全等模型—倍长中线模型 夯实双基，稳中求进 倍长中线模型 题型一：求三角形中线取值范围 【例1】（2021·重庆市暨华中学校八年级月考）在 中， ，中线 ，则 边的取值范围 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】延长D 至E，使DE=D，然后利用“边角边”证明△BD 和△ED 全等，根据全等三角形对应边相等 可得B=E，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出E 三角形边长的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边 倍长中线定义：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶 点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之 间的关系（通常用“SS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 ∵D 是△B 的中线， ∴BD=D， 在△BD 和△ED 中， ∵D=7， ∴E=7+7=14， 14+5=19 ∵ ，14-5=9， 9 ∴＜E＜19， 即9＜B＜19． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之 差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 变式训练 【变式1-1】（2021·全国）如图， 是 的边 上的中线， ，则 的取值范围为（ ） ． B． ．

常见全等辅助线添加秘籍—精准解读 《学习目标分解》 1.会添加倍长中线模型、截长补短模型的辅助线构造三角形全等； 2.会利用全等三角形的性质和判定进行相关的计算和证明 《重难点精准分析》 1.全等辅助线的添加； 2.全等三角形的性质和判定的综合应用 《专题精准分析》 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容， 本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用 “倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造 出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题 已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形B 中，D 为B 边上的中线 证明思路：延长D 中后 两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相 关的辅助线主要是倍长中线型辅助线（这里的中线指的是过中点的任意线段），此种模型 的本质都是构造“8 字型”全等，主要分成三类处理方法： （1）倍长中线型——这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下： 已知：点D 为边的中点 作法：延长BD 至E，使得DE=BD，连结E （2）

专题16 全等与相似模型-半角模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 半角模型 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与 半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半 角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形BD 是正方形，∠EF=45°； ；（3）3 【分析】（1）延长 到 使 ，连接G，先证明 ，由此得到 ， ，再根据 ， ，可以得到 ，从而证明 ，然后根据全等三角形的性质即可证明 ；（2）在BM 上取一点G，使得 ，连接G，先证明 ，由此得到 ， ，由此可得 ，再根据 可以得到 ，从而证明 ，然后根 据全等三角形的性质即可证明 ；（3）在D 上取一点G，使得 ，连接G，先证明 ，再证明 ，设 ，根据 可求得 ，由此可得 ，最后再证明

专题12 全等模型-角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全 等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 模型1 角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1， 为 的角平分线、 于点时，过点作 结论： 、 ≌ 的平分线BP 交于点P，若∠BP ＝40°，则∠P＝（ ） ．40° B．45° ．50° D．60° 【答】 【分析】根据外角与内角性质得出∠B 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出 ∠P＝∠FP，即可得出答 【详解】解：延长B，作P⊥BD，PF⊥B，PM⊥，设∠PD＝x°， ∵P 平分∠D，∴∠P＝∠PD＝x°，PM＝P， ∵BP 平分∠B，∴∠BP＝∠PB，PF＝P，∴PF＝PM， ）＝80°，∴∠F＝100°， 在Rt△PF 和Rt△PM 中， ， ∴Rt△PF≌Rt△PM（L），∴∠FP＝∠P＝50°．故选． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线 的性质得出PM＝P＝PF 是解题的关键． 例3．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图， 中， 、 的角平分线 、 交于 点P，延长 、 ， ， ，则① 平分

专题16 全等与相似模型-半角模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 半角模型 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与 半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半 角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形BD 是正方形，∠EF=45°； 满足 ，连接 ，则 ， ， 之间的数量关系为________． （2）如图2，将 沿斜边翻折得到 ， ， 分别为 ， 边上的点，且 ，试猜想 ， ， 之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）将两个全等的等腰直角 和 按如图3 所示摆放在一起， 为公共顶点， ， ， 与边 的交点分别为 ， ，求证： ． 13．（2023·陕西西安·九年级校考期中）问题研究，如图，在等腰 中，

专题17 全等与相似模型-对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中 ，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋 转的构造，构造手拉手全等。 常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，平分∠B 【答】图②中D＋E＝ 成立．证明见解析；图③不成立，有数量关系：E－D＝ 【分析】当三角板绕点旋转到D 与不垂直时，易得△KD E ≌△，进而可得出证明；判断出结果，解此题的关 键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出与D、E 的关系；最后转化得到结论． 【详解】解：图②中D＋E＝ 成立． 证明：过点分别作，B 的垂线，垂足分别为P，Q 有△PD QE ≌△ ，∴DP＝EQ，∵P＝D＋DP，Q＝E－EQ，

专题12 全等模型-角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全 等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 模型1 角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1， 为 的角平分线、 于点时，过点作 结论： 、 ≌ 12．（2023·宁夏银川·校考二模）问题提出 （1）如图①，已知 ，以点为圆心，适当长为半径画弧，交 于点M，交 于点，分别以点M， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点，画射线 ，连接 ， 则图①中与 全等的是___________； 问题探究（2）如图②，在 中， 平分 ，过点D 作 于点M，连接 ， ，若 ，求证： ； 问题解决（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板 ， ，他需要利用铁板的边角裁出一个四 八年级上册数学材96 页的部分内容． 已知：如图1354， 是 的平分线，P 是 上任意一点， ，垂足分别为点D 和点E． 求证： ． 分析：图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等便可证得 【问题解决】请根据材分析，结合图①写出证明 的过程． 【类比探究】（1）如图②， 是 的平分线，P 是 上任意一点，点 分别在 和 上， 连接 和 ，若 ，求证： ；（2）如图③，

专题17 全等与相似模型-对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中 ，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋 转的构造，构造手拉手全等。 常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠B＝∠DE＝90°，平分∠B 为边 的中点时，试判断四边形 的形状，并说 明理由．【问题解决】如图 ，在三角板旋转过程中，当 时，求线段 的长． 例4．（2023 年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形 和 ，其中四边形 的顶 点位于四边形 的对角线交点． (1)如图1，若四边形 和 都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号） ① ；②重叠部分的面积始终等于四边形 的 ；③

第17 讲 全等三角形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 全等三角形及其性质 题型01 利用全等三角形的性质求角度 题型02 利用全等三角形的性质求长度 题型03 根据全等的性质判断正误 题型04 利用全等三角形的性质求解 题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系 考点二 全等三角形的判定 题型01 添加一个条件使两个三角形全等 题型02 添加一个条件仍不能证明全等 添加一个条件仍不能证明全等 题型03 灵活选用判定方法证明全等 题型04 结合尺规作图的全等问题 题型05 全等三角形模型-平移模型 题型06 全等三角形模型-对称模型 题型07 全等三角形模型-一线三等角模型 题型08 全等三角形模型-旋转模型 题型09 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 题型10 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线 题型13 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 考点三 角平分线的性质 题型01 利用角平分线的性质求长度 题型02 利用角平分线的性质求面积 题型03 角平分线的判定定理 题型04 利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题 题型05 三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法 考点四 全等三角形的应用 题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题

第17 讲 全等三角形 目 录 题型01 利用全等三角形的性质求角度 题型02 利用全等三角形的性质求长度 题型03 根据全等的性质判断正误 题型04 利用全等三角形的性质求解 题型05 添加一个条件使两个三角形全等 题型06 添加一个条件仍不能证明全等 题型07 灵活选用判定方法证明全等 题型08 结合尺规作图的全等问题 题型09 全等三角形模型-一线三等角模型 全等三角形模型-一线三等角模型 题型10 全等三角形模型-旋转模型 题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线 题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线 题型13 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 题型14 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 题型15 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 题型16 利用角平分线的性质求长度 题型17 利用角平分线的性质求面积 三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法 题型20 利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题 题型21 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 题型22 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 题型23 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 题型01 利用全等三角形的性质求角度 1．（2022·云南昆明·统考三模）如图，△ABC ≌△≝¿，若∠A=80° ,∠F=30°，则∠B的度数是