 【变式7-3】（2022 秋•鄞州区校级月考）如图，在Rt△B 中，＝8，B＝6，∠＝90°．⊙分 别切，B，B 于点D，E，F，求Rt△B 的内心与外心之间的距离． 1