第17讲 全等三角形（讲义）（解析版）

第17 讲 全等三角形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 全等三角形及其性质 题型01 利用全等三角形的性质求角度 题型02 利用全等三角形的性质求长度 题型03 根据全等的性质判断正误 题型04 利用全等三角形的性质求解 题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系 考点二 全等三角形的判定 题型01 添加一个条件使两个三角形全等 题型02 添加一个条件仍不能证明全等 题型03 灵活选用判定方法证明全等 题型04 结合尺规作图的全等问题 题型05 全等三角形模型-平移模型 题型06 全等三角形模型-对称模型 题型07 全等三角形模型-一线三等角模型 题型08 全等三角形模型-旋转模型 题型09 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 题型10 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线 题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线 题型13 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 考点三 角平分线的性质 题型01 利用角平分线的性质求长度 题型02 利用角平分线的性质求面积 题型03 角平分线的判定定理 题型04 利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题 题型05 三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法 考点四 全等三角形的应用 题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 题型02 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 题型03 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 考点要求 新课标要求 命题预测 全等三角形 及其性质  理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、 对应角 在中考中，全等三角形 主要以选择题、填空题 和解答题的简单类型为 主．常结合四边形综合 考查． 全等三角形 的判定  掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；  掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；  掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等；  证明定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个 三角形全等；  探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 角平分线的 性质  探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边 的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的 平分线上 全等三角形 的应用  考点一 全等三角形及其性质 全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形 特征：①形状相同②大小相等③对应边相等、对应角相等④周长、面积相等 全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形 【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做 对应角 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置 上 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换 全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等 2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 3）全等三角形的周长相等、面积相等． 题型01 利用全等三角形的性质求角度 【例1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知△AEC ≌△ADB，若∠A=50° ,∠ABD=40°，则∠1 的度数为（ ） ．40° B．25° ．15° D．无法确定 【答】B 【分析】由全等三角形的性质可得AB=AC，由等腰三角形的性质可求∠ABC的度数，即可求解． 【详解】解：∵△AEC ≌△ADB， ∴AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠A=50°， ∴∠ABC=∠ACB=180°−∠A 2 =65°， ∵∠ABD=40°， ∴∠1=∠ABC−∠ABD=65°−40°=25°， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【变式1-1】（2023·浙江金华·校联考三模）如图，已知△ABC ≌△AED，∠A=75°，∠B=30°，则 ∠ADE的度数为（ ） 1 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形 2 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形 ．105° B．80° ．75° D．45° 【答】 【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠ACB=75°，利用全等三角形的性质即可得到∠ADE的度数． 【详解】解：∵∠A=75°，∠B=30°， ∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−75°−30°=75°， ∵△ABC ≌△AED， ∴∠ADE=∠ACB=75°， 故选： 【点睛】此题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 【变式1-2】（2023·浙江台州·统考一模）如图，△ADE ≌△ABC，点D 在边AC上，延长ED交边BC于 点F，若∠EAC=35°，则∠BFD=¿ ． 【答】145°/145 度 【分析】根据△ADE ≌△ABC可得∠AED=∠ACB，再由三角形内角和得到∠DFC=∠EAC=35°， 利用邻补角定义求出∠BFD即可． 【详解】解：∵△ADE ≌△ABC， ∴∠AED=∠ACB， ∵∠ADE=∠FDC， ∴∠DFC=∠EAC=35°， ∴∠BFD=180°−∠DFC=145°． 故答为：145° 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和以及邻补角定义，解答关键是在全等三角形性质基 础上灵活运用数形结合思想 题型02 利用全等三角形的性质求长度 【例2】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，△ABC ≅△BAD，的对应顶点是B，的对应顶点是D，若 AB=8，AC=3，BC=7，则AD的长为（ ） ．3 B．7 ．8 D．以上都不对 【答】B 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC ≅△BAD，的对应顶点是B，的对应顶点是D， ∴¿， ∵BC=7 ∴AD=BC=7 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形找出对应边． 【变式2-1】（2023·湖南长沙·校联考二模）如图，△ABC ≌△≝¿，DE=5，AE=2，则BE的长是（ ） ．5 B．4 ．3 D．2 【答】 【详解】根据全等三角形的性质即可得到结论． 【分析】解：∵△ABC ≌△≝¿，DE=5， ∴AB=DE=5， ∵AE=2， ∴BE=AB−AE=3． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【变式2-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨工业大学附属中学校校考一模）如图，△B≌△BD，点和点B， 点和点D 是对应点，如果B＝8m，BD＝7m，D＝6m，那么B 的长是（ ） ．5m B．6m ．7m D．8m 【答】B 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，B＝D 【详解】解：∵△B≌△BD，D＝6m， ∴B＝D＝6（m）， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，找到全等三角形的对应边是本题的解题关键 题型03 根据全等的性质判断正误 【例3】（2022·天津河西·统考二模）如图，将△ABC绕点B 逆时针旋转60°得到△DBE，点的对应点为 D，AC交DE于点P，连结EC，AD，则下列结论一定正确的是（ ） ．ED=CB B．∠EBA=60° ．∠EPC=∠CAD D．△ABD是等边三角形 【答】D 【分析】由题意可知，将△B 旋转60°后得到△DBE，根据等边三角形的判定方法确定D 正确，其他三项 逐项进行排除即可； 【详解】解：、由题意可知，DE=不一定等于B，故选项错误； B、由于D、B、不一定在同一个直线上，故∠EB 不一定等于60°，故B 选项错误； 、由题意可知，D≠PD，故∠D≠∠PD，故∠EPC ≠∠CAD，选项错误； D、由旋转的性质可知，△BD 为等边三角形，故D 选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转60°后所形成的等边三角形是解决本题的关键． 【变式3-1】（2018·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）如图，M 在B 上，MB=1 2 M，如果△B 绕点M 按顺时针方 向旋转180°后与△FED 重合，则以下结论中不正确的是（ ） ．△B 和△FED 的面积相等 B．△B 和△FED 的周长相等 ．∠+∠B=∠F+∠FDE D．AC ∥DF，且=DF 【答】 【分析】由题意得：△B≌△FED，利用全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵△B 绕点M 按顺时针方向旋转180°后与△FED 重合， ∴△ B≌△FED， ∴△ B 和△FED 的面积相等，△B 和△FED 的周长相等， = ∠∠F，∠B=∠FED，∠=∠D， ∴AC ∥DF，且=DF． 、△B 和△FED 的面积相等，选项正确，不符合题意； B、△B 和△FED 的周长相等，选项正确，不符合题意； 、∠A + ∠ABC ≠∠F + ∠FDE，选项错误，符合题意； D、AC ∥DF，且=DF，选项正确，不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查全等三角形的性质．熟练掌握旋转后重合的两个三角形全等，以及全等三角形的性质是 解题的关键． 【变式3-2】（2022·广东深圳·校考一模）如图，△B ′ ≌△B′，且点B′在B 边上，点 恰好在 ′ B 的延长线上， 下列结论错误的是( ) ．∠BB′＝∠′ B．∠B＝2∠B ．∠B′＝∠B′ D．B′平分∠BB′′ 【答】 【分析】根据全等三角形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵△B ′ ≌△B′， ∴∠ACB=∠A 'C B '， ∴∠ACB−∠AC B '=∠A 'C B '−∠AC B '， ∴∠BB′＝ ，故正确； ∠′ ∵△ B ′ ≌△B′， ∴BC=B 'C， ∴∠B=∠B B 'C， ∵∠A 'C B '=∠B+∠B B 'C， ∴∠B＝2∠B，故B 正确； ∵△ B ′ ≌△B′， ∴∠A=∠A '， ∵无法判断B 'C和B ' A是否相等， ∴∠B′和 不一定相等， ∠ ∴∠B′和∠B′不一定相等，故错误； ∵△ B ′ ≌△B′， ∴∠B=∠A ' B 'C， ∵∠B=∠B B 'C， ∴∠B B 'C=∠A ' B 'C， 即B′平分∠BB′′，故D 正确； 故选： 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角 形的性质是解题的关键． 【变式3-3】（2023·山东淄博·统考二模）如图，△ABC ≌△≝¿，点E 在AC上，B，F，，D 四点在同一 条直线上．若∠A=40° ,∠CED=35°，则下列结论正确的是（ ） ．EF=EC , AB=FC B．EF ≠EC , AE=FC ．EF=EC , AE≠FC D．EF ≠EC , AE≠FC 【答】 【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠DFE，∠D=∠A=40°，AC=DF，则EF=EC， 由于∠D≠∠CED，则CE≠CD，则AE≠CF，由此即可得到答． 【详解】解：∵△ABC ≌△≝¿， ∴∠ACB=∠DFE，∠D=∠A=40°，AC=DF， ∴EF=EC， ∵∠D=40°≠∠CED=35°， ∴CE≠CD， ∴AE≠CF， ∴四个选项中只有选项符合题意， 故选． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键． 题型04 利用全等三角形的性质求解 【例4】（2023·广东深圳·统考二模）如图，，B 是反比例函数y= k x (x>0)图象上两点，C (−2,0)， D (4,0)，△ACO≌△ODB，则k=¿ ． 【答】72 25 【分析】由题意可设A(m, k m )(m>0,k>0)，可得OC=2，OD=4，根据三角形全等的性质可得 AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，则1 2 OC ⋅|y A|¿ 1 2 OD⋅|yB|，进而得到点B的坐标(2m, k 2m )， 由AO=BO得m 2+( k m ) 2 =(2m) 2+( k 2m ) 2 ，以此得到k=2m 2，则A(m,2m)，再根据AC=4，根据两点 间距离公式列出方程，求出m即可求解． 【详解】解：∵点A在反比例函数y= k x ( x>0)图象上， ∴设A(m, k m )(m>0,k>0)， ∵C(−2,0)，D(4,0)， ∴OC=2，OD=4， ∵△ACO≌△ODB， ∴AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO， ∴ 1 2 OC ⋅|y A|¿ 1 2 OD⋅|yB|，即1 2 ×2× k m=1 2 ×4× yB， ∴ yB= k 2m， ∵点A在反比例函数y= k x ( x>0)图象上， ∴ k 2m= k x ， ∴x=2m， ∴B(2m, k 2m )， ∵AO=BO， ∴A O 2=BO 2，即m 2+( k m ) 2 =(2m) 2+( k 2m ) 2 ， 整理得：4 m 4=k 2， ∴k=2m 2或−2m 2（舍去）， ∴A(m,2m)， ∵AC=4， ∴(m+2) 2+4 m 2=16， 整理得：m=6 5或−2（舍去）， ∴A( 6 5 , 12 5 )， 将点A代入反比例函数y= k x 得： 12 5 = k 6 5 ， ∴k=12 5 × 6 5=72 25． 故答为：72 25． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、两点间的距离公式，灵活运 用相关知识解决问题是解题关键． 【变式4-1】（2022·北京海淀·校考模拟预测）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点 Q可能是图中的 ． 【答】点D 【分析】设图中小正方形的边长为1，由勾股定理可计算出△MNF的三边长，再计算出点M、F 分别与、 B、、D 四点的距离，即可作出判断． 【详解】解：设图中小正方形的边长为1， ∵MN=MF=2， 由勾股定理得：MP= ❑ √3 2+3 2=3 ❑ √2，NP= ❑ √3 2+1 2=❑ √10， 由于AF ⊥MF，显然点不可能是点Q； ∵MD= ❑ √3 2+3 2=3 ❑ √2，FD= ❑ √1 2+3 2=❑ √10， ∴MD=MP，FD=NP， ∴△MNP≌△MFD，即点D 是点Q； ∵MB= ❑ √3 2+2 2=❑ √13≠MP，FB= ❑ √1 2+2 2=❑ √5≠NP， ∴点B 不是点Q； 同理，点不是点Q； ∴点Q可能是图中的点D； 故答为：点D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求得各线段的长度是关键． 【变式4-2】（2023·江苏扬州·统考二模）三个能够重合的正六边形的位置如图，已知点的坐标是(❑ √3,−3)， 则B 点的坐标是 ． 【答】(−❑ √3,3) 【分析】如图，延长正六边形的边BM与x 轴交于点E，过作AN ⊥x轴于，连接AO，BO，证明 ∠BOE=∠AON ,可得A ,O ,B三点共线，可得A ,B关于对称，从而可得答． 【详解】解：如图，延长正六边形的边BM与x 轴交于点E，过作AN ⊥x轴于，连接AO，BO， ∴ 三个正六边形，为原点， ∴BM=MO=OH=AH ,∠BMO=∠OHA=120° , ∴△BMO≌△OHA , ∴OB=OA , ∴∠MOE=120°−90°=30° ,∠MBO=∠MOB=1 2 (180°−120° )=30° , ∴∠BOE=60° ,∠BEO=90° , 同理：∠AON=120°−30°−30°=60° ,∠OAN=90°−60°=30° , ∴∠BOE=∠AON , ∴A ,O ,B三点共线， ∴A ,B关于对称， ∴B(−❑ √3,3). 故答为：(−❑ √3,3)． 【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，关于原点成中心对称的两个点的坐 标特点，正多边形的性质，熟练的应用正多边形的性质解题是解本题的关键． 【变式4-3】（2023·广东广州·统考二模）如图，直线y=−2 x+2与x 轴和y 轴分别交于、B 两点，射线 AP⊥AB于点，若点是射线AP上的一个动点，点D 是x 轴上的一个动点，且以，D，为顶点的三角形与 △AOB全等，则AD的长为 ． 【答】2 或❑ √5/❑ √5或2 【分析】根据一次函数解析式可求出点和B 点坐标，从而求出△AOB的两条直角边，并运用勾股定理求 出AB．根据已知可得∠CAD=∠OBA，分别从∠ACD=90°或∠ADC=90°时，即当 △ACD≌△BOA时，AD=AB，或△ACD≌△BAO时，AD=OB，即可得出结论． 【详解】解： 直线 ∵ y=−2 x+2与x 轴和y 轴分别交与、B 两点， 当y=0时，即0=−2 x+2， 解得：x=1． 当x=0时，y=2， ∴A(1，0)，B(0，2)． ∴OA=1，OB=2． ∴AB= ❑ √O A 2+O B 2=❑ √5． ∵AP⊥AB，点在射线AP上， ∴∠BAC=90°，即∠OAB+∠CAD=90°． ∵∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠CAD=∠OBA． 若以、D、为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD=90°或∠ADC=90°，即△ACD≌△BOA或 △ACD≌△BAO． 如图1 所示， 当△ACD≌△BOA时，∠ACD=∠AOB=90°，AD=AB=❑ √5； 如图2 所示， 当△ACD≌△BAO时，∠ADC=∠AOB=90°，AD=OB=2． 综上所述，AD的长为2 或❑ √5． 故答为：2 或❑ √5． 【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图 象与性质是解题的关键． 【变式4-4】（2023·河南三门峡·统考二模）如图，Rt △ABC ≌Rt △≝¿，∠C=∠F=90°，AC=2， BC=4，点D 为AB的中点，点E 在AB的延长线上，将△≝¿绕点D 顺时针旋转α度(0<α<180)得到 △D E ' F，当△BD E '是直角三角形时，A E '的长为 ． 【答】5或❑ √35 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，旋转的性质．根据勾股定理可求出AB=2❑ √5，先根 据全等三角形的性质和旋转的性质，得到D E '=DE=AB=2❑ √5，从而得到AD=BD=❑ √5．再分情况讨 论：①当∠BD E '=90°时；②当∠DB E '=90°时，利用勾