78 全等模型—倍长中线模型

全等模型—倍长中线模型 夯实双基，稳中求进 倍长中线模型 题型一：求三角形中线取值范围 【例1】（2021·重庆市暨华中学校八年级月考）在 中， ，中线 ，则 边的取值范围 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】延长D 至E，使DE=D，然后利用“边角边”证明△BD 和△ED 全等，根据全等三角形对应边相等 可得B=E，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出E 的取值范 围，即为B 的取值范围． 【详解】解：如图，延长D 至E，使DE=D， 知识点管理 归类探究 三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线 三角形边长的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边 倍长中线定义：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶 点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之 间的关系（通常用“SS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 ∵D 是△B 的中线， ∴BD=D， 在△BD 和△ED 中， ， ∴△BD≌△ED（SS）， ∴B=E， ∵D=7， ∴E=7+7=14， 14+5=19 ∵ ，14-5=9， 9 ∴＜E＜19， 即9＜B＜19． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之 差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 变式训练 【变式1-1】（2021·全国）如图， 是 的边 上的中线， ，则 的取值范围为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】延长 至点E，使 ，连接 ，证明 ，可得 ，然后运用 三角形三边关系可得结果． 【详解】如图，延长 至点E，使 ，连接 ． ∵ 为 的 边上的中线， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ． 在 中， ， 即 ， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三角形是解题 的关键． 【变式1-2】（2021·武汉一初慧泉中学八年级月考）已知D 是△B 的中线，D=6，=5，则边B 的取值范围是 ______． 【答】7<B<17 【分析】作出图形，延长D 至E，使DE=D，然后利用“边角边”证明△BD 和△ED 全等，根据全等三角形 对应边相等可得B=E，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出 E 的取值范围，即为B 的取值范围． 【详解】解：如图，延长D 至E，使DE=D， ∵D 是△B 的中线， ∴BD=D， 在△BD 和△ED 中， ， ∴△BD≌△ED（SS）， ∴B=E， ∵D=6， ∴E=6+6=12， 12+5=17 ∵ ，12-5=7， 7 ∴＜E＜17， 即7＜B＜17． 故答为：7＜B＜17． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之 差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 【变式1-3】（2021·全国）△B 中，B=8，=6，D 是B 边上的中线，则D 长度的范围是__________． 【答】1＜D＜7 【分析】延长D 至E，使DE=D，连接E．根据SS 证明△BD≌△ED，得E=B，再根据三角形的三边关系即可 求解． 【详解】解：延长D 至E，使DE=D，连接E． 在△BD 和△ED 中， ， ∴△BD≌△ED（SS）， ∴E=B． 在△E 中，E-＜E＜E+， 即2＜2D＜14， 故1＜D＜7． 故答数为：1＜D＜7． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线 之一． 【变式1-4】（2021·陕西城固·七年级期末）如图，在 中， 是 边上的中线，过 作 的平行 线交 的延长线于 点．若 ， ，试求 的取值范围． 【答】4＜E＜8 【分析】证明△BD≌△ED（S），得到B=E=6，D=ED，再由三角形的三边关系即可得出答． 【详解】解：∵D 是B 边上的中线， ∴BD=D． ∵B∥E， ∴∠BD=∠E， 在△BD 和△ED 中， ， ∴△BD≌△ED（S）， ∴B=E=6， ∴D=DE， 在△E 中，E-＜E＜E+， 即6-2＜E＜6+2， 4 ∴＜E＜8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的三边关系等知识；熟练掌握三角 形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键． 题型二：利用倍长中线证明线段、角相等 【例题2】（2021·全国八年级课时练习）如图，E、B 分别是 与 的中线，且 ， ．求证： ． 【答】见解析 【详解】解析：过点B 作 交E 的延长线于点F，由点E 为B 中点，得到 ，再由BF 与平行， 得到两对内错角相等，利用S 得到 与 全等，利用全等三角形的对应边相等得到 ， ，即 ，再由 ，根据点B 为D 中点，得到 ，利用外角性质 及等量代换得到 ，利用SS 得到 与 全等，利用全等三角形对应边相等得到 ，等量代换即可得证． 答：证明：如图，过点B 作 交E 的延长线于点F． ∵E 是 的中线， ， ∴ ， ， ， 在 和 中， ∵ ∴ （S）， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ，B 是 的中线， ∴ ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ∴ （SS）， ∴ ． 易错：证明：在 和 中， ∴ （S）． 错因：写错证明方法． 满分备考：遇到三角形的中线，可通过倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形解决问题． 变式训练 【变式2-1】（2019·呼和浩特市实验中学八年级期中）（1） 是 的中线， ， 则 的取值范围是__________． （2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图， 是 的中线， 交 于 ，交 于 ， 且 ，求证： ． 【答】（1） （2）见解析 【分析】（1）根据倍长中线法将D 延长一倍，再证△D GDB ≌△ ，根据三角形的三边关系即可求出G 的取值 范围，从而求出D 的取值范围； （2）由（1）中结论：△D GDB ≌△ ，即可得到：=BG，∠D= G ∠，再根据等腰三角形的性质和判定即可得到 BG=BF= 【详解】（1）将D 延长至G，使D=DG，连接BG，如下图所示： 在△D 和△GDB 中 D GDB ∴△≌△ =BG=6 ∴ 在△BG 中 ∴ ∴ （2）将D 延长至G，使D=DG，连接BG，如下图所示： 由（1）中结论：△D GDB ≌△ =BG ∴ ，∠D= G ∠ 又∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ∴ BG=BF= ∴ 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性质，掌握用倍长中线法构造全等三角形 是解决此题的关键 【变式2-2】（2020·湖南长沙市·月考）如图，已知在 中， 是 边上的中线， 是 上一 点，且 ，延长 交 于 ，求证： F E D C B A 、 【分析】利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合等腰三角形的性质进行论证． 【详解】延长 到 ，使 ，连结 ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ∴ ，而 ∴ ， 故 ． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性质，掌握用倍长中线法构造全等三角形 是解决此题的关键 【变式1-3】（2021·陕西碑林·交大附中分校七年级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如 下问题：如图1，△B 中，若B＝4，＝3，求B 边上的中线D 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到 了如下的解决方法：延长D 到点E，使DE＝D，则得到△D≌△EDB，小明证明△BED≌△D 用到的判定定理是： （用字母表示）； 问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程； G F E D C B A 拓展应用：以△B 的边B，为边向外作△BE 和△D，B＝E，＝D，∠BE＝∠D＝90°，M 是B 中点，连接M， DE．当M＝3 时，求DE 的长． 【答】问题背景： SS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6． 【分析】问题背景：先判断出BD=D，由对顶角相等∠BDE=∠D，进而得出△D≌△EDB（SS）； 问题解决：先证明△D≌△EDB（SS），得出BE==3，最后用三角形三边关系即可得出结论； 拓展应用：如图2，延长M 到，使得M=M，连接B，同（1）的方法得出△BM≌△M（SS），则B=，进而判 断出∠B=∠ED，进而判断出△B≌△ED，得出=ED，即可求解． 【详解】问题背景：如图1，延长D 到点E，使DE＝D，连接BE， ∵D 是△B 的中线， ∴BD＝D， 在△D 和△EDB 中， ， ∴△D≌△EDB（SS）， 故答为：SS； 问题解决：如图1，延长D 到点E，使DE＝D，连接BE， ∵D 是△B 的中线， ∴BD＝D， 在△D≌△EDB 中， ， ∴△D≌△EDB（SS）， ∴BE＝， 在△BE 中，B﹣BE＜E＜B+BE， ∵B＝4，＝3， 4 3 ∴﹣＜E＜4+3，即1＜E＜7， ∵DE＝D， ∴D＝ E， ∴ ＜D＜ ； 拓展应用：如图2，延长M 到，使得M＝M，连接B， 由问题背景知，△BM≌△M（SS）， ∴B＝，∠M＝∠BM， // ∴B， ∵＝D， ∴B＝D， // ∵B， ∴∠B+∠B＝180°， ∵∠BE＝∠D＝90°， ∴∠B+∠ED＝180°， ∴∠B＝∠ED， 在△B 和△ED 中， ， ∴△B≌△ED（SS）， ∴＝DE， ∵M＝M， ∴DE＝＝2M， ∵M＝3， ∴DE＝6． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，补角的性质，掌握倍长中线法，构 造全等三角形是解本题的关键． 类倍长中线模型 【例题3】（2020·宜春市宜阳学校八年级月考）阅读理解： （1）如图1，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长 到点 ，使得 ，再连接 ，把 ， ， 集中在 中，利用三角形三边关系即可判断中线 的取值范围是____ __． （2）解决问题：如图2，在 中， 是 边上的中点， ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，求证： ． 【答】（1） ；（2）见解析； 【分析】（1）如图1 延长 到点 ，使得 ，再连接 ，由D 为中线，推出 BD=D，可证△D EBD ≌△ （SS）得=EB，在 中，由三边关系 即可， （2）如图2 延长FD 到G，使DG=FD，连结BG，EG 由D 为B 中点，BD=D 可证 △FD GBD ≌△ （SS）得F=GB，由 ，DF=DG 得EF=EG，在△BEG 中 由三边关系， 【详解】（1）如图1 延长 到点 ，使得 ，再连接 ， D ∵ 为中线， BD=D ∴ ， 在△D 和△ EDB 中， D=BD ∵ ， D= EDB ∠ ∠ ， D=ED， D EBD ∴△≌△ （SS）， =EB=6 ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， （2）如图2 延长FD 到G，使DG=FD，连结BG，EG， 由D 为B 中点，BD=D， 在△FD 和△GDB 中， D=BD ∵ ， FD= GDB ∠ ∠ ， FD=GD， FD GBD ∴△ ≌△ （SS）， F=GB ∴ ， ∵ ，DF=DG， EF=EG ∴ ， 在△BEG 中EG<EB+BG，即 ， 【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中 线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线 转化线段，用等腰三角形证角是解题关键， 变式训练 【变式3-1】（2021·广东广州市·月考）如图，在 中， 交 于点 ，点 是 中点， 交 的延长线于点 ，交 于点 ，若 ，求证： 为 的角平分线． 【分析】通过补长EG，转换成倍长中线模型 【详解】延长 到点 ，使得 ，连结 G F E D C B A ∵ 是 的中点 ∴ 在 和 中， ∴ ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 为 的角平分线 【变式3-2】（2021·湖北随州市·八年级期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一 种典型的方法是倍延中线．如图3，在四边形 中， ，点 是 的中点， 连接 ， 且 ，试猜想线段 之间满足的数量关系，并予以证明． 【分析】延长 到 ，使 ，连接 ，即可证明 ，则可得 由 ，以及角度关系即可证明点 在一条直线上， 通过证明 ≌ ，即可得到 ，进而通过线段的和差关系得到 ． 【详解】（3） ， 延长 到 ，使 ，连接 ， H G F E D C B A ， ， ， ， ， 点 在一条直线上， ， ∴ ， ∴在 和 中， ， ， ， ∴ ≌ ， ， ∵ ， ． 【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三 角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综 合运用以上知识是解答本题的关键． 【变式3-3】（江苏省南京玄武外国语学校、十三中科利华集团校2019-2020 学年八年级下 学期期中数学试题）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，在△B 中，若 B ＝5，＝3，求 B 边上的中线 D 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解 决方法：延长 D 到 E，使得 DE＝D，再连接 BE（或将△D 绕点 D 逆时针旋转 180°得到 △EBD），把 B、、2D 集中在△BE 中， 利用三角形的三边关系可得 2＜E＜8，则 1＜D＜ 4． （感悟）解题时，条件中若出现中点、中线字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中 心 对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （解决问题）受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图 2，在△B 中，D 是 B 边上的中 点， DE DF ⊥ ，DE 交 B 于点 E，DF 交 于点 F，连接 EF． 求证：BE＋F＞EF， 【答】（1）见解析；（2） ，见解析 【分析】延长FD 到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△FD 绕点D 逆时针旋转180° 得到△BGD），利用三角形的三边关系即可解决问题； 【详解】解：延长FD 到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△FD 绕点D 逆时针旋转 180°得到△BGD）， F=BG ∴ ，DF=DG， DE DF ∵ ⊥ ， EF=EG ∴ ． 在△BEG 中，BE+BG＞EG， 即BE+F＞EF． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、三角形 的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 一、填空题 1．（2022·安徽亳州·八年级期末）如图，在△B 中，D 为中线， ． （1）若 ，D 长度为，则的取值范围为________； （2）若 ， ，则的长度为________． 【答】 3 【分析】（1）延长中线D 到E，使 ，可证△D≌△EBD（SS），得 ，根据 三角形的三边关系可得 ，求解即可； （2）延长D，使 ，连接F，可证△BD≌△FD（SS），得 ， ，在Rt△F 中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得 ，从而可求． 【详解】解：（1）如图1，延长中线D 到E，使 ， ∵D 是三角形的中线， ∴ ， 在△D 和△EBD 中， ， ∴△D≌△EBD（SS）， ∴ ， ∵ ， ，第三边上的中线为， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故答为： ． （2）如图2，延长D，使 ，连接F， 综合提升变式练 ∵D 为中线， ∴ ， 在△BD 和△FD 中， ， ∴△BD≌△FD（SS）， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了延长中线构成全等三角形，及全等三角形的判定与性质，直角三角形 的性质，解题的关键是延长中线作辅助线构造全等三角形． 2．（2021·江苏·徐州市第二十六中学八年级阶段练习）如图，D 是△B 中B 边上的中线，若 B＝6，＝8，则D 的取值范围是________________． 【答】1＜D＜7 【分析】延长D 到E，使DE=D，然后利用“边角边”证明△BD 和△ED 全等，根据全等三 角形对应边相等可得E=B，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边求出E 的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长D 到E，使DE=D， ∵D 是B 边上的中线， ∴BD=D， 在△BD 和△ED 中, ， ∴△BD≌△ED(SS)， ∴E=B， ∵B=6，=8， 8-6< ∴ E<8+6，即2<2D<14， 1< ∴ D<7， 故答为：1<D<7． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅 助线构造出全等三角形是解题的关键． 3．（2021·河北·廊坊市第四中学八年级阶段练习）在△B 中，B＝9，＝5，D 是△B 的中线， 则D 的取值范围是 _____． 【答】2＜D＜7 【分析】延长中线利用全等，使D 与已知两边满足三角形的三边关系． 【详解】解：延长D 到E，使D＝DE，连接BE， ∵D 是△B 的中线， ∴BD＝D， 在△D 和△EDB 中， ， ∴△D≌△EDB（SS）， ∴EB＝， 根据三角形的三边关系定理：9 5 ﹣＜E＜9+5， 2 ∴＜D＜7， 故答为：2＜D＜7． 【点睛】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定（SS），三角形的三边长度关系；延 长三角形的中线证明全等是常用的解题方法，要熟练掌握． 二、解答题 4．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△B 中，若B=5，=3，求B 边上的中线D 的取值范围．小明在组内经过合作交流， 得到了如下的解决方法：延长D 到点E，使DE=D，请根据小明的方法思考帮小明完成解 答过程． (2)如图2，D 是△B 的中线，BE 交干E，交D 于F，且E=EF．请判昕与BF 的数量关系， 并说明理由． 【答】(1)见解析 (2)=BF，理由见解析 (1) 解：如图，延长D 到点E，使DE=D，连接BE， 在△D 和△EDB 中 ∵ ， ∴△D≌△EDB（SS）． ∴BE==3． ∵B-BE<E<B+BE 2< ∵ E<8． ∵E=2D 1< ∴ D<4． (2) =BF，理由如下： 延长D 至点G，使GD=D，连接BG， 0 在