第17讲 全等三角形（练习）（解析版）

第17 讲 全等三角形 目 录 题型01 利用全等三角形的性质求角度 题型02 利用全等三角形的性质求长度 题型03 根据全等的性质判断正误 题型04 利用全等三角形的性质求解 题型05 添加一个条件使两个三角形全等 题型06 添加一个条件仍不能证明全等 题型07 灵活选用判定方法证明全等 题型08 结合尺规作图的全等问题 题型09 全等三角形模型-一线三等角模型 题型10 全等三角形模型-旋转模型 题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线 题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线 题型13 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 题型14 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 题型15 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 题型16 利用角平分线的性质求长度 题型17 利用角平分线的性质求面积 题型18 角平分线的判定定理 题型19 三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法 题型20 利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题 题型21 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 题型22 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 题型23 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 题型01 利用全等三角形的性质求角度 1．（2022·云南昆明·统考三模）如图，△ABC ≌△≝¿，若∠A=80° ,∠F=30°，则∠B的度数是 （ ） ．80° B．70° ．65° D．60° 【答】B 【分析】由△ABC ≌△≝¿根据全等三角形的性质可得∠C=∠F=30°，再利用三角形内角和进行求解 即可． 【详解】∵△ABC ≌△≝¿， ∴∠C=∠F， ∵∠F=30°， ∴∠C=30°， ∵∠A=80° ,∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B=180°−∠A−∠C=70°， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（2022·重庆渝中·统考二模）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC ≌△≝¿，若 ∠A=36°，∠F=24°，则∠DEC的度数为（ ） ．50° B．60° ．65° D．120° 【答】B 【分析】根据△ABC ≌△≝¿得到∠D=∠=36°，运用三角形外角性质得到∠DE=∠D+∠F=60°． 【详解】∵△ABC ≌△≝¿， ∠ ∴ D=∠=36°， ∠ ∴ DE=∠D+∠F=60°． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形，三角形外角，熟练掌握全等三角形角的性质和三角形外角性质是解决此 题的关键． 3．（2022·山东淄博·模拟预测）在△ABC中，∠C=90°，D 、E分别是BC，AB上的点， Δ ADC ≅Δ ADE≅Δ BDE，则∠B的度数（ ） ．15 B．20 ．25 D．30 【答】D 【分析】根据Δ ADC ≅Δ ADE≅Δ BDE，得∠CAD=∠EAD=∠B，再利用直角三角形中两个锐角 互余即可得出 【详解】解：∵Δ ADC ≅Δ ADE≅Δ BDE ∴∠CAD=∠EAD=∠B， ∵∠C=90°， ∴∠CAD+∠EAD+∠B=90°， ∴∠B=30°， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形两个锐角和等于90°，掌握全等的性质是解题的关键 题型02 利用全等三角形的性质求长度 4．（2021·江苏扬州·统考二模）如图，Rt△B≌Rt△FDE，∠B＝∠FDE＝90°，∠B＝30°，＝4，将Rt△FDE 沿 直线l 向右平移，连接BD、BE，则BD+BE 的最小值为 ． 【答】2❑ √7 【分析】根据平面直角坐标系，可以假设E(m,❑ √3)，则D(m+1，2❑ √3)，则 BD+BE= ❑ √(m+1) 2+(2❑ √3) 2+ ❑ √m 2+(❑ √3) 2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R(m,0)， 使得R到M (−1，2❑ √3)，N (0,❑ √3)的距离和的最小值，如图1 中，作点N关于x轴的对称点N '，连接 MN '交x轴题意R，连接RN，此时RM +RN的值最小，最小值¿ MN '的长． 【详解】解：建立如图坐标系， 在Rt Δ ABC中，∠ABC=90°，AC=4，∠BAC=30°， ∴BC=1 2 AC=2， AB=❑ √3 BC=2❑ √3， ∴斜边AC上的高¿ 2×2❑ √3 4 =❑ √3， ∵ΔABC ≅ΔFDE， ∴EF=AC=4，斜边EF上的高为❑ √3， ∴可以假设E(m,❑ √3)，则D(m+1，2❑ √3)， ∴BD+BE= ❑ √(m+1) 2+(2❑ √3) 2+ ❑ √m 2+(❑ √3) 2， 欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R(m,0)，使得R到M (−1，2❑ √3)，N (0,❑ √3)的距离和 的最小值，如图1 中， 作点N关于x轴的对称点N '，连接MN '交x轴题意R，连接RN，此时RM +RN的值最小，最小值 ¿ MN '= ❑ √1 2+(3 ❑ √3) 2=2❑ √7， ∴BD+BE的最小值为2❑ √7， 故答为：2❑ √7． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想 思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 5．（2021·北京海淀·人大附中校考模拟预测）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若 CF=5，AB=13，则EF的长为 ． 【答】7 ❑ √2 【分析】由全等三角形的性质可得E＝BG＝F＝D＝5，＝BE＝G＝DF＝12，∠DB＝90°，∠D＝∠BE，可得 EG＝GF＝F＝F＝7，∠BE＋∠BE＝90°，可证四边形EGF 是正方形，即可求EF 的长． 【详解】解：∵正方形BD 是由四个全等的三角形围成的， ∴E＝BG＝F＝D＝5，＝BE＝G＝DF＝12，∠DB＝90°，∠D＝∠BE ∴EG＝GF＝F＝F＝7，∠BE＋∠BE＝90°， ∴四边形EGF 是菱形，且∠EB＝90° ∴四边形EGF 是正方形 ∴EF＝❑ √2EG＝7 ❑ √2 故答为：7 ❑ √2 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质，证明四边形EGF 是正方形是本题的关键． 6．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图是沙漏示意图（数据如图），上下两部分为全等三角形，将上半部分 填满沙子后，在沙子下落至如图位置时，B 的长为多少？（正在下落的沙子忽略不计）（ ） ．1m B．2m ．3m D．4m 【答】D 【分析】先根据题意得出△OAB≌△ODC，根据全等三角形对应高相等，得出B 边上的高为5m，然后 根据△OAB∽△OEF，EF=6cm，即可求出B 的长． 【详解】∵△OEF ≌△OGH，四边形BFE≌四边形DG， ∴△OAB≌△ODC， ∵△OCD的边CD上的高为5m， ∴△OAB的边B 上的高为5m， ∵整个沙漏的高为15m， ∴△OEF的边EF 上的高为15 2 =7.5 (cm )， ∵AB∥EF， ∴△OAB∽△OEF， ∴AB EF = 5 7.5， ∵EF=6cm， ∴AB= 5 7.5 ×6=4 (cm )，故D 正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的对 应高之比等于相似比是解题的关键． 题型03 根据全等的性质判断正误 7．（2022·云南·统考一模）如图，若△B △ ≌DE，则下列结论中一定成立的是（ ） ．＝DE B．∠BD＝∠E ．B＝E D．∠B＝∠ED 【答】B 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵△B △ ≌DE， ∴＝E，B＝D，∠B＝∠DE，∠B＝∠DE， ∠ ∴ B﹣∠D＝∠DE﹣∠D， 即∠BD＝∠E． 故，，D 选项错误，B 选项正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 题型04 利用全等三角形的性质求解 8．（2022·安徽合肥·合肥38 中校考一模）如图，△≝¿是由△ABC经过平移得到的，分别交DE、EF 于 点G、，若∠B=120°，∠C=30°，则∠DGH的度数为（ ） ．150° B．140° ．120° D．30° 【答】 【分析】根据平移可知：△ABC ≅△≝¿，AC ∥DF，根据全等三角形对应角相等，得出 ∠E=∠B=120°，∠F=∠C=30°，即可得出∠D 的度数，再根据平行线的性质得出∠DG 的度数即可． 【详解】根据平移可知，△ABC ≅△≝¿，AC ∥DF， ∴∠E=∠B=120°，∠F=∠C=30°， ∴∠D=180°−∠E−∠F ¿180°−120°−30° ¿30°， ∵AC ∥DF， ∴∠DGH +∠D=180°， ∴∠DGH=180°−∠D=180°−30°=150°，故正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了平移变换，全等三角形的性质，三角形内角和，平行线的性质，熟练掌握平移的 知识是解题的关键． 9．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，将△B 沿所在的直线翻折得到△B′，再将△B′沿B′所在的直线翻折得 到△B′′，点B，B′，′在同一条直线上，∠B=α，由此给出下列说法：①△B≌△B′′，②⊥BB′，③∠B′B=2α．其 中正确的说法是（ ） ．①② B．①③ ．②③ D．①②③ 【答】D 【分析】①由翻折可得△B △ ≌B′，△B′ △ ≌B′′，进而可以进行判断； ②由翻折可得点B 与点B′关于对称，进而可以进行判断； ③由翻折可得∠B′′=∠B′=∠B=α，∠B′′=∠B′，再根据角的和差即可进行判断． 【详解】解：①由翻折可知：△B △ ≌B′，△B′ △ ≌B′′， △ ∴B △ ≌B′′；故①正确； ②由翻折可知：点B 与点B′关于对称， ⊥ ∴ BB'；故②正确； ③由翻折可知：∠B′′=∠B′=∠B=α，∠B′′=∠B′， ∠ ∴ B′B=90°-∠B′=90°-α， ∠ ∴ B′′=180°-∠B′B=180°-（90°-α）=90°+α， ∠ ∴ B′=90°+α， ∠ ∴ B′B=∠B′-∠B′B=90°+α-（90°-α）=2α， ∠ ∴ B′B=2α．故③正确． 综上所述：正确的说法是：①②③． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 10．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中 点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点运 动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当△BDP与△CPQ全等时，点P运动的时间是（ ） ．t=1s B．t=5 3 s ．t= 4 3 s D．t=5 3 s或t= 4 3 s 【答】 【分析】根据AB=AC=10cm，求出∠B=∠C，根据点D为AB的中点，求出BD=1 2 AB=5cm，分 △BDP≌△CPQ时，△BDP≌△CQP时，两种情况进行讨论，并注意验证当△BDP≌△CQP时，不 成立，从而可以求出t 的值． 【详解】解：∵AB=AC=10cm， ∴∠B=∠C， ∵点D为AB的中点， ∴BD=1 2 AB=5cm， ∵点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点运动， ∴BP=CQ=3t， CP=8−t， 当△BDP≌△CPQ时，CP=BD， 即8−3t=5， 解得：t=1s； 当△BDP≌△CQP时，BD=CQ， 即3t=5，解得：t=5 3 s， 此时BP=3× 5 3=5 (cm)，CP=8−5=3 (cm)， ∵BP≠CP， ∴此种情况不成立， 综上分析可知，t=1s，故正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性 质，注意分类讨论． 11．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，将边长为❑ √3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到A B1C1 D1 的位置，则阴影部分的面积是 ． 【答】6−2❑ √3 【分析】CD交B1C1于点E，连接AE；根据全等三角形性质，通过证明△A B1 E≌△ADE，得 ∠EA B1=∠EAD；结合旋转的性质，得∠EA B1=∠EAD=30°；根据三角函数的性质计算，得E B1， 结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答． 【详解】如图，CD交B1C1于点E，连接AE 根据题意得：∠A B1 E=∠ADE=90°，A B1=AD=❑ √3 ∵AE=AE ∴△A B1 E≌△ADE ∴∠EA B1=∠EAD ∵正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到A B1C1 D1 ∴∠BA B1=30°，∠BAD=90° ∴∠B1 AD=90°−∠BA B1=60° ∴∠EA B1=∠EAD=30° ∴E B1 A B1 =tan∠EA B1= ❑ √3 3 ∴E B1=1 ∴S△A B1 E=S△ADE=1 2 A B1× E B1=1 2 ×❑ √3×1= ❑ √3 2 ∴阴影部分的面积¿2 ( AB×BC )−2(S△A B1 E+S△ADE)=6−2❑ √3 故答为：6−2❑ √3． 【点睛】本题是面积问题(旋转综合题)，考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关 键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质． 12．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45 °，∠C=60 °，点E 为线段AB的中点， 点F 在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF． （1）如图1，当点P 落在BC上时，求∠AEP的度数． （2）如图2，当PF ⊥AC时，求∠BEP的度数． 【答】（1）90°；（2）60° 【分析】（1）证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题． （2）根据折叠的性质求出∠FE=45°，根据三角形内角和求出∠B，从而得到∠EF 和∠PEF，再根据平角的定 义求出∠BEP． 【详解】解：（1）如图1 中，∵折叠， △ ∴EF △ ≌PEF， ∴E=EP， ∵点E 是B 中点，即E=EB， ∴BE=EP， ∠ ∴ EPB=∠B=45°， ∠ ∴ PEB=90°， ∠ ∴ EP=180°-90°=90°． （2）∵PF⊥， ∠ ∴ PF=90°， ∵沿EF 将△EF 折叠得到△PEF． △ ∴EF △ ≌PEF， ∠ ∴ FE=∠PFE=45°， ∠ ∵ B=45°，∠=60°， ∠ ∴ B=180°-45°-60°=75°， ∠ ∴ EF=∠PEF=180°-75°-45°=60°， ∠ ∴ BEP=180°-60°-60°=60°． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到 相等的线段和角． 题型05 添加一个条件使两个三角形全等 13．（2023·湖南永州·统考二模）如图，点E，F 分别在□BD 的边B，D 的延长线上，连接EF，分别交 D，B 于G，．添加一个条件使△EG △ ≌F，这个条件可以是 ．（只需写一种情况） 【答】AE=CF（答不唯一） 【分析】由平行四边形的性质可得：∠A=∠C , 证明∠E=∠F , 再补充两个三角形中的一组相对应的 边相等即可． 【详解】解：∵ ▱ABCD， ∴AB∥CD ,∠A=∠C , ∴∠F=∠E , 所以补充：AE=CF , ∴ △EG △ ≌F， 故答为：AE=CF（答不唯一） 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用S 证明三角形全等”是解本题的关键． 14．（2022·北京朝阳·统考二模）如图，P 平分∠M，过点P 的直线与M，分别相交于点，B，只需添加一 个条件即可证明Δ AOP≅Δ BOP，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答】答不唯一，如＝B 【分析】添加=B，根据P 平分∠M，得出∠P=∠BP，利用SS 证明△P △ ≌BP 【详解】解：添加=B， ∵P 平分∠M， ∠ ∴ P=∠BP， 在△P 和△BP 中， ¿， △ ∴P △ ≌BP（SS）， 故答为=B（答不唯一）． 【点睛】本题考查添加条件判定三角形全等，掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 15．（2022·北京门头沟·统考一模）如图，点P在直线AB外，点A、B、C、D均在直线AB上，如果 AC=BD，只需添加一个条件即可证明Δ APC ≌Δ BPD，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答】∠＝∠ B/∠B＝∠ 【分析】根据证明Δ APC ≌Δ BPD的全等的方法，添加适当的条件即可． 【详解】解：条件是∠＝∠ B 理由是：∵∠＝∠ B ∴P＝PB 在Δ APC和Δ BPD中， ¿ ∴Δ APC ≌Δ BPD（SS） 故答为：∠＝∠ B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 16．（2022·北京顺义·统考二模）如图，D，BE 是△ABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明 △ADC ≌△BEC（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答】CA=CB（答不唯一） 【分析】根据已知条件可知∠ACD=∠BCE ,∠ADC=∠BEC，故只要添加一条边相等即可证明 △ADC ≌△BEC． 【详解】解：添加CA=CB， ∵ D，BE 是△ABC的两条高线， ∴ ∠ADC=∠BEC， 在△ADC与△BEC中， ¿ ∴ △ADC ≌△BEC． 故答为：CA=CB（答不唯一）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 题型06 添加一个条件仍不能证明全等 17．（2022·重庆南岸·统考一模）如图，点F，E在AC上，AD=CB，∠D=∠B．添加一个条件，不一 定能证明△ADE≌△CBF的是（ ） ．AD∥BC B．DE∥FB ．DE=BF D．AE=CF 【答】D 【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】：∵AD∥BC， ∴∠A=∠C， ∵在△ADE和△CBF中， ¿， ∴△ADE≌△CBF ( ASA )，正确，故本选项错误； B：∵DE∥FB， ∴∠AED=∠CFB， ∵在△ADE和△CBF中， ¿， ∴△ADE≌△CBF ( AAS )，正确，故本选项错误； ：∵在△ADE和△CBF中， ¿， ∴△ADE≌△CBF (SAS )，正确，故本选项错误； D：根据AD=CB，∠D=∠B，AE=CF不能推出△ADE≌△CBF，错误， 故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查